அண்மையில் பேரா.(இ)ழான்-லூய்க் [Jean-Luc Chevillard] என்னுடைய எண்ணியல் தொடரையொட்டி 392 ஆம் குறளையும் அதற்கான பரிமேலகர் உரையையும் எடுத்துக் காட்டி, அதில் வரும் ’ஏரம்பம்’ என்ற பழங்கணித நூலை தமிழ்மன்ற மடற்குழுவில் நினைவூட்டியிருந்தார். ஏரம்பம் என்ற சொல் பற்றியும் அங்கு பேரா. செல்வாவிற்கும், பேரா. (இ)ழான் - லூய்க்கிற்கும் உரையாடல் எழுந்தது. முதலில் கல்வி என்னும் அதிகாரத்தில் வரும் அந்தக் குறளையும், அதற்குப் பரிமேலழகர் தரும் உரையையும் பார்ப்போம்.
-----------------------------
எண்ணென்ப ஏனை எழுத்தென்ப இவ்விரண்டும்
கண்ணென்ப வாழும் உயிர்க்கு
”அறியாதார் எண் என்று சொல்லுவனவும், மற்றை எழுத்து என்று சொல்லுவனவும் ஆகிய கலைகள் இரண்டினையும் அறிந்தார் சிறப்புடை உயிர்கட்குக் கண் என்று சொல்லுவர்.
[எண் என்பது கணிதம். அது கருவியும் செய்கையும் என இருவகைப்படும்; அவை ஏரம்பம் முதலிய நூல்களுள் காண்க. எழுத்து எனவே, அதனோடுஒற்றுமையுடைய சொல்லும் அடங்கிற்று. இவ்விருதிறமும், அறமுதற்பொருள்களைக் காண்டற்குக் கருவியாகலின், ‘கண்’ எனப்பட்டன. அவை கருவியாதல்,
‘ஆதி முதலொழிய அல்லா தனஎண்ணி
நீதி வழுவா நிலைமையவால் - மாதே
அறமார் பொருளின்பம் வீடென் றிவற்றின்
திறமாமோ எண்ணிறந்தால் செப்பு’
’எழுத்தறியத் தீரும் இழிதகைமை தீர்ந்தான்
மொழித்திறத்தின் முட்டறுப்பான் ஆகும் - மொழித்திறத்தின்
முட்டறுத்த நல்லோன் முதல்நூல் பொருளுணர்ந்து
கட்டறுத்து வீடும் பெறும்’
இவற்றான் அறிக. ‘என்ப’ என்பவற்றுள், முன்னைய இரண்டும் அஃறிணைப் பன்மைப் பெயர்; பின்னது உயர்திணைப் பன்மை வினை. அறியாதார், அறிந்தார் என்பன வருவிக்கப் பட்டன. சிறப்புடைய உயிர் என்றது மக்கள் உயிருள்ளும் உணர்வு மிகுதி உடையதனை. இதனால் கற்கப்படும் நூல்கட்குக் கருவியாவனவும் அவற்றது இன்றியமையாமையும் கூறப்பட்டன.]
------------------------------
இனி ஏரம்பம் பற்றிய செய்திகளுக்கு வருவோம்.
பத்தாம் நூற்றாண்டுக்குப் பின்னாலும், பதிநான்காம் நூற்றாண்டிற்கு முன்னாலும், குறளுக்கு உரையெழுதிய தருமர், தாமதத்தர், நச்சர், திருமலையர், மல்லர், காலிங்கர், மணக்குடவர், பரிப்பெருமாள், பரிதியார், பரிமேலழகர் ஆகிய பதின்மரில் காஞ்சிபுரம் அருச்சக வேதியரான பரிமேலழகர் காலம் 13/14 ஆம் நூற்றாண்டாய் இருக்கலாம் என்றே பலரும் சொல்லுகிறார்கள். மேலே கூறிய உரையில் ”எண்ணுக் கலை, எழுத்துக்கலை” என்ற இரண்டு கலைகளைப் பற்றிப் பரிமேலகர் உரை தெரிவிக்கிறது. ”வாழும் உயிர்கட்கு இவ்விரு கலைகளும் கண்ணென்பதால், இவற்றின் வழியே உலகறியலாம்” என்பது பொருளாகிறது. கூடவே எண் பற்றி இன்னும் இரு செய்திகளை அறிந்து கொள்ளுகிறோம்.
1. ”நீதி எஞ்ஞான்றும் வழுவாதாகையால், வணிகத்தின் ஆதிமுதல் (initial capital) ஒழியும் படி, செய்யக்கூடாதவற்றை எண்ணிக் கணக்கைத் தவறவிட்டால், அறம், பொருள், இன்பம், வீடு ஆகியவற்றின் திறம் அமையுமோ?” என்ற கருத்தில் வரும் முதல் வெண்பாவால், இங்கு எண் என்னும் சொல்லின் மூலம் கணிதம் என்ற படிப்பு பேசப்படாது கணக்கும், கணக்கியலுமே (accounting) பேசப்படுகின்றன என்பது புலப்படும். இந்தக் காலம் போல் அல்லாது, அந்தக்காலத்திற் (14 ஆம் நூற்றாண்டில்) கணிதத்திற்கும், கணக்கியலுக்கும் வேறுபாடு கண்டதில்லை போலும். இரண்டும் ஒன்றிற்குள் ஒன்றாகவே புரிந்துகொள்ளப் பட்டுள்ளன. கணக்காயருக்கும் கணியருக்கும் வேறுபாடு அவ்வளவு இல்லை போலும்.
அது மட்டுமில்லை, கணி என்ற சொல் அந்தக் காலத்தில் வானியலுக்கும் (astronomy), வான்குறியியலுக்கும் (astrology), கணிதத்திற்கும் (mathematics) சேர்த்துப் பொருந்தியிருந்தது. கணியர், அறிவர், வள்ளுவர் என்ற மூன்று வகையினரும் கணிதத்தில் சிறந்திருந்தார்கள் என்று இலக்கியங்களின் மூலம் அறிகிறோம். [கணி தெரிந்தது போக அறிவர் என்பவர் மெய்யியல் (philosophy) தெரிந்தவராயும், வடக்கிருந்து பார்ப்பனர் வருவதற்கு முன்னர், நம்மூர் அரசர்களை நெறிப்படுத்துவராயும் இருந்தார். வள்ளுவர் அரசருக்குத் திருமந்திரமாகவும், செய்தி அறிவிப்பாளராயும், உள்படு கருமத் தலைவராயும் (Officials dealing with palace activities) இருந்தார். வள்ளுவர் தனிக் குடியினராகவும் கருதப்பட்டார்கள்.] கணியர், அறிவர், வள்ளுவர் ஆகிய மூவகையினரில் பெரும்பாலோர் ஆசீவகராயும் இருந்தார்கள். அந்தணர் என்றும் அறியப்பட்டார்கள். [சமணம் என்ற சொல் ஆசீவகம், செயினம், புத்தம் என்ற மூன்று நெறியையும் குறித்தது. சங்ககாலத்திற் ஆசீவகம் பற்றிய ஆய்வு இன்னும் தொடர்ந்து கொண்டிருக்கிறது. ஆசீவகம் 14 ஆம் நூற்றாண்டுவரை தமிழ்கத்தில் இருந்திருக்கிறது.] அந்தணர் என்ற சொல் எல்லா வழிநடத்துபவருக்கும் இருந்த பொதுச்சொல். [அந்தன் = தந்தை போன்றவன். கத்தோலிக்கக் கிறித்தவத்தில் சமயக்குருவை "father, அச்சன்” என்று அழைப்பதைப் போன்றது இது. அந்தன்>அந்தனன்>அந்தணன் என்று அது விரியும். அந்தச் சொல் பார்ப்பனரைக் குறித்தது நெடுங்காலத்திற்குப் பிறகாகும். அரசவையில் வானியல், வான்குறியியல் அறிந்த பெருங்கணி என்பவன் எப்பொழுதும் இருந்தான். அவனன்றி ஒரு அரச கருமமும் நடைபெற்றதாய்த் தெரியவில்லை.
2. எண் என்பதைக் கணிதத்திற்கு ஆகுபெயர் ஆக்கி, அதில் கருவியும் செய்கையும் என்று இருவகைப்பாட்டைப் பரிமேலழகர் சொல்லுவதால், அவர் காலத்திற்கு முன்னாலேயே கணிதக் கருவிகள் தெற்கே இருந்திருக்கின்றன என்பது தெரிகிறது. இது தமிழுக்கு முகன்மையான கருத்து. ஏனென்றால், எண்ணியலையும் பொருத்தியலையும் பேசிவந்த கணக்கதிகாரம் (கொற்கைக் காரிநாயனார் கி.பி.1667), கணித நூல் (கருவூர் நஞ்சையன் கி.பி.1693), ஆஸ்தான கோலாகலம் ( கூடல் நாவிலிப் பெருமாள், கி.பி. எந்த ஆண்டு என்று காலம் தெரியவில்லை.) போன்ற நூல்களில் இல்லாத கருத்து இங்கு பரிமேலழகராற் பேசப்படுகிறது. [கணிதக் கருவிகள் வடமொழி நூல்களிலும், பெர்சியன், அரபி நூல்களிலும் அடையாளம் காட்டப்பெறுகின்றன. தமிழில் இதுவரை காணோம். அதற்காக அவை இங்கு இல்லையென்று பொருளில்லை. இவ்வளவு பெரிய கோயில்கள் பெருத்த அடவுடன் (design) கட்டப்பட்டிருக்குமானால், கணிதக் கருவிகள் நம் பெருந்தச்சரிடம் உறுதியாய்ப் புழங்கியிருக்கவேண்டும். அதைப் பற்றிய அறிவும் இங்கு இருந்திருக்கவேண்டும். ஒருவேளை நம்மூர்க்காரர்கள் தமிழில் எழுதாமல் வடமொழியில் எழுதிவைத்தோரோ, என்னவோ? வடமொழியின் பாதிப்பு சங்க காலத்தின் முடிவிலேயே தொடங்கிவிட்டதே!]
கணிதக் கருவிகள் என்பவை வானியல், வடிவியல் என இரண்டுஞ் சேர்ந்தவை. கருவிகள் சுட்டப்படுவதால், 14 ஆம் நூற்றாண்டிற்கு முற்பட்ட ஏரம்பத்துள் எண்ணியல், பொருத்தியல் ஆகியவற்றோடு வடிவியலும் பேசப்பட்டிருக்கலாம் என்று ஊகிக்கிறோம். வானியல், வடிவியற் கருவிகளாய் நீர்க்கடிகை (water clock), அலகுகள் பொறித்த கோல் (scale), சங்குக் குச்சி, ஞாலக் குச்சி என்று வெவ்வேறு சொற்களாற் சுட்டப்படும் நத்தக் குச்சி (gnomon), வட்டு (compass), பகுப்பி (divider), அஃகம் (latitude) அறியப் பயன்படும் அறுபாகைமானி (sextant), அரைவட்டம், கால்வட்டம், வில், பல்வேறு வகைக் கோள எந்திரங்கள் (இதைப் பற்றி எழுதினால் மிகவும் எழுத முடியும்) எனப் பலப்பல உண்டு.
ஏரம்பம் என்னும் அந்த நூல் நமக்குக் கிடைக்காமற் போனது பேரிழப்பே. 392 ஆம் திருக்குறளுக்கு தன் “திருக்குறள் தமிழ் மரபுரையில்” உரைசொல்லப் புகுந்த பாவாணர் கீழ்க்கண்ட பழந்தனியனை எடுத்துக் கூறி வருத்தப்பட்டுச் சொல்லுவார்.
”ஏரணம் உருவம் யோகம் இசை கணக்கு இரதம் சாலம்
தாரணம் மறமே சந்தம் தம்பம் நீர் நிலம் உலோகம்
மாரணம் பொருள் என்றின்ன மான நூல் யாவும் வாரி
வாரணம் கொண்டதந்தோ வழிவழிப் பெயரும் மாள்”
ஆகப் 16 புலங்களில் அழிந்து போன நூல்கள் இங்கு பேசப்படுகின்றன. வெறும் வாரணம் (=கடல்) மட்டுமா இவற்றைக் கொண்டது? மூன்று கடற்கோள்கள் போக, எத்தனை ஆழிப்பேரலைகள் எழுந்தனவோ? கணக்கறியோம். எத்தனை நூல்களை காவிரியில் ஆடிப்பெருக்கிற்கும், போகிப்பண்டிகையின் அனலுக்கும், சுவடிகளின் செல்லுக்கும், மக்களின் முட்டாள் தனத்திற்கும், வெளியாரின் சூழ்ச்ச்சிக்குமாகப் பலிகொடுத்திருப்போம்? தமிழண்ணல் கூறுவது போல் “கோயில்கள் இங்கிருக்கின்றன; அந்தக் கோயில் எழுவதற்கான நூல்கள் வேறு மொழியில்; இசைகள் இங்கிருக்கின்றன; இசைக்கான நூல்கள் வேறு மொழியில்; செய்முறைகள் இங்கிருக்கின்றன, செய்முறைப் பதிவுகள் வேறுமொழியில்; ...... இப்படி ஏதோவொரு குழப்பம் தொடர்ந்து நடந்திருக்கிறது. ஏன்?
இனி ஏரம்பம் என்ற சொல்லிற்கு வருவோம். இதற்கு நான்கு விதமான பொருட்பாடுகள் இருந்திருக்கின்றன.
முதற் பொருள் ஏர் என்னும் சொல்லுக்கான கலப்பைப் பொருள் மூலம், ஏரம்பம் என்பது உழவுத்தொழிலைக் குறித்தது.
இரண்டவதாய், எழுச்சிப் பொருளில் எழுந்த மலையைக் குறிக்கும் சொல் ஏரகம். (திருவேரகம் = முருகனின் இருப்பிடமாகச் சிலம்பிற் சொல்லப்படும் மலை. இன்று சுவாமிமலையோடு பொருத்திச் சொல்லப்படுகிறது. ஆனாற் சிலம்பில் வரும் திருவேரகம் சுவாமிமலையல்ல.) எழுச்சிப் பொருளில் இருந்த ஏரம்பத்திலிருந்து திரிந்து ஆரம்பம் என்ற வடதமிழ்ச்சொல் எழுந்தது. நல்ல தமிழில் தொடக்கம் என்கிறோம். ஓரோவழி ஆரம்பம் பயன்படுத்தினாலும் சரியென்றே தோன்றுகிறது.
மூன்றாவதாய், ஏர்தல் என்ற சொல்லிற்கு நேர்தல், ஒத்தல், எழுதல், பொருத்துதல் என்ற பொருட்பாடுகள் உண்டு. நேர்தல், ஒத்தல் ஆகிய பொருள்களில் எழுந்த சொல் ஏரணம் (logic). பொருத்தப் பொருளில் கணிதத்தைக் குறித்த சொல்லான ஏரம்பமும் ஏர்தலோடு தொடர்புடையதே. [ஒன்றோடு இன்னொன்றைப் பொருத்தி புதிரிகளைப் போடுவதால் கணிதம் ஏரம்பம் ஆயிற்று.]
ஏரம்பத்திற்கு யானை என்ற நாலாவது பொருட்பாடும் உண்டு. இதை நாமதீப நிகண்டு (பதினெட்டாம் நூற்றாண்டுக் கடைசி, 19 ஆம் நூற்றாண்டுத் தொடக்கம்) பதிவு செய்யும். இந்தச் சொல் ஏ-கரம்பம் என்றெழுந்து உள்ளேவரும் ககரம் மேலும் மேலும் மெலிந்து ஒலிக்காது போனதால் ஏரம்பம் ஆயிற்று. கரம்பம் = கையுள்ளது. நாலுகால் விலங்கான யானைக்கு ஒரு கையாய், துதிக்கை இருப்பதால் அது ஒற்றைக்கையன் ஆயிற்று. கையும் கரமும் ஒன்றுதான். கரம் என்பதும் தமிழ் தான். அது வடமொழி என்று பலரும் நினைத்துக் கொண்டிருக்கிறார்கள், கிடையாது, கருமம் தமிழானால் கருமஞ் செய்யும் கரமும் தமிழ்தான். கரத்தால் விளைந்த ”காரனும்” தமிழன் தான். கரம் கொண்ட விலங்கு கரம்பு>கரம்பம் என்று ஆனது. ஏ என்னும் முன்னொட்டை இரண்டு விதமாய்ப் புரிந்து கொள்ளலாம். ஒன்று என்ற சொல்லின் தெலுங்கு விளைப்பான ஒக்க என்ற சொல்லோடு தொடர்பு கொண்ட பாகதச் சொல்லான ஏக என்பது ஈறுகெட்டு ஏ என்றாகியிருக்கலாம். வேகமான பேச்சில் வடக்கில் பலரும் ஏக என்பதை ஏ என்றே பலுக்குகிறார்கள். இன்னொரு விதமாய் ஏ என்பதை எழுச்சிப் பொருளை உணர்த்தும் முன்னொட்டாயும் கொள்ளலாம். யானையின் துதிக்கை அவ்வப்போது ஏல்ந்து எழுகிறது. முடிவில் ஏ-கரம்பம் ஏரம்பம் ஆயிற்று.
பிள்ளையார் என்னும் கடவுளைப் பற்றிய தொன்மம் நகரப்பூதத்தை யொட்டி (பூம்புகாரில் உள்ள நாளங்காடிப் பூதம் இதற்கு ஒரு எடுத்துக் காட்டு) எழும்பியிருக்கலாம் என்று வரலாற்றுப் பேராசிரியர் ந. சுப்பிரமணியம் சொல்லுவார். ஆதிகாலத்துப் பிள்ளையார் பூதத்திற்கு யானை முகம் கிடையாது. இன்றும் கூட தஞ்சை மாவட்டத்தில் ஏதோவொரு கோயிலில் (கோயிலின் பெயர் சட்டென்று என் நினைவிற்கு வரவில்லை.) சித்தி, புத்தி என்ற இரு தேவியரோடு யானைமுகம் இல்லாது ஒரு படிமம் இருப்பதாகவும், அதற்குப் பூசைகள் நடப்பதாகவும் கேள்விப் பட்டிருக்கிறேன். பிள்ளையாருக்கு யானை முகம் வைத்ததைப் பின்னால் எழுந்த தொன்மத்தின் மூலம் ஒப்புக் கட்டுவார்கள். பல்லவரின் வாதாபிப் போருக்கு முந்தைய தொடக்க காலத்தில் இருந்த பிள்ளையார் படிமங்கள் [காட்டு:பிள்ளையார் பட்டியில் இருக்கும் படிமம்] அதிகமான விலங்குத் தோற்றமும், குறைந்த மாந்தத் தோற்றமும் கொண்டதாக இருக்கும். ஏரம்பன் என்ற பெயர் [பிங்கலந்தை (2:1`, 93 ஆம் நூற்பா)] ஏரம்பத்தையொட்டி எழுந்த பெயரேயொழிய ஏரம்பனில் இருந்து ஏரம்பம் எழுந்ததல்ல. பிள்ளையார் படிமம் ஒற்றைக்கை கொண்டதல்ல. அது 5 கை கொண்டது. யானையொன்றே ஒற்றைக் கை கொண்டது. யானையைக் கூறி, யானையில் இருந்து பிள்ளையாருக்கு ஆகுபெயராய் வந்தது.
பிள்ளையாரை முதலில் கூறி கடவுள் வாழ்த்துப் பாடுவது மிகமிகப் பிற்காலத்தில் 16, 17 ஆம் நூற்றாண்டுகளில் எழுந்தது. 14 ஆம் நூற்றாண்டிற்கு முந்திய நூலில் அப்படி இருந்திருக்குமா என்பது கேள்விக்குரியது. [பெரும்பாலும் அந்தக் காலத்திற் கடவுள் வாழ்த்து சிவன், விண்ணவன் (Vishnu), அருகன் பற்றியே இருந்திருக்கும்.] பிள்ளையார் பெயரில் ஏரம்பம் என்ற கணித நூல் எழுந்திருக்கும் என்றெண்ணுவது இயல்பிற்கு மீறியதாய் இருக்கிறது. ஏரம்பம் என்ற சொல்லுக்கு எளிமையாகக் கணிதம் என்ற பொருள் வருகையால், பிள்ளையாரில் இருந்து பெயர்வந்தது என்று சொல்லத் தயங்குகிறோம்.
[தொல்காப்பியன் பற்றிய (இ)ழான் லூய்க்கின் கருத்து (காப்பியக் குடியில் இருந்து காப்பியன் என்ற பெயர் ஏற்பட்டது) முப்பது நாப்பது ஆண்டுகளுக்கு முந்திய அறுதப் பழைய கருத்து. அதில் உள்ள ஏரண மாறுபாடுகளை வேறொரு பொழுதிற் பேசலாம். தொல்காப்பியன் என்பது காப்பியக் குடியில் இருந்தோ, காவ்யம் என்பதில் இருந்தோ எழுந்ததாய் என்னால் ஏற்கமுடியாது. என் புரிதலைப் பின்னாற் சொல்லுகிறேன்.]
அன்புடன்,
இராம.கி.
Wednesday, May 05, 2010
Monday, May 03, 2010
எண்ணியல் - 7
எண்ணியலையொட்டி எனக்குத் தோன்றிய செய்திகளையெல்லாம் இத்தொடரிற் பேசிக் கொண்டிருந்தேன். [எண்ணியலைத் தமிழிற் சரியாகச் சொல்லாமல் பிற கணிதங்களைச் சொல்ல முடியாது. கணிதத்தில் நல்ல கலைச் சொற்களும் எழ முடியாது. உயர் கணிதம் என்றாலே ஏதோ ஆங்கிலமும், வடமொழிப் பெயர்களுமே நம் உதவிக்கு வரவேண்டும் என்ற பொல்லாநிலைக்கு நாம் இதுநாள் வரை ஆட்பட்டோம். அதிலிருந்து வெளி வரமுடியும் என்று சொல்லவும் கூட இக்கட்டுரைத் தொடரை எழுதினேன். நற்றமிழில் கணிதச் சொற்கள் நம்மக்களிடை பரவ வேண்டும்; குறிப்பாகப் பள்ளி ஆசிரியர், மாணவரிடையே பரவ வேண்டும். இது ஏதோ தமிழ் வளரச் ச் செய்யும் முயற்சியல்ல. நல்ல கலைச்சொற்கள் ஆழமான சிந்தனையைத் தூண்டும் என்பதற்காகக் கணிதத்தையொட்டி எழுந்ததாகும். அதோடு நம்மூர் மரபிலிருந்தே கணித வளர்ச்சிகளை முன்னெடுக்கமுடியும் என்று நிறுவுவதற்காகவும் பழைய கணக்கதிகாரம், கணித நூல் போன்ற நூல்களில் இருந்து கணக்குப் புதிரிகளை எடுத்துத் தந்தேன்.]
இனி அரசினர் சுவடி நூலகத்தில் உள்ள (govt. Oriental Manuscripts Library Ref.no.8641, 437, 6673) கணிதநூல் என்னும் சுவடியில் வரும் ஒரு வெண்பாவைப் பார்ப்போமா?
புன மூன்றில் மேய்ந்து, வழிஐந்தில் சென்று
இனமான ஏழ்குளநீர் உண்டு - கனமான
காவொன்ப திற்சென்று காடவர்கோன் பட்டணத்தில்
போவதுவா சல்பத்திற் புக்கு.
காடவர் கோன் பட்டணம் என்பது பல்லவர் பட்டணம். இது பெரும்பாலும் காஞ்சிபுரமாய் இருக்கவாய்ப்புண்டு. காஞ்சிபுரம் அக் காலத்திற் கல்விக்குப் பெயர்பெற்ற கடிகைகள் (= பல்கலைக் கழகங்கள்) இருந்த ஊர். புத்தரின் சீடரான மொக்கலனும் சாரிபுத்தனும் கல்வி பயிலக் காஞ்சிபுரம் வந்திருக்கிறார். இவ்வெண்பா, கி.பி.5 ஆம் நூற்றாண்டிற்கு அப்புறம் எழுந்திருக்க வேண்டும். சரியாக எப்போது எழுந்தது என்று சொல்ல முடியவில்லை.
இப்பாவின் படி, யானைகளின் கூட்டம், 3 வயல்களில் மேய்ந்து, 5 பாதைகளில் நகர்ந்து, 7 குளங்களிற் குடித்து, 9 சோலைகளின்வழி சென்று, காஞ்சிபுரத்தின் 10 வாசல்களூடே புகுந்ததாம். அந்தக் கூட்டத்தில் மொத்த யானைகள் எத்தனை என்பது கணக்கில் வரும் கேள்வி. மொத்த யானைகளை x என்று வைத்துக் கொள்வோம். அவை
3 வயல்களிற் பிரிந்து மேயக் கூடுவதாய் இருக்கவேண்டும்.
5 பாதைகளிற் பிரிந்து நகரக் கூடுவதாய் இருக்கவேண்டும்.
7 குளங்களில் பிரிந்து குடிக்கக் கூடுவதாய் இருக்கவேண்டும்.
9 சோலைகளிற் பிரிந்து செல்லக் கூடுவதாய் இருக்கவேண்டும்.
10 வாசல்களிற் பிரிந்து நுழையக் கூடுவதாய் இருக்கவேண்டும்.
மேலே குறிப்பிடும் ஒவ்வொரு செயலும் ஒரு கட்டியமாகும் (condition). இந்தக் கட்டியங்கள் எல்லாமும் ஒருங்கே நிறைவு செய்யப்பட வேண்டும். சரி, யானைகளாகவா பிரிந்தன? இல்லையில்லை, பாகர்கள் பிரித்திருக்கிறார், இப்பிரிப்புகள் மேய, நகர, குடிக்க, செல்ல, நுழையக் கூடுவதற்கு வாகாய் அமைந்திருக்கின்றன. கணித முறையிற் சொன்னால், யானைகள் கூட்டத்தை 3, 5, 7, 9, 10 ஆகிய வகைகளாற் பிரிக்கக் கூடுவதாய் (வகுக்கக் கூடுவதாய்) அமைந்திருக்கவேண்டும்.
x என்பது 10 ஆல் வகுபட வேண்டுமானால் அந்த எண் 0 இல் முடியவேண்டும் அல்லவா? அதோடு, பத்தால் வகுபடும் எண் 5 ஆலும் வகுபடும். அதே போல 9 ஆல் வகுபடும் எண் 3 ஆலும் வகுபடும். எனவே 10, 5, 3 ஆகியவற்றை ஒதுக்கி மீந்துள்ளவற்றைப் பார்த்தால் அவை 7 உம், 9 உம் ஆகும். இவற்றின் பெருக்கற் தொகை 63. அதைப் பத்தாற் பெருக்க அமைவது 630. இந்தத் தொகை 3, 5, 7, 9, 10 ஆகிய எண்களால் உறுதியாக வகுபடும். எனவே, குறைந்தது 630 யானைகள் இருந்தாலும், இப்புதிரியிற் கொடுக்கப்படும் எல்லாக் கட்டியங்களும் நிறைவு செய்யப் படும். 630 இன் மடங்கான 1260, 1890, 2520, 3150, 3780, 4410, 5040 ........ என எதுவானாலும் இப்புதிரிக்கு விடையாக இருக்கும்.
சுவடியில் 9450 என்று விடை சொல்லியிருக்கிறார் அது 630 இன் 15வது மடங்கு ஆகும் ஏன் அந்த விடை சொன்னார் என்று முதலில் விளங்க வில்லை. அந்த விடை வரவேண்டுமெனில் பாட்டின் முதல்வரி “புனமூன்றில் மேய்ந்து, பதினைந்தில் சென்று” என்றிருக்க வேண்டும். ஏடெடுத்து எழுதுபோது நமக்குக் கிடைத்த எடுவிப்பில் (edition) ஒருவேளை சொற்பிழை ஏற்பட்டது, போலும். [எந்தப் பனஞ் சுவடியும் 125-150 ஆண்டுகளுக்கு மேல் வாராது. அது செல்லரித்துத் துளைபட்டுச் சிதறிப் போய்விடும். எனவே அச்சுவடியை மீண்டும் புது ஏடு கொண்டு எழுத்தாணியால் எழுதி புதுச்சுவடி எடுவிப்பார். இந்த எடுவிப்புக்களில் எழுத்துப்பிழைகள், சொற்பிழைகள் வர வாய்ப்பு உண்டு. சுவடிகளைச் சரி பார்க்கவும் வேண்டும்.]
”புன மூன்றில் மேய்ந்து, வழிஐந்தில் சென்று” என்றவரியோடு பா அமைந்து, ”மீக்குறைந்த யானைகள் எத்தனை?” என்றால் 630 மட்டுமே விடையாக முடியும். அந்த மீக் குறைந்த எண்ணைத் தான் ஆங்கிலத்தில் Least common multiple என்கிறார். [இது போன்ற கணக்குகள் முன்சொன்ன “கணித நூலில்” நிறையவே உள்ளன.] இனி Least Common Multiple (LCM) / Least Common Denominator (LCD), Highest Common factor (HCF) / Greatest Common Divisor (GCD), போன்றவற்றைப் பார்ப்போம்.
அதற்கு முன் தமிழ் போன்ற ஒட்டுநிலை மொழிக்கும் (agglutinative languages), ஆங்கிலம், சங்கதம் போன்ற உள்வளைப்பு மொழிகளுக்கும் (inflexional languages) இருக்கும் குறிப்பிட்ட வேறுபாட்டை இப்புதிரியில் பயன்படுத்தும் தீர்மங்களை (terms) விளக்கும்படி சொல்லுவது நல்லதென எண்ணுகிறேன்.
ஆங்கிலத்தில் (good, better, best), (smart, smarter, smartest), (......, more, most) என்று affirmative, comparative and superlative degree முவ்வேறுபாடுகள் சொல்வார் அதுபோன்ற பழக்கம் தமிழிற் கிடையாது. இதற்குக் காரணம், மொழி மரபுகள் வேறுபடுவது தான். பேச்சுத் தமிழில் “ அவன் நல்லவன், ரொம்ப நல்லவன் (அல்லது மிக நல்லவன்), ரொம்ப ரொம்ப நல்லவன் (அல்லது மிக மிக நல்லவன்)” என்று அதிகத்தை உணர்த்தும் முன்னொட்டுக்களை ஒரு தடவையோ, இரண்டு தடவையோ போட்டே தமிழில் உணர்த்த முடியும். மிகு(தி) என்ற சொல்லுக்கு மாற்றாய் உறு, தவ, நனி என்ற இன்னும் மூன்று சொற்களைத் தொல்காப்பியம் சொல்லதிகாரம் உரியியலின் 3 ஆம் நூற்பா சொல்லும். இக்காலத்தில் நிரம்பவும், நிறைய, பெரு .......போன்ற சொற்களை இதே பொருளிற் பயில்கிறோம்.
உறு தவ நனி என வரூஉம் மூன்றும்
மிகுதி செய்யும் பொருள என்ப
மேற்சொன்ன முன்னொட்டுக்களில் ஏதோவொரு முன்னொட்டை 1, 2 தடவைகளோ போட்டு ஒப்பீட்டு வேற்றுமைகளைத் தமிழில் உணர்த்துவோம். [என்னைக் கேட்டால் ஒருதடவை இட்டாலே போதும். 2 தடவை இடுவது ஆங்கில மரபை அப்படியே தமிழிற் கொண்டுவருவதாகும். தேவையில்லை. இருப்பினும் அடுத்த பத்திகளில் தமிழின் இயலுமை மட்டும் சொல்கிறேன். என் பரிந்துரைகளாய் அவற்றை எடுத்துக் கொள்ளாதீர். என் பரிந்துரை ஒரு முன்னொட்டுப் போதும் என்பதே.]
இப்பொழுது high என்பதை உயர் என்று சொல்லலாம். higher என்பதை மிக்குயர் என்று சொல்லிவிடலாம். அதற்கு மேல் வேண்டுமானால் உறு, தவ, நனி என்பதோடு மீ(மிகுவின் திரிவு) என ஏதோவொன்றைப் போடலாம். காட்டாக highest = நனிமிக்குயர் [இந்தக் காலத்தில் நனி என்பது சட்டென்று புரியும், மற்ற சொற்களான உறு-வும், தவ-வும் பழக்கம் இல்லாததால் சற்று சரவற் படலாம். அதனால் நனியையே இங்கு பயில்கிறேன். மீ அல்லது மிகு, மிக்கு என்பவற்றைப் பலுக்க எளிமைக்குத் தகுந்தாற்போலப் பயிலுகிறேன்.]
தாழ் = low; மிகு தாழ் = lower; நனிமிகு தாழ் = lowest
குறை = less மீக்குறை = lesser நனிமீக் குறை = least
நனிமீயுயர் பொதுப் பகுதி = Highest Common Factor
நனிமீப்பெரு பொதுப் பகுதி = Greatest common divisor
நனிமீக்குறைப் பொதுப் பெருக்கு = Lowest Common Multiple
நனிமீக்குறைப் பொதுக் கீழெண் = Lowest Common Denominator
(முன்னே சொன்னது போல் நனியைத் தவிர்த்தே ஒரு முன்னொட்டோடு நிறுத்திய கலைச்சொல்லையே நான் பரிந்துரைப்பேன்.)
அதுசரி. ”உத்தமம்” என்ற சொல் எப்படி highest/greatest-யைக் குறிக்கிறது? அதமம் என்பது எப்படி least -யைக் குறிக்கிறது?” என்று தொடரின் தொடக்கத்தில் கேட்டிருந்தேனே? நினைவிருக்கிறதா? இக் கேள்விகளுக்கும் விடை தமிழில் தான் உள்ளது. [வடமொழியில் வாராது.]
உயரம் என்ற சொல் எப்படி எழுந்தது என்று எண்ணியிருக்கிறீர்களா? உ எனும் வேர் மேலெழுதலைக் குறிக்கும். உ>உய்>உயரம் என்று ஆகும். அதே போல உ>உல்>உறு என்பதும் மிகுத்துப் போன செயலைக் குறிக்கும். அதே உ>உல் எனும் வேர் தான் உல்+து = உத்து> உத்தம் என்ற சொல்லையும் கொடுத்தது; உத்து என்பது உயரத்தைக் குறிக்கும்; வடமொழியிலுள்ள வழக்கம்போல் ரகரம் நுழைந்து உத்தம் உத்த்ரமாகும். மீண்டும் தமிழில் உத்திரமென்று திரிந்து நுழையும். (தக்கணம் என்ற சொல் தக்கிக் கிடக்கும் - தாழ்ந்திருக்கும் - தெற்கைக் குறிப்பது போல, உத்தரம் என்பது வடக்கே உயர்ந்த பகுதியைக் குறிக்கும். உயர்ந்த பைதிரம் ”உத்தரப் பிரதேசம்” எனப்படும். உத்தமம் என்பது உத்தமப் பண்பைக் குறிக்கும். [இக் காலத்தில் உத்தமம், உயர்ச்சியை மட்டுமின்றி optimum என்பதையும் குறிப்பது புதுப் பயனாக்கமாகும்.]
இதேபோல அல் என்னும் வேர் ஒடுங்கலைக் குறிக்கும். அல்தல் = ஒடுங்குதல். ஒன்றுமிலாது போதல். அல்குதலென்றும் திரியும். பெண்ணுடம்பில் இடுப்பின் கீழே மேல்பாகம் ஒடுங்கிய பகுதி அல்குல் எனப்படும். (கொஞ்சம் ஆழ்ந்து ஓர்ந்தால் இதேசொல் ஆணுக்கும் அமையும். என்னவோ தெரியவில்லை. யாரைக் கேட்டாலும் அல்குல் பெண்ணோடு தொடர்புடையது என்கிறார்.) அல்>அற்று>அற்றம்>அத்தம் என்பது குறைந்து போன நிலை, அற்ற நிலை குறிக்கும். இச்சொல்லின் நீட்டமாய் அற்றமம்> அத்தமம்> அதமம் என்பது குறைந்து போன இயல்பைக் குறிக்கும். அதமன் என்பவன் நல்ல பண்புகள் குறைந்தவன் என்ற பொருளில் வட புலத்திற் புழங்கும்.
உத்தமம், அதமம் ஆகிய சொற்களின் வேர் தமிழில் இருந்தாலும், வடபால் மொழிகளிற் பெரிதும் புழங்கிய சொற்களாகும்.
Highest Common Factor - உத்தமப் பொதுக் காரணி, Lowest Common Denominator - அதமப் பொதுப் பகுதி என்பவை 1950 களில் மணிப் பவளத்திற் புழங்கிய சொற்களாகும். நான் சிறுபிள்ளையாய் இருந்தபோது எங்களுக்குப் பள்ளியில் இப்படித்தான் சொல்லிக் கொடுத்தார், இந்நடையில் இருந்து மாற்றி HCF = Highest Common Factor = மீப்பெரு பொதுச் சினை, LCM = Lowest Common Multiple = மீக்குறை பொது மடங்கு, LCM = Lowest Common Denominator = மீக்குறை பொதுப் பகுதி என்று பின்னால் எழுதியிருக்கிறார்.
மேலே யானைக் கணக்கில் மீக்குறை யானை எண்ணிகையைக் கண்டறிந்தோம் அல்லவா? அதைத் தாம் மீக்குறைப் பொதுப் பெருக்கு (Least Common denominator) என்று சொல்வார். இரண்டிற்கு மேற்பட்ட பின்னங்களைக் கூட்டவேண்டும் என்று வந்தால், பின்னங்களின் கீழெண்களை வைத்து அவற்றின் மீக்குறைப் பொதுப்பெருக்கு எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பார்கள். அந்த எண்ணை மீக்குறைப் பொதுக் கீழெண் (Least Common Denominator) என்றும் சொல்வார். [ A common multiple of the denominator of two or more fractions, i.e., a number that each denominator divides exactly.]
காட்டாக, 1/2, 1/3, 3/7 என்ற பின்னங்களைக் கூட்டவேண்டுமானால், 2,3,7 ஆகிய கீழெண்களின் மீக்குறைப் பொதுப்பெருக்கு 42 என்றமையும். இது போக 84,126,168 என்பவையும் பொதுக் கீழெண்ணாக அமையலாம். மீக்குறை பொதுக் கீழெண்ணை வைத்துப் பின்னங்களைக் கூட்டுகிறோம். 1/2+1/3+1/7 = (21+14+6)/42 = 41/42. கொடுத்திருக்கும் எண்களின் மீக்குறை பொதுப் பெருக்கை (LCM) கண்டு பிடிக்கவேண்டுமானால், கொடுத்திருக்கும் எண்களைப் பெருமப் பகுதிகளாகப் பிரிக்க வேண்டும். [பெரும எண்கள் பற்றி முன்னாற் பார்த்தோம் அல்லவா?] காட்டாக 7,9,12,14 என்பவற்றின் மீ.பொ.பெ (LCM) கண்டுபிடிக்கவேண்டுமானால், அவற்றைக் கீழ்க்கண்டவாறு பெருமப் பகுதிகளாகப் பிரிக்க வேண்டும்.
7 = 7
9=3^2
12 = 3*2^2
14 = 7*2
இந்தப் பெருமப் பகுதிகளை ஒன்றோடொன்று பெருக்கி [ஒவ்வொரு பெருமப் பகுதியும் அதிகப்படியாக எத்தனை முறை வந்திருக்கிறதோ அதனையும் முறையெடுத்துப் பெருக்கி] மீ.பொ.பெ.யைக் கண்டு பிடித்துவிடலாம். [LCM is obtained by multiplying the prime factors together, taking each the maximum number of times it occurs in any of the numbers]. இங்கே மீ.பொ.பெ = 7*3^2*2^2 = 252
மிக்குயர் பொதுப்பகுதி (Highest Common Factor) என்பது மீ.பொ.பெ.வுக்கு அப்படியே தலைகீழானது. இது கொடுக்கப்பட்ட எண்களை மிக்குயர்ந்த முறையில் எந்த எண் வகுக்கும் என்று கண்டுபிடிக்கும் வகையாகும். [A number that divides two or more given numbers exactly] காட்டாக, 20, 70, 80 என்ற எண்களை 2, 5,10 என்ற எண்கள் வகுக்கும்.
இவற்றில் மிக்குயர் பொதுப்பகுதி Highest Common Factor (HCF), அல்லது Greatest Common Divisor (GCD). என்பது 10 என்று அறியலாம்.மீக்குயர் பொதுப்பகுதி (மீ,பொ.ப) கண்டு பிடிப்பதற்கு யூக்லிட் அல்கொரிதம் (Euclidian algorithm) என ஒன்றுண்டு. பெரும்பெரும் எண்களின் மீ.பொ.ப. கண்டுபிடிக்க அந்தச் செயல்வழியைப் பயன்படுத்தலாம். அதை இங்கு நான் விவரிக்கவில்லை. [அல்கொரிதம் என்பது கணக்குச் செயல்வழி குறிக்கும், குவாரிசாமியின் பெயரில் அமைந்த சொல்லாகும்]
--------------------------------------
இக் கட்டுரைத்தொடர் மூலம் முகனக் கணிதத்தின் சில பகுதிகளைத் தமிழில் முன்கொணர முடிந்தது. படித்த உங்களுக்கும் இது ஆர்வத்தைக் கொடுத்திருக்கும் என நம்புகிறேன். முதலிற்சொன்ன கணித நூலில் இருந்து உரைநடையில் ஒரு கணக்கைச் சொல்லி முடிக்கிறேன். இதன் விடையை நீங்களே கண்டுபிடியுங்கள்.
”ஒரு நாட்டை ஆண்ட அரசனுக்கு 4 கோட்டைகள் இருந்தன. ஒரு நாள் அந்த அரசன் குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையுள்ள சேவகர்களை அழைத்துக் கொண்டு முதற்கோட்டைக்குச் சென்றான். அங்கு தன்னோடுவந்த படையினரில் பாதிப் பேரை நிறுத்தி வைத்தான். அதன்பின், முதல் கோட்டையில் நின்றவர் போக எஞ்சியவரில் 2/3 பங்கு சேவகர்களை 2 ஆம் கோட்டையில் நிறுத்தி, 3 ஆம் கோட்டைக்குச் சென்றான். 2 ஆம் கோட்டையில் நின்றவர் போக எஞ்சியவரில் 3/4 பங்கு சேவகர்களை 3 ஆம் கோட்டையில் நிறுத்தி, 4 ஆம் கோட்டைக்குச் சென்றான். 3 ஆம் கோட்டையில் நின்றவர் போக எஞ்சியவரில் 4/5 பங்கு சேவகர்களை 4 ஆம் கோட்டையில் நிறுத்தி, எஞ்சிய படைகளோடு மேலும் சென்றான்.
அரசன் பின்னால் இப்பொழுது வந்தவரி முதலில் வந்தவனுக்கு ஒரு பணமும், இரண்டாவது வந்தவனுக்கு 2 பணமும், மூன்றாவது வந்தவனுக்கு மூன்று பணமுமாகப் பின்னால் வந்த சேவகர்களுக்கு ஒவ்வொரு பணம் அதிகமாகத் தந்தான். அரசன் சேவகருக்குக் கொடுத்த பணம் முழுதையும் கணக்கிட்டுப் பார்க்கையில், 4 கோட்டையிலும் இருத்தின சேவகர்கள் உட்பட அனைத்துச் சேவுகருக்கும் ஒவ்வொரு பணம் கொடுக்கும்படி சரியாக இருந்தது என்றால்,
1. முதலில் அரசனுடன் புறப்பட்ட சேவகர் எத்தனை பேர்?
2. முதல், இரண்டாம், மூன்றாம், நாலாம் கோட்டைகளில் நிறுத்தின சேவுகர் எத்தனை பேர்?
3. ஒவ்வொரு பணம் அதிகமாகக் அரசன் சேவுகர்களுக்குக் கொடுத்த மொத்தப் பணம் எவ்வளவு?”
இது எண்ணியலிற்குள் விதப்பாகக் கொடுக்கப்படும் ஒருவகைக் கணக்கு. இது போல நூற்றுக் கணக்கான கணக்குகள் கணக்கதிகாரத்திலும், கணித நூலிலும் உள்ளன.
அன்புடன்,
இராம.கி.
இனி அரசினர் சுவடி நூலகத்தில் உள்ள (govt. Oriental Manuscripts Library Ref.no.8641, 437, 6673) கணிதநூல் என்னும் சுவடியில் வரும் ஒரு வெண்பாவைப் பார்ப்போமா?
புன மூன்றில் மேய்ந்து, வழிஐந்தில் சென்று
இனமான ஏழ்குளநீர் உண்டு - கனமான
காவொன்ப திற்சென்று காடவர்கோன் பட்டணத்தில்
போவதுவா சல்பத்திற் புக்கு.
காடவர் கோன் பட்டணம் என்பது பல்லவர் பட்டணம். இது பெரும்பாலும் காஞ்சிபுரமாய் இருக்கவாய்ப்புண்டு. காஞ்சிபுரம் அக் காலத்திற் கல்விக்குப் பெயர்பெற்ற கடிகைகள் (= பல்கலைக் கழகங்கள்) இருந்த ஊர். புத்தரின் சீடரான மொக்கலனும் சாரிபுத்தனும் கல்வி பயிலக் காஞ்சிபுரம் வந்திருக்கிறார். இவ்வெண்பா, கி.பி.5 ஆம் நூற்றாண்டிற்கு அப்புறம் எழுந்திருக்க வேண்டும். சரியாக எப்போது எழுந்தது என்று சொல்ல முடியவில்லை.
இப்பாவின் படி, யானைகளின் கூட்டம், 3 வயல்களில் மேய்ந்து, 5 பாதைகளில் நகர்ந்து, 7 குளங்களிற் குடித்து, 9 சோலைகளின்வழி சென்று, காஞ்சிபுரத்தின் 10 வாசல்களூடே புகுந்ததாம். அந்தக் கூட்டத்தில் மொத்த யானைகள் எத்தனை என்பது கணக்கில் வரும் கேள்வி. மொத்த யானைகளை x என்று வைத்துக் கொள்வோம். அவை
3 வயல்களிற் பிரிந்து மேயக் கூடுவதாய் இருக்கவேண்டும்.
5 பாதைகளிற் பிரிந்து நகரக் கூடுவதாய் இருக்கவேண்டும்.
7 குளங்களில் பிரிந்து குடிக்கக் கூடுவதாய் இருக்கவேண்டும்.
9 சோலைகளிற் பிரிந்து செல்லக் கூடுவதாய் இருக்கவேண்டும்.
10 வாசல்களிற் பிரிந்து நுழையக் கூடுவதாய் இருக்கவேண்டும்.
மேலே குறிப்பிடும் ஒவ்வொரு செயலும் ஒரு கட்டியமாகும் (condition). இந்தக் கட்டியங்கள் எல்லாமும் ஒருங்கே நிறைவு செய்யப்பட வேண்டும். சரி, யானைகளாகவா பிரிந்தன? இல்லையில்லை, பாகர்கள் பிரித்திருக்கிறார், இப்பிரிப்புகள் மேய, நகர, குடிக்க, செல்ல, நுழையக் கூடுவதற்கு வாகாய் அமைந்திருக்கின்றன. கணித முறையிற் சொன்னால், யானைகள் கூட்டத்தை 3, 5, 7, 9, 10 ஆகிய வகைகளாற் பிரிக்கக் கூடுவதாய் (வகுக்கக் கூடுவதாய்) அமைந்திருக்கவேண்டும்.
x என்பது 10 ஆல் வகுபட வேண்டுமானால் அந்த எண் 0 இல் முடியவேண்டும் அல்லவா? அதோடு, பத்தால் வகுபடும் எண் 5 ஆலும் வகுபடும். அதே போல 9 ஆல் வகுபடும் எண் 3 ஆலும் வகுபடும். எனவே 10, 5, 3 ஆகியவற்றை ஒதுக்கி மீந்துள்ளவற்றைப் பார்த்தால் அவை 7 உம், 9 உம் ஆகும். இவற்றின் பெருக்கற் தொகை 63. அதைப் பத்தாற் பெருக்க அமைவது 630. இந்தத் தொகை 3, 5, 7, 9, 10 ஆகிய எண்களால் உறுதியாக வகுபடும். எனவே, குறைந்தது 630 யானைகள் இருந்தாலும், இப்புதிரியிற் கொடுக்கப்படும் எல்லாக் கட்டியங்களும் நிறைவு செய்யப் படும். 630 இன் மடங்கான 1260, 1890, 2520, 3150, 3780, 4410, 5040 ........ என எதுவானாலும் இப்புதிரிக்கு விடையாக இருக்கும்.
சுவடியில் 9450 என்று விடை சொல்லியிருக்கிறார் அது 630 இன் 15வது மடங்கு ஆகும் ஏன் அந்த விடை சொன்னார் என்று முதலில் விளங்க வில்லை. அந்த விடை வரவேண்டுமெனில் பாட்டின் முதல்வரி “புனமூன்றில் மேய்ந்து, பதினைந்தில் சென்று” என்றிருக்க வேண்டும். ஏடெடுத்து எழுதுபோது நமக்குக் கிடைத்த எடுவிப்பில் (edition) ஒருவேளை சொற்பிழை ஏற்பட்டது, போலும். [எந்தப் பனஞ் சுவடியும் 125-150 ஆண்டுகளுக்கு மேல் வாராது. அது செல்லரித்துத் துளைபட்டுச் சிதறிப் போய்விடும். எனவே அச்சுவடியை மீண்டும் புது ஏடு கொண்டு எழுத்தாணியால் எழுதி புதுச்சுவடி எடுவிப்பார். இந்த எடுவிப்புக்களில் எழுத்துப்பிழைகள், சொற்பிழைகள் வர வாய்ப்பு உண்டு. சுவடிகளைச் சரி பார்க்கவும் வேண்டும்.]
”புன மூன்றில் மேய்ந்து, வழிஐந்தில் சென்று” என்றவரியோடு பா அமைந்து, ”மீக்குறைந்த யானைகள் எத்தனை?” என்றால் 630 மட்டுமே விடையாக முடியும். அந்த மீக் குறைந்த எண்ணைத் தான் ஆங்கிலத்தில் Least common multiple என்கிறார். [இது போன்ற கணக்குகள் முன்சொன்ன “கணித நூலில்” நிறையவே உள்ளன.] இனி Least Common Multiple (LCM) / Least Common Denominator (LCD), Highest Common factor (HCF) / Greatest Common Divisor (GCD), போன்றவற்றைப் பார்ப்போம்.
அதற்கு முன் தமிழ் போன்ற ஒட்டுநிலை மொழிக்கும் (agglutinative languages), ஆங்கிலம், சங்கதம் போன்ற உள்வளைப்பு மொழிகளுக்கும் (inflexional languages) இருக்கும் குறிப்பிட்ட வேறுபாட்டை இப்புதிரியில் பயன்படுத்தும் தீர்மங்களை (terms) விளக்கும்படி சொல்லுவது நல்லதென எண்ணுகிறேன்.
ஆங்கிலத்தில் (good, better, best), (smart, smarter, smartest), (......, more, most) என்று affirmative, comparative and superlative degree முவ்வேறுபாடுகள் சொல்வார் அதுபோன்ற பழக்கம் தமிழிற் கிடையாது. இதற்குக் காரணம், மொழி மரபுகள் வேறுபடுவது தான். பேச்சுத் தமிழில் “ அவன் நல்லவன், ரொம்ப நல்லவன் (அல்லது மிக நல்லவன்), ரொம்ப ரொம்ப நல்லவன் (அல்லது மிக மிக நல்லவன்)” என்று அதிகத்தை உணர்த்தும் முன்னொட்டுக்களை ஒரு தடவையோ, இரண்டு தடவையோ போட்டே தமிழில் உணர்த்த முடியும். மிகு(தி) என்ற சொல்லுக்கு மாற்றாய் உறு, தவ, நனி என்ற இன்னும் மூன்று சொற்களைத் தொல்காப்பியம் சொல்லதிகாரம் உரியியலின் 3 ஆம் நூற்பா சொல்லும். இக்காலத்தில் நிரம்பவும், நிறைய, பெரு .......போன்ற சொற்களை இதே பொருளிற் பயில்கிறோம்.
உறு தவ நனி என வரூஉம் மூன்றும்
மிகுதி செய்யும் பொருள என்ப
மேற்சொன்ன முன்னொட்டுக்களில் ஏதோவொரு முன்னொட்டை 1, 2 தடவைகளோ போட்டு ஒப்பீட்டு வேற்றுமைகளைத் தமிழில் உணர்த்துவோம். [என்னைக் கேட்டால் ஒருதடவை இட்டாலே போதும். 2 தடவை இடுவது ஆங்கில மரபை அப்படியே தமிழிற் கொண்டுவருவதாகும். தேவையில்லை. இருப்பினும் அடுத்த பத்திகளில் தமிழின் இயலுமை மட்டும் சொல்கிறேன். என் பரிந்துரைகளாய் அவற்றை எடுத்துக் கொள்ளாதீர். என் பரிந்துரை ஒரு முன்னொட்டுப் போதும் என்பதே.]
இப்பொழுது high என்பதை உயர் என்று சொல்லலாம். higher என்பதை மிக்குயர் என்று சொல்லிவிடலாம். அதற்கு மேல் வேண்டுமானால் உறு, தவ, நனி என்பதோடு மீ(மிகுவின் திரிவு) என ஏதோவொன்றைப் போடலாம். காட்டாக highest = நனிமிக்குயர் [இந்தக் காலத்தில் நனி என்பது சட்டென்று புரியும், மற்ற சொற்களான உறு-வும், தவ-வும் பழக்கம் இல்லாததால் சற்று சரவற் படலாம். அதனால் நனியையே இங்கு பயில்கிறேன். மீ அல்லது மிகு, மிக்கு என்பவற்றைப் பலுக்க எளிமைக்குத் தகுந்தாற்போலப் பயிலுகிறேன்.]
தாழ் = low; மிகு தாழ் = lower; நனிமிகு தாழ் = lowest
குறை = less மீக்குறை = lesser நனிமீக் குறை = least
நனிமீயுயர் பொதுப் பகுதி = Highest Common Factor
நனிமீப்பெரு பொதுப் பகுதி = Greatest common divisor
நனிமீக்குறைப் பொதுப் பெருக்கு = Lowest Common Multiple
நனிமீக்குறைப் பொதுக் கீழெண் = Lowest Common Denominator
(முன்னே சொன்னது போல் நனியைத் தவிர்த்தே ஒரு முன்னொட்டோடு நிறுத்திய கலைச்சொல்லையே நான் பரிந்துரைப்பேன்.)
அதுசரி. ”உத்தமம்” என்ற சொல் எப்படி highest/greatest-யைக் குறிக்கிறது? அதமம் என்பது எப்படி least -யைக் குறிக்கிறது?” என்று தொடரின் தொடக்கத்தில் கேட்டிருந்தேனே? நினைவிருக்கிறதா? இக் கேள்விகளுக்கும் விடை தமிழில் தான் உள்ளது. [வடமொழியில் வாராது.]
உயரம் என்ற சொல் எப்படி எழுந்தது என்று எண்ணியிருக்கிறீர்களா? உ எனும் வேர் மேலெழுதலைக் குறிக்கும். உ>உய்>உயரம் என்று ஆகும். அதே போல உ>உல்>உறு என்பதும் மிகுத்துப் போன செயலைக் குறிக்கும். அதே உ>உல் எனும் வேர் தான் உல்+து = உத்து> உத்தம் என்ற சொல்லையும் கொடுத்தது; உத்து என்பது உயரத்தைக் குறிக்கும்; வடமொழியிலுள்ள வழக்கம்போல் ரகரம் நுழைந்து உத்தம் உத்த்ரமாகும். மீண்டும் தமிழில் உத்திரமென்று திரிந்து நுழையும். (தக்கணம் என்ற சொல் தக்கிக் கிடக்கும் - தாழ்ந்திருக்கும் - தெற்கைக் குறிப்பது போல, உத்தரம் என்பது வடக்கே உயர்ந்த பகுதியைக் குறிக்கும். உயர்ந்த பைதிரம் ”உத்தரப் பிரதேசம்” எனப்படும். உத்தமம் என்பது உத்தமப் பண்பைக் குறிக்கும். [இக் காலத்தில் உத்தமம், உயர்ச்சியை மட்டுமின்றி optimum என்பதையும் குறிப்பது புதுப் பயனாக்கமாகும்.]
இதேபோல அல் என்னும் வேர் ஒடுங்கலைக் குறிக்கும். அல்தல் = ஒடுங்குதல். ஒன்றுமிலாது போதல். அல்குதலென்றும் திரியும். பெண்ணுடம்பில் இடுப்பின் கீழே மேல்பாகம் ஒடுங்கிய பகுதி அல்குல் எனப்படும். (கொஞ்சம் ஆழ்ந்து ஓர்ந்தால் இதேசொல் ஆணுக்கும் அமையும். என்னவோ தெரியவில்லை. யாரைக் கேட்டாலும் அல்குல் பெண்ணோடு தொடர்புடையது என்கிறார்.) அல்>அற்று>அற்றம்>அத்தம் என்பது குறைந்து போன நிலை, அற்ற நிலை குறிக்கும். இச்சொல்லின் நீட்டமாய் அற்றமம்> அத்தமம்> அதமம் என்பது குறைந்து போன இயல்பைக் குறிக்கும். அதமன் என்பவன் நல்ல பண்புகள் குறைந்தவன் என்ற பொருளில் வட புலத்திற் புழங்கும்.
உத்தமம், அதமம் ஆகிய சொற்களின் வேர் தமிழில் இருந்தாலும், வடபால் மொழிகளிற் பெரிதும் புழங்கிய சொற்களாகும்.
Highest Common Factor - உத்தமப் பொதுக் காரணி, Lowest Common Denominator - அதமப் பொதுப் பகுதி என்பவை 1950 களில் மணிப் பவளத்திற் புழங்கிய சொற்களாகும். நான் சிறுபிள்ளையாய் இருந்தபோது எங்களுக்குப் பள்ளியில் இப்படித்தான் சொல்லிக் கொடுத்தார், இந்நடையில் இருந்து மாற்றி HCF = Highest Common Factor = மீப்பெரு பொதுச் சினை, LCM = Lowest Common Multiple = மீக்குறை பொது மடங்கு, LCM = Lowest Common Denominator = மீக்குறை பொதுப் பகுதி என்று பின்னால் எழுதியிருக்கிறார்.
மேலே யானைக் கணக்கில் மீக்குறை யானை எண்ணிகையைக் கண்டறிந்தோம் அல்லவா? அதைத் தாம் மீக்குறைப் பொதுப் பெருக்கு (Least Common denominator) என்று சொல்வார். இரண்டிற்கு மேற்பட்ட பின்னங்களைக் கூட்டவேண்டும் என்று வந்தால், பின்னங்களின் கீழெண்களை வைத்து அவற்றின் மீக்குறைப் பொதுப்பெருக்கு எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பார்கள். அந்த எண்ணை மீக்குறைப் பொதுக் கீழெண் (Least Common Denominator) என்றும் சொல்வார். [ A common multiple of the denominator of two or more fractions, i.e., a number that each denominator divides exactly.]
காட்டாக, 1/2, 1/3, 3/7 என்ற பின்னங்களைக் கூட்டவேண்டுமானால், 2,3,7 ஆகிய கீழெண்களின் மீக்குறைப் பொதுப்பெருக்கு 42 என்றமையும். இது போக 84,126,168 என்பவையும் பொதுக் கீழெண்ணாக அமையலாம். மீக்குறை பொதுக் கீழெண்ணை வைத்துப் பின்னங்களைக் கூட்டுகிறோம். 1/2+1/3+1/7 = (21+14+6)/42 = 41/42. கொடுத்திருக்கும் எண்களின் மீக்குறை பொதுப் பெருக்கை (LCM) கண்டு பிடிக்கவேண்டுமானால், கொடுத்திருக்கும் எண்களைப் பெருமப் பகுதிகளாகப் பிரிக்க வேண்டும். [பெரும எண்கள் பற்றி முன்னாற் பார்த்தோம் அல்லவா?] காட்டாக 7,9,12,14 என்பவற்றின் மீ.பொ.பெ (LCM) கண்டுபிடிக்கவேண்டுமானால், அவற்றைக் கீழ்க்கண்டவாறு பெருமப் பகுதிகளாகப் பிரிக்க வேண்டும்.
7 = 7
9=3^2
12 = 3*2^2
14 = 7*2
இந்தப் பெருமப் பகுதிகளை ஒன்றோடொன்று பெருக்கி [ஒவ்வொரு பெருமப் பகுதியும் அதிகப்படியாக எத்தனை முறை வந்திருக்கிறதோ அதனையும் முறையெடுத்துப் பெருக்கி] மீ.பொ.பெ.யைக் கண்டு பிடித்துவிடலாம். [LCM is obtained by multiplying the prime factors together, taking each the maximum number of times it occurs in any of the numbers]. இங்கே மீ.பொ.பெ = 7*3^2*2^2 = 252
மிக்குயர் பொதுப்பகுதி (Highest Common Factor) என்பது மீ.பொ.பெ.வுக்கு அப்படியே தலைகீழானது. இது கொடுக்கப்பட்ட எண்களை மிக்குயர்ந்த முறையில் எந்த எண் வகுக்கும் என்று கண்டுபிடிக்கும் வகையாகும். [A number that divides two or more given numbers exactly] காட்டாக, 20, 70, 80 என்ற எண்களை 2, 5,10 என்ற எண்கள் வகுக்கும்.
இவற்றில் மிக்குயர் பொதுப்பகுதி Highest Common Factor (HCF), அல்லது Greatest Common Divisor (GCD). என்பது 10 என்று அறியலாம்.மீக்குயர் பொதுப்பகுதி (மீ,பொ.ப) கண்டு பிடிப்பதற்கு யூக்லிட் அல்கொரிதம் (Euclidian algorithm) என ஒன்றுண்டு. பெரும்பெரும் எண்களின் மீ.பொ.ப. கண்டுபிடிக்க அந்தச் செயல்வழியைப் பயன்படுத்தலாம். அதை இங்கு நான் விவரிக்கவில்லை. [அல்கொரிதம் என்பது கணக்குச் செயல்வழி குறிக்கும், குவாரிசாமியின் பெயரில் அமைந்த சொல்லாகும்]
--------------------------------------
இக் கட்டுரைத்தொடர் மூலம் முகனக் கணிதத்தின் சில பகுதிகளைத் தமிழில் முன்கொணர முடிந்தது. படித்த உங்களுக்கும் இது ஆர்வத்தைக் கொடுத்திருக்கும் என நம்புகிறேன். முதலிற்சொன்ன கணித நூலில் இருந்து உரைநடையில் ஒரு கணக்கைச் சொல்லி முடிக்கிறேன். இதன் விடையை நீங்களே கண்டுபிடியுங்கள்.
”ஒரு நாட்டை ஆண்ட அரசனுக்கு 4 கோட்டைகள் இருந்தன. ஒரு நாள் அந்த அரசன் குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையுள்ள சேவகர்களை அழைத்துக் கொண்டு முதற்கோட்டைக்குச் சென்றான். அங்கு தன்னோடுவந்த படையினரில் பாதிப் பேரை நிறுத்தி வைத்தான். அதன்பின், முதல் கோட்டையில் நின்றவர் போக எஞ்சியவரில் 2/3 பங்கு சேவகர்களை 2 ஆம் கோட்டையில் நிறுத்தி, 3 ஆம் கோட்டைக்குச் சென்றான். 2 ஆம் கோட்டையில் நின்றவர் போக எஞ்சியவரில் 3/4 பங்கு சேவகர்களை 3 ஆம் கோட்டையில் நிறுத்தி, 4 ஆம் கோட்டைக்குச் சென்றான். 3 ஆம் கோட்டையில் நின்றவர் போக எஞ்சியவரில் 4/5 பங்கு சேவகர்களை 4 ஆம் கோட்டையில் நிறுத்தி, எஞ்சிய படைகளோடு மேலும் சென்றான்.
அரசன் பின்னால் இப்பொழுது வந்தவரி முதலில் வந்தவனுக்கு ஒரு பணமும், இரண்டாவது வந்தவனுக்கு 2 பணமும், மூன்றாவது வந்தவனுக்கு மூன்று பணமுமாகப் பின்னால் வந்த சேவகர்களுக்கு ஒவ்வொரு பணம் அதிகமாகத் தந்தான். அரசன் சேவகருக்குக் கொடுத்த பணம் முழுதையும் கணக்கிட்டுப் பார்க்கையில், 4 கோட்டையிலும் இருத்தின சேவகர்கள் உட்பட அனைத்துச் சேவுகருக்கும் ஒவ்வொரு பணம் கொடுக்கும்படி சரியாக இருந்தது என்றால்,
1. முதலில் அரசனுடன் புறப்பட்ட சேவகர் எத்தனை பேர்?
2. முதல், இரண்டாம், மூன்றாம், நாலாம் கோட்டைகளில் நிறுத்தின சேவுகர் எத்தனை பேர்?
3. ஒவ்வொரு பணம் அதிகமாகக் அரசன் சேவுகர்களுக்குக் கொடுத்த மொத்தப் பணம் எவ்வளவு?”
இது எண்ணியலிற்குள் விதப்பாகக் கொடுக்கப்படும் ஒருவகைக் கணக்கு. இது போல நூற்றுக் கணக்கான கணக்குகள் கணக்கதிகாரத்திலும், கணித நூலிலும் உள்ளன.
அன்புடன்,
இராம.கி.
எண்ணியல் - 6
இப்பகுதியில் முகனக் கணித (modern mathematics) வழி கொத்துக்களின் வகைகள் பற்றியும், கொத்துத் தேற்று (set theory) பற்றியும் ஒருசில பார்த்து விட்டுச் ”சில்லும் சிறிசுமாகச்” சில எண்கள் பின்னங்களைச் சொல்லப் போகிறேன்.
இக்காலத்தில் எண்ணியற் படிப்பில் எல்லாவற்றையும் கொத்துத் தேற்றின் (set theory) அடிப்படையிலே சொல்லிக் கொடுக்கிறார். கொத்து என்பது ஒரு தொகுதி. ”கொத்தின் உள்ளுமங்கள் (elements of the set) எவை? உள்ளுமங்கள் இடையிருக்கும் பிணைப்புறவு (combining relation) என்ன? இக்கொத்தை இன்னொன்றாய் உருமாற்ற முடியுமா? அதற்கான முகப்பு (map) என்ன? இக் கொத்தை (வேறு கொத்தை நோக்கிச் செலுத்தாமல்) இதன் மேலேயே செலுத்துமாப் போல முகக்க (to map) முடியுமா? கொத்தினுள் ஒற்றுள்ளுமம் (identity element) எது? கொத்தின் உள்ளுமங்களுக்கு (elements) எதிருள்ளுமம் (inverse element) உண்டா?” என்ற கேள்விகளை இத்தேற்றில் எழுப்புகிறார். இக் கேள்விகளுக்கு விடைகள் தேடுவதால் கொத்தின் இயல்புகள் கற்போருக்குத் தெள்ளத் தெரிவாகத் தெரிகின்றன. பின் அந்த இயல்புகளை வைத்து, புதுப் புதுப் புதிரிகளைப் (problems) போடுகிறார். அப்புதிரிகளைத் தீர்க்கும் போது ”பொருளுள்ள தன்மையும் (meaningful character) , ஒத்திசைவும் (consistency) தெரிகின்றனவா?” என்று பார்க்கிறார்.
இப்படிப் பார்க்கும் கொத்திற்குள் ஒரு பிணைப்புறவு மட்டுமே அமைய வேண்டும் என்றில்லை. 2,3 பிணைப்புறவுகள் இருக்கலாம் அதேபோல ஒரேயொரு ஒற்றமே (identity) இருக்க வேண்டும் என்பதில்லை. உள்ளக எண் (Real numer) கொத்தில் இருப்பது போல், கூட்டல், பெருக்கல் என்று 2 பிணைப்பு உறவுகளும், ஒரு பிணைப்புறவிற்கு ஒன்றாய் 0,1 என்று இரு ஒற்றங்களும் இருக்கலாம். இத்தனையாண்டுக் காலக் கணிதவளர்ச்சியில் விதவிதமான கொத்துகளை அடையாளம் கண்டுள்ளார். குழுக்கள் (groups), வலயங்கள் (rings), புலங்கள் (fields), வேயர் வெளிகள் (vector spaces), பொருத்துகள் (algebras) என்று பல்வேறு கட்டுக்கூறுகள் (categories) அடுத்தடுத்து எழுந்துள்ளன. இக் கட்டுக்கூறுகளின் முழு விவரிப்பும் சொல்லப் புகின் அது பெரிதாய் விரியும்.
ஒரு கொத்திற்கடியில் இன்னொரு கொத்துக்கூடப் பின்புலத்தில் இருக்கலாம். காட்டாக வேயர் வெளியின் பின்புலமாய் ”உள்ளக அளவர்ப் புலம் (real scalar field)” அமைந்திருக்கும். [வேயர் வெளியின் அமைப்பு ஒன்றின் மேல் இன்னொன்றாய், மாடிவீடு கட்டினாற் போல் அமையலாம்.] இற்றைப் பூதியலில் (physics), குறிப்பாக மாகனவியலிலும் (mechanics), கணுத்த மாகனவியலிலும் (continuum mechanics), விளவ மாகனவியலிலும் (fluid mechanics), வேயர் வெளிகள் (vector spaces), தந்தர்ப் புலங்கள் (tensor fields) போன்றவை வெகுவாகப் பயன்படுகின்றன. இவற்றை அறியாமல் பூதியலில் எந்த வேலையும் இனிச் செய்ய முடியாத நிலைக்கு நாம் வந்துவிட்டோம். அதே போல மடிக்கைகள் (matrices), தீர்மானன்கள் (determinants) அறியாமல் கணிதத்தில் பலவற்றையும் செய்யமுடியாது என்ற நிலை ஆகிவிட்டது.
{தந்தர் என்ற சொல்லின் விளக்கத்தின் சுருங்க இங்கு சொல்லவேண்டும் என்பதால் சற்று இடைவிலகுகிறேன். தந்து என்ற சொல் தமிழில் நூலையும், மெல்லிய கயிற்றையும் குறிக்கும். தந்தின் நீட்சியான தந்தி என்பது மாழைக் கம்பியைக் (metal wire) குறிக்கும். தந்தித்தல் என்ற வினை நூல் நூற்றலைக் குறிக்கும். நூற்பது என்பது நாம் கொடுக்கும் இழுவிசையால் (drawing force) ஏற்படும் செய்கையாகும். இழுவிசை என்ற சொல் நாம் கொடுக்கும் விசையைப் பொதுவாய்க் குறிக்க, தந்த விசை என்பது தந்தின் உள்ளே துலங்கும் விதப்பான tensile force ஐக் (தந்தில் இருக்கும் விசையைக்) குறிக்கும். சுருக்கமாய் tension என்பதைத் தந்தம் என்றே சொல்லலாம். தந்தர்(tensor) என்பது இழுக்கும் நிகழ்வையொட்டி நாருக்குள்/இழைக்குள் (filament) நடக்கும் எதிர்விளைத் தகைகளை (stresses) உணர்த்தும் சொல்லாகும்.
வேயம் என்ற சொல் vector -யை எப்படிக் குறிக்கிறதென்று இங்கு முழுதும் சொல்ல முற்படவில்லை. அதற்கும் wagon, carry, means of transport, vehicle போன்ற சொற்களுக்கும் உள்ள உறவை நம் பழைய பழக்கங்களை வைத்து இன்னொரு கட்டுரையில் விவரித்துச் சொல்லுவேன். இங்கு ஓரளவு குறிப்பு மட்டுமே காட்டுகிறேன். அவ்வளவு தான்.
தென்பாண்டி நாட்டில் அக்காலத்தில் திறந்துகிடக்கும் (மாட்டு)வண்டிகள் பாரம் தூக்குவதற்கும், (மாடு அல்லது குதிரை இழுக்கும்) கூட்டு வண்டிகள் ஆட்களைக் கொண்டுசெல்வதற்கும் பயனாகும். பெருந்தனக்காரர் வீடுகளில் 60/70 ஆண்டுகளுக்கு முன் கூட்டுவண்டி இலாத வீடே இருக்காது. கூட்டு வண்டியையே ஆங்கிலத்தில் wagon என்றார். மூங்கிற் கூரை கொண்டு வேயப்பட்ட வண்டி. ”கூட்டுவண்டி, வேய்ச்சகடு, வேய்வண்டி” என்று நம் மரபிற் சொல்லப் பெறும். பல நாட்டுப்புற வீடுகளில் வண்டியில் இருந்து கூட்டைக் கழற்றிப் பண்ணையிற் போட்டு வைத்திருப்பார். தேவைப்படும் போது, திறந்த வண்டியில் மூங்கிற் கூரையை எளிதாக மாட்டி ஆட்களைக் கொண்டுசெல்லும் வகையில் மாற்றலாம். ஆட்களைக் கொண்டுசெல்வது (to carry) என்றாலே வேய்தல் வினை உடன் வந்துவிடும். வேய்ச் சகட்டிற்குத் தேவையான மூங்கிலின் குச்சி, அம்பிற்கும் பயன்படும். இங்கு சொன்ன இருவேறு கருத்துக்களுக்கும் துணை நிற்பது மூங்கிலைக் குறிக்கும் வேய் எனும் சொல்லாகும். அதோடு எச் சகட்டுப் பயணமும் (வண்டிப் பயணமும்) ஒரு திசையை நோக்கியே அமையும். திசை, தொலைவு, கூடுகை என்ற மூன்று தன்மைகளையும் உணர்த்தும் சொல் வேய்> வேயர் என்றாகும் தொடர்புள்ள ஆங்கில விளக்கத்தைக் கீழே தருகிறேன்.
[ vector = "quantity having magnitude and direction," 1704, from L. vectophysics) r "one who carries or conveys, carrier," from pp. stem of vehere "carry, convey" (see vehicle) - vehicle 1612, "a medium through which a drug or medicine is administered," 1615 in the sense of "any means of conveying or transmitting," from Fr. véhicule, from L. vehiculum "means of transport, a vehicle," from vehere "to carry," from PIE *wegh- "to go, transport in a vehicle" (cf. O.E. wegan "to carry;" O.N. vegr, O.H.G. weg "way;" M.Du. wagen "wagon;" see wagon). Sense of "cart or other conveyance" first recorded 1656.]}
கொத்துத் தேற்று (set theory) கற்ற பின்னால் படிப்படியாக எண்ணியலும் (arithmetics), பொருத்தியலும் (algebra), வடிவியலும் (geometry), வகைப்புக் கலனம் (differential calculus), தொகைப்புக் கலனம் (integral calculus) அடங்கிய பகுப்பு அலசலும் (analysis), இடப்பியலும் (topology) முகனக் கணிதத்திற் கற்பிக்கப் படுகின்றன. இன்னும் உயர்நிலைக் கணிதமாய் பொருத்து வடிவியல் (algebraic geometry), வகைப்பு இடப்பியல் (differential topology), வகைப்பு வடிவியல் (differential geometry) என்று மேலும் விரிகின்றன. ஆர்வம் மட்டும் நமக்கிருந்தால், முகனக் கணிதம் நம்மை பெரிதும் ஈர்த்திழுக்கும் படிப்பேயாகும்.
--------------------------------------------------
இனிச் சில உதிரியெண்களையும் பின்னங்களையும் பார்ப்போம்.
முதலாவதாகப் பார்க்கப் போவது குவையெண்ணாகும் (cardinal number). ஒவ்வொரு கொத்திலும் இருக்கும் மொத்த உள்ளுமங்கள் (elements) எத்தனை என்று கூட்டிச் சொல்லக் கூடிய எண்ணை குவையெண் [cardinal number = a number that indicates the number of elements in a set] என்பார்.
அடுத்தது வரிசையெண். 10 உள்ளுமங்கள் ஒரு கொத்தில் உள்ளன. அவற்றில் எது முதலாவது, எது இரண்டாவது என வரிசைப்படுத்திச் சொன்னால் அந்த எண்ணிற்கு வரிசையெண் (ordinal number) என்று பெயர். ஒரு கொத்தில் (2, 4, 6, 8, 10.........) என்று இருக்கிறது. இதில் 2 என்று உள்ளுமத்தின் வரிசையெண் 1. 4 இன் வரிசையெண் 2, ...... இப்படி வரிசையாய்ப் போய்க்கொண்டிருக்கும். எல்லாக் கொத்திற்குள்ளும் வரிசையெண் சொல்லும் தேவையில்லை. வரிசையெண்களே இல்லாதும் ஒரு கொத்து இருக்கலாம். [ordinal mumber = a number denoting the position in a sequence e.g. first, second, third]
அடுத்தது கூட்டெண். நம் கண் முன்னே பல்வேறு பொருட்கள் இருக்கின்றன. அவற்றின் மொத்தத் தொகையைக் கூட்டியறிய வேண்டும். காட்டாகச் சில வாக்கியங்களைப் பார்ப்போம்.
i) 24 பொருட்கள் இருக்கின்றன.
ii) 437 உள்ளுமங்கள் இந்தக் கொத்தில் உள்ளன.
iii) எண்ணற்ற எண்கள் இயலெண் கொத்தில் உள்ளன.
இப்படிக் கொத்தின் உள்ளிருக்கும் பொருள்களைக் கூட்டிச் சொல்வதை கூட்டெண்கள் என்பார். கூட்டெண்கள் முதலாம் எண்ணிற் தொடங்கிப் போய்க் கொண்டிருக்குமே ஒழிய, சுழி (zero), நொகையெண்கள் (negative numbers) ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்காது. (counting number = A number used in counting objects, one of the set of positive integers.)
நாலாம் வகையெண்கள் கூட்டுப்பொதியெண்கள் எனப்பெறும். முன்னால் பெருமெண்கள் (prime numbers) பற்றிச் சொன்னோம் அல்லவா? பெருமெண்கள் அல்லாத தொகுவெண்கள் (integers) எல்லாம் கூட்டுப்பொதியெண்கள் எனப் பெறும். (composite number = A number that is not prime.)
ஐந்தாம் வகையெண்கள் முற்றகையெண்கள் (absolute numbers) ஆகும். பொருத்தியல் பற்றிச் சொல்லும் போது x, y, z என்று பொருத்திக் கொண்டு அவற்றை மற்ற எண்களைப் போலவே கையாண்டு கூட்டல், பெருக்கல், கழித்தல், வகுத்தல், மூலங்காணல் என்று பல்வேறு செய்முறைகளைச் செய்தோம் அல்லவா? அந்த x, y, z போன்ற எண்களுக்கு ஒரு மதிப்புத் தான் உள்ளதா எனில் அப்படிச் சொல்ல முடியாதென்றே சொல்லவேண்டும். குழி மாற்றுச் சமன்பாடுகளில் (quadratic equations) x ற்கு இரண்டு மதிப்பு இருந்தது. கனவச் சமன்பாடுகளில் (cubic equations) மூன்று மதிப்பும், நாலவச் சமன் பாடுகளில் (quartic equation) 4 மதிப்பும், கைவகச் சமன்பாடுகளில் (quintic equation) 5 மதிப்பும் எனக் கூடிப்போகும். ஆனால், -7, 29, - 638,1115, 47/23, பை, 3+4.789i ,....... போன்ற எண்களுக்கு எல்லா இடத்திலும் ஒரே மதிப்பு மட்டுமே உண்டு. இது போன்ற பலக்கிய (complex) எண்களை, ஒரே மதிப்புக் கொண்ட முற்றகை எண்கள் என்பார். (absolute numbers = numbers with single value). x,y,z போன்றவை பல்மதிப்புக் கொண்டவை.
ஆறாம் வகை எண்கள் முழுமை எண்களாகும் (perfect numbers). ஒரு இயல் எண்ணை எடுத்துக் கொண்டு, ஏதெல்லாம் அதை வகுக்குமென்று பார்த்தும் அந்த வகுபடும் எண்களைக் கூட்டினால் எடுத்துக் கொண்ட இயலெண் வருமானால், கொடுக்கப் பட்ட இயலெண் முழுமை எண்ணாகும். காட்டாக 6 என்பதை எடுப்போம். இதை 1, 2, 3 ஆகியவை வகுக்கும். அதோடு, 1+2+3 = 6 என்றும் அமையும். எனவே 6 என்பது தான் முதல் முழுமையெண். அடுத்த முழுமையெண் 28. இதை 1,2,4, 7, 14 ஆகியவை வகுக்கும். தவிர, 1+2+4+7+14 = 28; மூன்றாவது முழுமையெண் 496. இதை 1, 2, 4, 8,16, 31, 62, 124, 248 ஆகியவை வகுக்கும். இவற்றைக் கூட்டினால், 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496 என்றாகும். நாலாவது முழுமையெண் 8128 ஆகும். (perfect number). = a natural number that is equal to the sum of its proper divisors) இது போல சிறப்பு எண்கள் பலவும் இயலெண்களில் உள்ளன. அவற்றைக் கண்டுபிடிப்பதே ஒரு விறுவிறுப்பான பொழுதுபோக்கு.
இனிப் பின்னங்களுக்கு வருவோம். பின்னப்படுவது பின்னம். பின்னல் = பிளத்தல், அதாவது வகுத்தல், உடைத்தல் பொருட்பாடுகளைக் கொண்டது. பின்னம் என்பது ஓரெண்ணை இன்னொரு எண்ணால் மீதமின்றி முற்றிலும் வகுத்துக்கொண்டே போனால் கிடைக்கும் எண்ணாகும் [fraction is a quotient of one number by another with no remainder.]. மேலெண்ணும் (numerator) , கீழெண்ணும் (denominator) தொகுவெண்ணாக (integer) இருந்தால் வகுத்துக் கிட்டும் எண்ணைப் பொதுகைப் பின்னம் என்பார். (common fraction) = both numerator and denominator are integers)
அடுத்த பின்னம் பலக்கிய பின்னம் (complex fraction). இதில் மேலெண்ணும், கீழெண்ணுமே கூடப் பின்னங்களாய் இருக்கலாம் [(1/2)/(11/29) = [(1*29)/(2*11)] = [29/22] {complex fraction = the numerator and denominator are themselves fraction]
அடுத்தது ஒழுங்குப் பின்னம் (proper fraction). கீழெண்ணைக் காட்டிலும் மேலெண் சிறியதாய் இருக்கவேண்டும். (the numerator is less than the denominator).
நாலாவது ஒழுங்கிலாப் பின்னம் (improper fraction) கீழெண்ணைக் காட்டிலும் மேலெண் பெரிதானது. (the numerator is larger than denominator)
ஐந்தாவது கலவைப் பின்னம் (mixed fraction) ஒரு தொகுவெண்ணும் ஒழுங்குப் பின்னமும் சேர்ந்தது (an integer together with a proper fraction)
ஆறாவது பகுதிப் பின்னங்கள் (partial fraction): இப்பின்னங்களைப் பொருத்தியல் முறையிற் கூட்டி, அதன் விளைவால் கொடுக்கப்பட்ட பின்னம் கிடைக்குமானால், முதலில் எடுத்தவற்றைப் பகுதிப் பின்னங்கள் என்று அழைக்கலாம் (fractions whose algebraic sum is a given fraction) காட்டாக (1/2+3/4) = 5/4 = 1 1/4. 1/2 யும் 3/4 உம் 5/4 இன் பகுதிப் பின்னங்களாகும்.பகுதிப் பின்னங்களின் தலைக்கீழ்க் கருத்தீட்டை பின்ன உடைப்பு (decomposition of a fraction) என்பார். 5/4 எனும் பின்னத்தின் உடைப்பு 1/2, 3/4 ஆகியவையாகும்.
ஏழாவது தொடர் பின்னம் (continued fraction) எனப்படும். இது ஒன்றின் கீழ் ஒன்றாக தொடர்ந்து கொண்டே போகும் பின்னமாகும் (1+(1+(1+(1+((((((.....................x))))))).........) கணித மேதை இராமானுசன் தொடர் பின்னங்களில் புகுந்து விளையாடியுள்ளார். அவற்றைப் படித்து அவர் அறிவை வியக்காது இருக்கமுடியாது.
அடுத்த பகுதியில் LCM, HCF போன்றவற்றிற்கு வருவோம்.
அன்புடன்,
இராம.கி.
இக்காலத்தில் எண்ணியற் படிப்பில் எல்லாவற்றையும் கொத்துத் தேற்றின் (set theory) அடிப்படையிலே சொல்லிக் கொடுக்கிறார். கொத்து என்பது ஒரு தொகுதி. ”கொத்தின் உள்ளுமங்கள் (elements of the set) எவை? உள்ளுமங்கள் இடையிருக்கும் பிணைப்புறவு (combining relation) என்ன? இக்கொத்தை இன்னொன்றாய் உருமாற்ற முடியுமா? அதற்கான முகப்பு (map) என்ன? இக் கொத்தை (வேறு கொத்தை நோக்கிச் செலுத்தாமல்) இதன் மேலேயே செலுத்துமாப் போல முகக்க (to map) முடியுமா? கொத்தினுள் ஒற்றுள்ளுமம் (identity element) எது? கொத்தின் உள்ளுமங்களுக்கு (elements) எதிருள்ளுமம் (inverse element) உண்டா?” என்ற கேள்விகளை இத்தேற்றில் எழுப்புகிறார். இக் கேள்விகளுக்கு விடைகள் தேடுவதால் கொத்தின் இயல்புகள் கற்போருக்குத் தெள்ளத் தெரிவாகத் தெரிகின்றன. பின் அந்த இயல்புகளை வைத்து, புதுப் புதுப் புதிரிகளைப் (problems) போடுகிறார். அப்புதிரிகளைத் தீர்க்கும் போது ”பொருளுள்ள தன்மையும் (meaningful character) , ஒத்திசைவும் (consistency) தெரிகின்றனவா?” என்று பார்க்கிறார்.
இப்படிப் பார்க்கும் கொத்திற்குள் ஒரு பிணைப்புறவு மட்டுமே அமைய வேண்டும் என்றில்லை. 2,3 பிணைப்புறவுகள் இருக்கலாம் அதேபோல ஒரேயொரு ஒற்றமே (identity) இருக்க வேண்டும் என்பதில்லை. உள்ளக எண் (Real numer) கொத்தில் இருப்பது போல், கூட்டல், பெருக்கல் என்று 2 பிணைப்பு உறவுகளும், ஒரு பிணைப்புறவிற்கு ஒன்றாய் 0,1 என்று இரு ஒற்றங்களும் இருக்கலாம். இத்தனையாண்டுக் காலக் கணிதவளர்ச்சியில் விதவிதமான கொத்துகளை அடையாளம் கண்டுள்ளார். குழுக்கள் (groups), வலயங்கள் (rings), புலங்கள் (fields), வேயர் வெளிகள் (vector spaces), பொருத்துகள் (algebras) என்று பல்வேறு கட்டுக்கூறுகள் (categories) அடுத்தடுத்து எழுந்துள்ளன. இக் கட்டுக்கூறுகளின் முழு விவரிப்பும் சொல்லப் புகின் அது பெரிதாய் விரியும்.
ஒரு கொத்திற்கடியில் இன்னொரு கொத்துக்கூடப் பின்புலத்தில் இருக்கலாம். காட்டாக வேயர் வெளியின் பின்புலமாய் ”உள்ளக அளவர்ப் புலம் (real scalar field)” அமைந்திருக்கும். [வேயர் வெளியின் அமைப்பு ஒன்றின் மேல் இன்னொன்றாய், மாடிவீடு கட்டினாற் போல் அமையலாம்.] இற்றைப் பூதியலில் (physics), குறிப்பாக மாகனவியலிலும் (mechanics), கணுத்த மாகனவியலிலும் (continuum mechanics), விளவ மாகனவியலிலும் (fluid mechanics), வேயர் வெளிகள் (vector spaces), தந்தர்ப் புலங்கள் (tensor fields) போன்றவை வெகுவாகப் பயன்படுகின்றன. இவற்றை அறியாமல் பூதியலில் எந்த வேலையும் இனிச் செய்ய முடியாத நிலைக்கு நாம் வந்துவிட்டோம். அதே போல மடிக்கைகள் (matrices), தீர்மானன்கள் (determinants) அறியாமல் கணிதத்தில் பலவற்றையும் செய்யமுடியாது என்ற நிலை ஆகிவிட்டது.
{தந்தர் என்ற சொல்லின் விளக்கத்தின் சுருங்க இங்கு சொல்லவேண்டும் என்பதால் சற்று இடைவிலகுகிறேன். தந்து என்ற சொல் தமிழில் நூலையும், மெல்லிய கயிற்றையும் குறிக்கும். தந்தின் நீட்சியான தந்தி என்பது மாழைக் கம்பியைக் (metal wire) குறிக்கும். தந்தித்தல் என்ற வினை நூல் நூற்றலைக் குறிக்கும். நூற்பது என்பது நாம் கொடுக்கும் இழுவிசையால் (drawing force) ஏற்படும் செய்கையாகும். இழுவிசை என்ற சொல் நாம் கொடுக்கும் விசையைப் பொதுவாய்க் குறிக்க, தந்த விசை என்பது தந்தின் உள்ளே துலங்கும் விதப்பான tensile force ஐக் (தந்தில் இருக்கும் விசையைக்) குறிக்கும். சுருக்கமாய் tension என்பதைத் தந்தம் என்றே சொல்லலாம். தந்தர்(tensor) என்பது இழுக்கும் நிகழ்வையொட்டி நாருக்குள்/இழைக்குள் (filament) நடக்கும் எதிர்விளைத் தகைகளை (stresses) உணர்த்தும் சொல்லாகும்.
வேயம் என்ற சொல் vector -யை எப்படிக் குறிக்கிறதென்று இங்கு முழுதும் சொல்ல முற்படவில்லை. அதற்கும் wagon, carry, means of transport, vehicle போன்ற சொற்களுக்கும் உள்ள உறவை நம் பழைய பழக்கங்களை வைத்து இன்னொரு கட்டுரையில் விவரித்துச் சொல்லுவேன். இங்கு ஓரளவு குறிப்பு மட்டுமே காட்டுகிறேன். அவ்வளவு தான்.
தென்பாண்டி நாட்டில் அக்காலத்தில் திறந்துகிடக்கும் (மாட்டு)வண்டிகள் பாரம் தூக்குவதற்கும், (மாடு அல்லது குதிரை இழுக்கும்) கூட்டு வண்டிகள் ஆட்களைக் கொண்டுசெல்வதற்கும் பயனாகும். பெருந்தனக்காரர் வீடுகளில் 60/70 ஆண்டுகளுக்கு முன் கூட்டுவண்டி இலாத வீடே இருக்காது. கூட்டு வண்டியையே ஆங்கிலத்தில் wagon என்றார். மூங்கிற் கூரை கொண்டு வேயப்பட்ட வண்டி. ”கூட்டுவண்டி, வேய்ச்சகடு, வேய்வண்டி” என்று நம் மரபிற் சொல்லப் பெறும். பல நாட்டுப்புற வீடுகளில் வண்டியில் இருந்து கூட்டைக் கழற்றிப் பண்ணையிற் போட்டு வைத்திருப்பார். தேவைப்படும் போது, திறந்த வண்டியில் மூங்கிற் கூரையை எளிதாக மாட்டி ஆட்களைக் கொண்டுசெல்லும் வகையில் மாற்றலாம். ஆட்களைக் கொண்டுசெல்வது (to carry) என்றாலே வேய்தல் வினை உடன் வந்துவிடும். வேய்ச் சகட்டிற்குத் தேவையான மூங்கிலின் குச்சி, அம்பிற்கும் பயன்படும். இங்கு சொன்ன இருவேறு கருத்துக்களுக்கும் துணை நிற்பது மூங்கிலைக் குறிக்கும் வேய் எனும் சொல்லாகும். அதோடு எச் சகட்டுப் பயணமும் (வண்டிப் பயணமும்) ஒரு திசையை நோக்கியே அமையும். திசை, தொலைவு, கூடுகை என்ற மூன்று தன்மைகளையும் உணர்த்தும் சொல் வேய்> வேயர் என்றாகும் தொடர்புள்ள ஆங்கில விளக்கத்தைக் கீழே தருகிறேன்.
[ vector = "quantity having magnitude and direction," 1704, from L. vectophysics) r "one who carries or conveys, carrier," from pp. stem of vehere "carry, convey" (see vehicle) - vehicle 1612, "a medium through which a drug or medicine is administered," 1615 in the sense of "any means of conveying or transmitting," from Fr. véhicule, from L. vehiculum "means of transport, a vehicle," from vehere "to carry," from PIE *wegh- "to go, transport in a vehicle" (cf. O.E. wegan "to carry;" O.N. vegr, O.H.G. weg "way;" M.Du. wagen "wagon;" see wagon). Sense of "cart or other conveyance" first recorded 1656.]}
கொத்துத் தேற்று (set theory) கற்ற பின்னால் படிப்படியாக எண்ணியலும் (arithmetics), பொருத்தியலும் (algebra), வடிவியலும் (geometry), வகைப்புக் கலனம் (differential calculus), தொகைப்புக் கலனம் (integral calculus) அடங்கிய பகுப்பு அலசலும் (analysis), இடப்பியலும் (topology) முகனக் கணிதத்திற் கற்பிக்கப் படுகின்றன. இன்னும் உயர்நிலைக் கணிதமாய் பொருத்து வடிவியல் (algebraic geometry), வகைப்பு இடப்பியல் (differential topology), வகைப்பு வடிவியல் (differential geometry) என்று மேலும் விரிகின்றன. ஆர்வம் மட்டும் நமக்கிருந்தால், முகனக் கணிதம் நம்மை பெரிதும் ஈர்த்திழுக்கும் படிப்பேயாகும்.
--------------------------------------------------
இனிச் சில உதிரியெண்களையும் பின்னங்களையும் பார்ப்போம்.
முதலாவதாகப் பார்க்கப் போவது குவையெண்ணாகும் (cardinal number). ஒவ்வொரு கொத்திலும் இருக்கும் மொத்த உள்ளுமங்கள் (elements) எத்தனை என்று கூட்டிச் சொல்லக் கூடிய எண்ணை குவையெண் [cardinal number = a number that indicates the number of elements in a set] என்பார்.
அடுத்தது வரிசையெண். 10 உள்ளுமங்கள் ஒரு கொத்தில் உள்ளன. அவற்றில் எது முதலாவது, எது இரண்டாவது என வரிசைப்படுத்திச் சொன்னால் அந்த எண்ணிற்கு வரிசையெண் (ordinal number) என்று பெயர். ஒரு கொத்தில் (2, 4, 6, 8, 10.........) என்று இருக்கிறது. இதில் 2 என்று உள்ளுமத்தின் வரிசையெண் 1. 4 இன் வரிசையெண் 2, ...... இப்படி வரிசையாய்ப் போய்க்கொண்டிருக்கும். எல்லாக் கொத்திற்குள்ளும் வரிசையெண் சொல்லும் தேவையில்லை. வரிசையெண்களே இல்லாதும் ஒரு கொத்து இருக்கலாம். [ordinal mumber = a number denoting the position in a sequence e.g. first, second, third]
அடுத்தது கூட்டெண். நம் கண் முன்னே பல்வேறு பொருட்கள் இருக்கின்றன. அவற்றின் மொத்தத் தொகையைக் கூட்டியறிய வேண்டும். காட்டாகச் சில வாக்கியங்களைப் பார்ப்போம்.
i) 24 பொருட்கள் இருக்கின்றன.
ii) 437 உள்ளுமங்கள் இந்தக் கொத்தில் உள்ளன.
iii) எண்ணற்ற எண்கள் இயலெண் கொத்தில் உள்ளன.
இப்படிக் கொத்தின் உள்ளிருக்கும் பொருள்களைக் கூட்டிச் சொல்வதை கூட்டெண்கள் என்பார். கூட்டெண்கள் முதலாம் எண்ணிற் தொடங்கிப் போய்க் கொண்டிருக்குமே ஒழிய, சுழி (zero), நொகையெண்கள் (negative numbers) ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்காது. (counting number = A number used in counting objects, one of the set of positive integers.)
நாலாம் வகையெண்கள் கூட்டுப்பொதியெண்கள் எனப்பெறும். முன்னால் பெருமெண்கள் (prime numbers) பற்றிச் சொன்னோம் அல்லவா? பெருமெண்கள் அல்லாத தொகுவெண்கள் (integers) எல்லாம் கூட்டுப்பொதியெண்கள் எனப் பெறும். (composite number = A number that is not prime.)
ஐந்தாம் வகையெண்கள் முற்றகையெண்கள் (absolute numbers) ஆகும். பொருத்தியல் பற்றிச் சொல்லும் போது x, y, z என்று பொருத்திக் கொண்டு அவற்றை மற்ற எண்களைப் போலவே கையாண்டு கூட்டல், பெருக்கல், கழித்தல், வகுத்தல், மூலங்காணல் என்று பல்வேறு செய்முறைகளைச் செய்தோம் அல்லவா? அந்த x, y, z போன்ற எண்களுக்கு ஒரு மதிப்புத் தான் உள்ளதா எனில் அப்படிச் சொல்ல முடியாதென்றே சொல்லவேண்டும். குழி மாற்றுச் சமன்பாடுகளில் (quadratic equations) x ற்கு இரண்டு மதிப்பு இருந்தது. கனவச் சமன்பாடுகளில் (cubic equations) மூன்று மதிப்பும், நாலவச் சமன் பாடுகளில் (quartic equation) 4 மதிப்பும், கைவகச் சமன்பாடுகளில் (quintic equation) 5 மதிப்பும் எனக் கூடிப்போகும். ஆனால், -7, 29, - 638,1115, 47/23, பை, 3+4.789i ,....... போன்ற எண்களுக்கு எல்லா இடத்திலும் ஒரே மதிப்பு மட்டுமே உண்டு. இது போன்ற பலக்கிய (complex) எண்களை, ஒரே மதிப்புக் கொண்ட முற்றகை எண்கள் என்பார். (absolute numbers = numbers with single value). x,y,z போன்றவை பல்மதிப்புக் கொண்டவை.
ஆறாம் வகை எண்கள் முழுமை எண்களாகும் (perfect numbers). ஒரு இயல் எண்ணை எடுத்துக் கொண்டு, ஏதெல்லாம் அதை வகுக்குமென்று பார்த்தும் அந்த வகுபடும் எண்களைக் கூட்டினால் எடுத்துக் கொண்ட இயலெண் வருமானால், கொடுக்கப் பட்ட இயலெண் முழுமை எண்ணாகும். காட்டாக 6 என்பதை எடுப்போம். இதை 1, 2, 3 ஆகியவை வகுக்கும். அதோடு, 1+2+3 = 6 என்றும் அமையும். எனவே 6 என்பது தான் முதல் முழுமையெண். அடுத்த முழுமையெண் 28. இதை 1,2,4, 7, 14 ஆகியவை வகுக்கும். தவிர, 1+2+4+7+14 = 28; மூன்றாவது முழுமையெண் 496. இதை 1, 2, 4, 8,16, 31, 62, 124, 248 ஆகியவை வகுக்கும். இவற்றைக் கூட்டினால், 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496 என்றாகும். நாலாவது முழுமையெண் 8128 ஆகும். (perfect number). = a natural number that is equal to the sum of its proper divisors) இது போல சிறப்பு எண்கள் பலவும் இயலெண்களில் உள்ளன. அவற்றைக் கண்டுபிடிப்பதே ஒரு விறுவிறுப்பான பொழுதுபோக்கு.
இனிப் பின்னங்களுக்கு வருவோம். பின்னப்படுவது பின்னம். பின்னல் = பிளத்தல், அதாவது வகுத்தல், உடைத்தல் பொருட்பாடுகளைக் கொண்டது. பின்னம் என்பது ஓரெண்ணை இன்னொரு எண்ணால் மீதமின்றி முற்றிலும் வகுத்துக்கொண்டே போனால் கிடைக்கும் எண்ணாகும் [fraction is a quotient of one number by another with no remainder.]. மேலெண்ணும் (numerator) , கீழெண்ணும் (denominator) தொகுவெண்ணாக (integer) இருந்தால் வகுத்துக் கிட்டும் எண்ணைப் பொதுகைப் பின்னம் என்பார். (common fraction) = both numerator and denominator are integers)
அடுத்த பின்னம் பலக்கிய பின்னம் (complex fraction). இதில் மேலெண்ணும், கீழெண்ணுமே கூடப் பின்னங்களாய் இருக்கலாம் [(1/2)/(11/29) = [(1*29)/(2*11)] = [29/22] {complex fraction = the numerator and denominator are themselves fraction]
அடுத்தது ஒழுங்குப் பின்னம் (proper fraction). கீழெண்ணைக் காட்டிலும் மேலெண் சிறியதாய் இருக்கவேண்டும். (the numerator is less than the denominator).
நாலாவது ஒழுங்கிலாப் பின்னம் (improper fraction) கீழெண்ணைக் காட்டிலும் மேலெண் பெரிதானது. (the numerator is larger than denominator)
ஐந்தாவது கலவைப் பின்னம் (mixed fraction) ஒரு தொகுவெண்ணும் ஒழுங்குப் பின்னமும் சேர்ந்தது (an integer together with a proper fraction)
ஆறாவது பகுதிப் பின்னங்கள் (partial fraction): இப்பின்னங்களைப் பொருத்தியல் முறையிற் கூட்டி, அதன் விளைவால் கொடுக்கப்பட்ட பின்னம் கிடைக்குமானால், முதலில் எடுத்தவற்றைப் பகுதிப் பின்னங்கள் என்று அழைக்கலாம் (fractions whose algebraic sum is a given fraction) காட்டாக (1/2+3/4) = 5/4 = 1 1/4. 1/2 யும் 3/4 உம் 5/4 இன் பகுதிப் பின்னங்களாகும்.பகுதிப் பின்னங்களின் தலைக்கீழ்க் கருத்தீட்டை பின்ன உடைப்பு (decomposition of a fraction) என்பார். 5/4 எனும் பின்னத்தின் உடைப்பு 1/2, 3/4 ஆகியவையாகும்.
ஏழாவது தொடர் பின்னம் (continued fraction) எனப்படும். இது ஒன்றின் கீழ் ஒன்றாக தொடர்ந்து கொண்டே போகும் பின்னமாகும் (1+(1+(1+(1+((((((.....................x))))))).........) கணித மேதை இராமானுசன் தொடர் பின்னங்களில் புகுந்து விளையாடியுள்ளார். அவற்றைப் படித்து அவர் அறிவை வியக்காது இருக்கமுடியாது.
அடுத்த பகுதியில் LCM, HCF போன்றவற்றிற்கு வருவோம்.
அன்புடன்,
இராம.கி.
Wednesday, April 28, 2010
எண்ணியல் - 5
குழிமாற்றுக் கணக்குகளில் (அதாவது, பரப்புக் காணும் கணக்குகளில்) சதுரம், செவ்வகம் ஆகியவற்றின் பக்கங்களைக் கொடுத்துப் பரப்புக் காணவும், பரப்பைக் கொடுத்து நீள, அகலங்களிடையே ஓர் உறவையும் கொடுத்து, பக்கங்களைக் காணச் சொல்வது பழங்கணிதத்தில் ஒரு பழக்கம் ஆகும். இப் புதிரிகளில் விதம் விதமாகக் கடுமையைக் கூட்டிப் போவார். ஒரு விறுவிறுப்பும் இருக்கும். சதுரம், செவ்வகம் போக, நாற்கோட்டம் (quadrilateral), நாற்பதியம் (trapezium) என வடிவங்கள் விரியும். இத்தனை வடிவங்களும் நிலவரிக் கணிப்பின் தொடர்பாற் கணிதத்துள் வந்தன. இவைபோக வட்ட நிலங்கள், அரைவட்ட, கால்வட்ட, வில்வட்ட நிலங்கள் என்று பல்வேறு நிலங்களும் உண்டு. பேரரசுச் சோழர் காலக் கல்வெட்டுக்களைப் படித்தால் நிலங்களின் வகைகண்டு வியப்போம். கணக்கில் திறனில்லையெனில் இவற்றை எப்படிச் சரிகாண்பது? அதோடு, ஆறில் ஒருபோக விளைச்சலை இறைக் கொள்ளவேண்டுமே? எண்ணியலும், வடிவியலும், பொருத்தியலும் குறைந்த அளவாவது பேரரசுச் சோழர்காலத்தில் வளர்ந்திருக்க வேண்டும். [இவ்வறிவில்லாமல் ஒரு பேரரசின் பொருளியல் இருந்திருக்க முடியுமா?]
[எண்ணியலில் வரும் மற்ற எண்களைச் சொல்லுமுன், இவ்விடத்தில் இடை விலகல் செய்யாது என்னால் முடியவில்லை. பொறுத்துக் கொள்ளுங்கள். செவ்வகம், சதுரம் போன்ற சொற்கள் எப்படியெழுந்தன தெரியுமோ?
செவ்வஃகம்>செவ்வகம்; அஃகம் = கூர், முனை. கூராதல் எனும் போது முனைகளில் எழும் கதிர்களின் கோணத்தையும் குறிக்கும். ”அஃகி அகன்ற அறிவென்னாம்” என்பது குறள் 175. கூர்ந்து அகன்ற விரிவு என்பது விரிந்த கோணத்தைக் குறிக்காது வேறெதைக் குறிக்கும்? கூர்ந்தகன்ற விரிவு இங்கு அறிவுக்கு இயல்பாய்ச் சுட்டப்பெறுகிறது. செவ்வையான அஃகம் = செவ்வையான கோணம். அதாவது 90 பாகையில் இருப்பது புலப்படுகிறது. செங்கோணமென்று பள்ளிப்பாடத்திற் சொல்வாரே? ஒவ்வொரு அஃகமும் செங்கோணத்தில் இருக்குமெனில், அந்த 4 கோணங்களும் 90 பாகையாகத் தான் இருக்கமுடியும். யுக்லீடின் வடிவியலில் இதற்கு வேறுவழியில்லை. ஆகச் செவ்வஃகம் என்று தமிழ்ப்பெயர் சூட்டியதே ஓர் அழகு தெரியுமோ? வட மொழியிலும் சமகோணம் என்று செவ்வஃகத்தை பெயரிடுவார்.
அதேபோலச் சதுரம் என்ற சொல் தோற்றத்தையும் அறிவது நல்லது. ”கரம், சிரம், புறம் நீட்டாதீர்” என்ற வாசகத்தைத் தமிழகத்தின் தெற்குப் பக்கப் பேருந்துகளில் எழுதியிருப்பார். கரம், கைக்கு இன்னொரு பெயர். கருமம் செய்வது கை. கருத்தல் / கருமுதல் என்பது கரத்திற்கான வினைச்சொல். கருப்பது கரம். கரத்தை வடமொழிச் சொல் என்றே பலரும் நினைக்கிறார். சாதிக்கவும் செய்கிறார். இதன் தமிழ்மையை எழுதப் புகுந்தால் பக்கங்கள் நீளும். கரத்தில் விளையும் செயல் காரம் அது வடமொழியில் கார்யமென்று திரியும். மீண்டும் தமிழுக்குக் காரியமென வந்துசேரும். (நாமும் பயன் படுத்துகிறோம். காரியத்தின் பின்னிருப்பது காரணம். அதை நற்றமிழிற் கரணியம் என்பார்.) காரம்/கருமம் செய்பவன் காரன்.[காரம் என்பது நம் ஊரில் சில இடங்கள் தவிர்த்துப் பிறவற்றில் வழக்கற்றுப் போனது] ”காரன்” என முடியும் சொற்கள் தமிழிற் கணக்கில. வேலைக்காரன் போன்ற சொற்கள் எண்ணற்றவை. ”காரன்” என முடிவதெலாம் வடசொற்கள் அல்ல.
நாலு கை உள்ளது சதுகரம். இதைப் பலுக்கையில், உள்வரும் ககரம் சற்றே மெலிந்து ஒலிக்கும். அதுதான் சரியான தமிழ்முறைப் பலுக்கல். முடிவில் ககரம் ஒலிபடாமலே போய், சதுகரம் சதுரமானது. முன்வரும் சதுவிற்கு என்ன பொருள் ? - என்பது அடுத்த கேள்வி.
ஒன்று, இரண்டு, மூன்று....... என்று பல்வேறு எண்ணுச் சொற்கள் பிறந்த கதையை இங்கு சொன்னால் வேறுபக்கம் இழுத்துப் போகும். (வேறொரு நாள் எழுதுவேன். இப்போது விடுக்கிறேன்.) அடுத்த எண்ணாகக் கை எனும் சொல் பிறந்தது. இவற்றிற்கு இடையிலுள்ள எண்ணைக் குறிக்கும்வகையில், கைக்கு முன்னொட்டுச் சேர்த்து நலிந்த கை, நால்கை> நால்ங்கை யாயிற்று. அதாவது குறைந்த கை என்றபொருள் கொண்டது. நால்கை>நாலுகை என்றும் பலுக்கப் படும். நான்கு என்பது நால்ங்கின் மீத்திருத்தம். நால் எனும் குறுவடிவும் வழக்கிலுண்டு. ”கை” எனும் கருவி உள்ளார்ந்து புரியப்பட்டதால் ”நாலு” எனும் சொல்லே நாளடைவில் 4 ஐக் குறித்தது. மொத்தத்தில் நலிந்தது நாலாயிற்று. உரோமன் குறியீட்டில் கைக்கு முன் ஒன்றிட்டு மதிப்புக் குறைவதைக் (=கழிப்பதைக்) காட்டுவார். (IV)
இனி நலிதலைக் குறிக்கும் இன்னொரு வினைச்சொல் காண்போம். நலிதற் பொருளின் இன்னொரு வெளிப்பாடான ”சொள்ளல்” decay ஐக் குறிக்கும்; சொள்ளை, உள்ளீடற்றதைக் குறிக்கும்; சொள்ம்பியது>சூம்பியதாகும்; சூம்பிய விரல் = குறைப்பட்ட விரல்; வளர்ச்சியடையா விரல். ”சொளு சொளு” என்று கிடக்கிறது= குறைப்பட்டுக் கிடக்கிறது. [சோறு தன் திண்மை இழந்து குழைந்து போனதையும், கூழ்போல் ஆனதையும் குறிக்கும்]. சொளையம் ஆதல் = திருடு போதல் = குறைப்பட்டுப் போதல். சொள்ந்தது சொட்டு> சொட்டை யாகும் ; பின் சொத்தையும் ஆகும்;
சொட்டுதல் = குறைத்தல், கொத்துதல்; சொட்டு = இகழ்ச்சி, குற்றம்; சொட்டை = குழிவு. ( dent) பள்ளம் (cavity) , வழுக்கை. சொட்டை சொள்ளை = குற்றங்குறை (நெல்லை வழக்கு). சொட்டைத் தலை = வழுக்கை விழுந்த தலை; சொண்டு = குழிவு (dent); சொண்டு = சொத்தை மிளகாய்; சொத்தலி = கொட்டையில்லாத பனங்காய்; சொத்தி = உறுப்புக்குறை, நொண்டி; சொத்தை = சீர்கேடு. சொத்தைப் பல் = கெட்டுப்போன பல்; சொத்தைக் காய். சொள்நங்கி, சோள்நங்கியாவான்; மேலும் புணர்ந்து சோணங்கியாவான். செயப்பாட்டு வினையில் சொள்தல், சொது படும் = குறைபடும் என்றாகும். சொது சொது என்று கிடப்பதும் நலிந்து கிடப்பதே. சொதுக்குவது பேச்சுத்திரிவில் சதுக்கும். சொதுக்கை சதுக்கையாகும். சதுக்கம், நாற்பக்க இடத்தைக் குறிக்கும். [square]. சதுத்தலும் குறைப் பொருள் உணர்த்தும். சதுக்கை, நாலுகைக்கும், சது, நாலுக்கும் இணையாகும். எப்படி முக்கி முணகினும் (சதுக் கை = நலிந்த கை = குறைந்த கை என்னும்) பொருள் வடமொழியில் வாராது. ஆனாலும் ”சதுரம்” வடமொழி என்றே சாதிப்பவர் பலர். முன்சொன்னது போல், சதுகரம்> சதுரம் = நாலுகரம்.
பொதுவாய்ச் செவ்வஃகம், நாலு சம கோணங்கள் கொண்டது. சதுகரம், நாலு சம பக்கங்கள் கொண்டது. ”சம சதுர் புஜம், சம சதுர் அஸ்ரம்” என்ற வடசொற்கள் சதுரத்தைக் குறிப்பதாய் இதே கருத்தையொட்டி அமையும்.
இதுபோல் குறைப்படும் வினை ஒன்பதிலும் உண்டு. தொள்ளுவது = துளை பட்டது அங்கு குறைதலைக் குறிக்கும். பத்தில் தொள்ந்தது (துளைபட்டது) தொண்டாயிற்று. தொள்ந்தது = குறைந்தது; தொள்பட்டது செயப்பாட்டு வினை. தொண்டு செய்வினை. (தொண்டன் = குறைபட்டவன் ஏழை, எனவே ஊழியம் செய்பவன். தொண்டு = குறைபட்டுச் செய்யும் வேலை. ) தொள் பட்டதும் தொள்ந்ததும் ஒரேபொருள் குறிக்கும். அதேபோல் தொள்பதும் (தொண்பதும்) தொண்டும் ஒரே பொருள். தொள்ளுவதிற் தகரம் தொலையின் அது ஒள்படும். ஒள்>ஒண்பத்தாகும். இன்னும் மெலிந்து ஒன்பத்தாகவும் ஆகும். அதன்பொருளும் குறைந்த பத்தே. ஒன்பதும் தொண்டும் ஒரேபொருள் கொண்டன. (ஒரு சொல் செயப்பாட்டு வினையிற் பிறந்தது ; இன்னொரு சொல் செய்வினையிற் பிறந்தது). அதை விளக்கினால் நீளும்.]
இனி இடைவிலகலிலிருந்து எண்ணியலுக்கு வருவோம். பழங்கணிதத்தில் பக்கங்களைப் பெருக்கி,சதுகரம், செவ்வஃகம் போன்ற பரப்புக் கிட்டுவதைச் சரியாகப் பதிவு செய்திருப்பார். ஆனால் வட்ட நிலங்கள், வில் நிலங்கள் இருந்தால் அதன் பரப்புக் காணுவதில் தடுமாறியிருப்பார்.
ஒருமுளையை நட்டு அதில் கயிறு கட்டி கயிற்றின் இன்னொரு முனையில் வேறுமுளை கட்டி, இரண்டாம் முளையால் சுற்றிவரக் கீறிப்பெறுவது வட்ட நிலமாகும். கயிற்றின் நீளத்திற்குத் தக்க வட்டம் பெரிதோ, சிறிதோ ஆகும். கயிற்றின் நீளத்தை ஆரமென்பார். 2 மடங்கு ஆரத்தை விட்டமென்பார். விட்டத்திலிருந்து வட்டப்பரப்பைக் காண பக்கமடையான (approximate) விடைகளையே அக்காலம் தெரிந்து வைத்திருந்தார். விட்டத்தில் இருந்து கணக்கிடாமல் ஆரத்தோடு அரைச் சுற்றளவைப் பெருக்கி வட்டப்பரப்பு துல்லியமாகக் கிட்டியதையும் அறிந்திருந்தார். காட்டாக,
விட்டத் தரைகொண்டு வட்டத் தரைமாறச்
சட்டெனத் தோன்றும் குழி
என்ற குறள்வெண்பா மூலம் ”கணக்கதிகாரத்தில்” இவ்வுண்மை அறிவோம். அதாவது r*(s/2) = a இங்கே r ஆரத்தையும் s சுற்றளவையும், a பரப்பையும் குறிக்கும். சுற்றளவு, ஆரநீளத்தைப் பொறுத்ததெனக் கட்டுமானம் மூலம் அறிவதால் s = C*r என்ற சமன்பாடு கிடைக்கும். [C = நிலைப்பெண் (constant)]. இதிலிருந்து, C*r^2/2 = a என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுவோம். C/2 வை இன்னொரு நிலைப்பெண் K என எழுதினால் a/r^2 = s/(2*r) = K என்றாகிறது. இச்சமன்பாடு சொல்லும் கருத்தென்ன?
”எப்பேற்பட்ட வட்டமாயினும் அதன் பரப்பை, ஆரத்தின் சதுகரத்தால் வகுத்தால் குறிப்பிட்ட எண் மீள மீளக் கிட்டும்.”
இம்முடிவு அக்கால கணிதருக்கு மிகுவியப்பைத் தந்திருக்கும். பல்வேறு பெரு வட்டங்களை வரைந்து, இக் K இன் மதிப்பைக் கண்டு பிடித்துள்ளார். 3, 22/7. sq.r (10), 333/106, 355/113, 62832/20000, 67783/21576, 68138/21689, 408473/130021, என மேலும் மேலும் துல்லிய மதிப்பை அடைந்துள்ளாரே ஒழிய, இன்னதே மதிப்பு என்று பொட்டில் அடித்தாற்போல் சொல்ல முடிவதில்லை. இந்த எண்ணிற்கு கிரேக்க எழுத்தான “பை” குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவார். பை எண்ணைச் சாமணமாகக் (சாமாண்யம்) கருத முடியாது. இந்த எண்ணின்றி எந்த வட்டத்தின் பரப்பு, சுற்றளவை விட்டத்தில் இருந்து காண முடியாது
”உலகின் மீநனி மருட்டெண்ணின் தன்வரலாறு (A biography of the World's Most Mysterious Number)' என்ற நூலில் (Universities Press, 2006) Alfred S Posamentier, Ingmar Lehmann ஆகியோர் நூறாயிரம் பதின்மத் தானங்கள் (100 thousand decimal places) அளவுக்குத் துல்லியம் காட்டி பையின் மதிப்பைப் பதிவு செய்திருப்பார். அதற்கும் துல்லியமாக 1.24 ஆயிரம் ஆயிரம் நுல்லியம் (trillion = thousand thousand million) அளவிற்குக்கூடக் கணி மூலம் இற்றை அறிவியல் மதிப்பிட்டிருக்கிறது.
இங்கே காட்டிய ஓர் எண் மட்டுமல்ல. இதுபோல் கணக்கற்ற எண்கள் உள்ளன . இன்னொரு காட்டை e என்பார். அதன் மதிப்பு 2.71828182845904523536........ என்று முடிவிலாது போகும். இன்னும் ஒரு எண் (ஆய்லரின் நிலைப்பெண்-Euler's Constant) கிரேக்கக் “காமா” வைக் குறியீடாக்கி, 0.577215664901532860606512..... என்று போகும். முக்கோண அளவியலில் (trigonometry) ஒவ்வொரு பாகைக்கும் உள்ள முக்கோண அளவு வங்கங்களின் (trigonometric functions) மதிப்பைப் பார்த்தால் அதிலும் கூட முடிவற்ற தானம் (unlimited places) கொண்ட எண்கள் வரலாம். காட்டு sine 30 = 0.5 என்பது இயலெண். sine (29.5) என்பது முடிவற்ற தானங் கொண்ட எண்; இது 0.4924........என்று போய்க்கொண்டேயிருக்கும். இது போல கணக்கற்ற எண்கள் முடிவற்று இருப்பது கண்டுபிடிக்கப் பட்டுள்ளன.
இந்த முடிவற்ற எண்களுக்கு ஒரு பெருஞ்சிறப்பு உண்டு. இவை எந்தவொரு பலனச் சமன்பாட்டிலும் (polynomial equations) சுளுவாக (solution) அமைய முடியாது. அதாவது இதுபோன்ற எண்கள் பலனச் சமன்பாடுகளை மீறியவை, துரனேறியவை (transcend) அதனால் அவை துரனேற்றெண்கள் எனப்படும். transcendental number e, pi ; mid-14c., from L. transcendere "climb over or beyond, surmount," from trans- "beyond" + scandere "to climb" இரண்டு பொருத்தெண்களுக்கு நடுவில் எத்தனையோ துரனேற்று எண்கள் உள்ளன. பொருத்தெண்களும், துரனேற்றெண்களும் பலக்கிய எண்களுக்குள் அடங்கியுள்ளன.
பலக்குமையின் உச்சத்தைத் தொட்டுவிட்ட நாம், அடுத்த பகுதியில் சற்று எளிதான எண்களையும், பின்னங்களையும் பார்ப்போம்.
அன்புடன்,
இராம.கி.
[எண்ணியலில் வரும் மற்ற எண்களைச் சொல்லுமுன், இவ்விடத்தில் இடை விலகல் செய்யாது என்னால் முடியவில்லை. பொறுத்துக் கொள்ளுங்கள். செவ்வகம், சதுரம் போன்ற சொற்கள் எப்படியெழுந்தன தெரியுமோ?
செவ்வஃகம்>செவ்வகம்; அஃகம் = கூர், முனை. கூராதல் எனும் போது முனைகளில் எழும் கதிர்களின் கோணத்தையும் குறிக்கும். ”அஃகி அகன்ற அறிவென்னாம்” என்பது குறள் 175. கூர்ந்து அகன்ற விரிவு என்பது விரிந்த கோணத்தைக் குறிக்காது வேறெதைக் குறிக்கும்? கூர்ந்தகன்ற விரிவு இங்கு அறிவுக்கு இயல்பாய்ச் சுட்டப்பெறுகிறது. செவ்வையான அஃகம் = செவ்வையான கோணம். அதாவது 90 பாகையில் இருப்பது புலப்படுகிறது. செங்கோணமென்று பள்ளிப்பாடத்திற் சொல்வாரே? ஒவ்வொரு அஃகமும் செங்கோணத்தில் இருக்குமெனில், அந்த 4 கோணங்களும் 90 பாகையாகத் தான் இருக்கமுடியும். யுக்லீடின் வடிவியலில் இதற்கு வேறுவழியில்லை. ஆகச் செவ்வஃகம் என்று தமிழ்ப்பெயர் சூட்டியதே ஓர் அழகு தெரியுமோ? வட மொழியிலும் சமகோணம் என்று செவ்வஃகத்தை பெயரிடுவார்.
அதேபோலச் சதுரம் என்ற சொல் தோற்றத்தையும் அறிவது நல்லது. ”கரம், சிரம், புறம் நீட்டாதீர்” என்ற வாசகத்தைத் தமிழகத்தின் தெற்குப் பக்கப் பேருந்துகளில் எழுதியிருப்பார். கரம், கைக்கு இன்னொரு பெயர். கருமம் செய்வது கை. கருத்தல் / கருமுதல் என்பது கரத்திற்கான வினைச்சொல். கருப்பது கரம். கரத்தை வடமொழிச் சொல் என்றே பலரும் நினைக்கிறார். சாதிக்கவும் செய்கிறார். இதன் தமிழ்மையை எழுதப் புகுந்தால் பக்கங்கள் நீளும். கரத்தில் விளையும் செயல் காரம் அது வடமொழியில் கார்யமென்று திரியும். மீண்டும் தமிழுக்குக் காரியமென வந்துசேரும். (நாமும் பயன் படுத்துகிறோம். காரியத்தின் பின்னிருப்பது காரணம். அதை நற்றமிழிற் கரணியம் என்பார்.) காரம்/கருமம் செய்பவன் காரன்.[காரம் என்பது நம் ஊரில் சில இடங்கள் தவிர்த்துப் பிறவற்றில் வழக்கற்றுப் போனது] ”காரன்” என முடியும் சொற்கள் தமிழிற் கணக்கில. வேலைக்காரன் போன்ற சொற்கள் எண்ணற்றவை. ”காரன்” என முடிவதெலாம் வடசொற்கள் அல்ல.
நாலு கை உள்ளது சதுகரம். இதைப் பலுக்கையில், உள்வரும் ககரம் சற்றே மெலிந்து ஒலிக்கும். அதுதான் சரியான தமிழ்முறைப் பலுக்கல். முடிவில் ககரம் ஒலிபடாமலே போய், சதுகரம் சதுரமானது. முன்வரும் சதுவிற்கு என்ன பொருள் ? - என்பது அடுத்த கேள்வி.
ஒன்று, இரண்டு, மூன்று....... என்று பல்வேறு எண்ணுச் சொற்கள் பிறந்த கதையை இங்கு சொன்னால் வேறுபக்கம் இழுத்துப் போகும். (வேறொரு நாள் எழுதுவேன். இப்போது விடுக்கிறேன்.) அடுத்த எண்ணாகக் கை எனும் சொல் பிறந்தது. இவற்றிற்கு இடையிலுள்ள எண்ணைக் குறிக்கும்வகையில், கைக்கு முன்னொட்டுச் சேர்த்து நலிந்த கை, நால்கை> நால்ங்கை யாயிற்று. அதாவது குறைந்த கை என்றபொருள் கொண்டது. நால்கை>நாலுகை என்றும் பலுக்கப் படும். நான்கு என்பது நால்ங்கின் மீத்திருத்தம். நால் எனும் குறுவடிவும் வழக்கிலுண்டு. ”கை” எனும் கருவி உள்ளார்ந்து புரியப்பட்டதால் ”நாலு” எனும் சொல்லே நாளடைவில் 4 ஐக் குறித்தது. மொத்தத்தில் நலிந்தது நாலாயிற்று. உரோமன் குறியீட்டில் கைக்கு முன் ஒன்றிட்டு மதிப்புக் குறைவதைக் (=கழிப்பதைக்) காட்டுவார். (IV)
இனி நலிதலைக் குறிக்கும் இன்னொரு வினைச்சொல் காண்போம். நலிதற் பொருளின் இன்னொரு வெளிப்பாடான ”சொள்ளல்” decay ஐக் குறிக்கும்; சொள்ளை, உள்ளீடற்றதைக் குறிக்கும்; சொள்ம்பியது>சூம்பியதாகும்; சூம்பிய விரல் = குறைப்பட்ட விரல்; வளர்ச்சியடையா விரல். ”சொளு சொளு” என்று கிடக்கிறது= குறைப்பட்டுக் கிடக்கிறது. [சோறு தன் திண்மை இழந்து குழைந்து போனதையும், கூழ்போல் ஆனதையும் குறிக்கும்]. சொளையம் ஆதல் = திருடு போதல் = குறைப்பட்டுப் போதல். சொள்ந்தது சொட்டு> சொட்டை யாகும் ; பின் சொத்தையும் ஆகும்;
சொட்டுதல் = குறைத்தல், கொத்துதல்; சொட்டு = இகழ்ச்சி, குற்றம்; சொட்டை = குழிவு. ( dent) பள்ளம் (cavity) , வழுக்கை. சொட்டை சொள்ளை = குற்றங்குறை (நெல்லை வழக்கு). சொட்டைத் தலை = வழுக்கை விழுந்த தலை; சொண்டு = குழிவு (dent); சொண்டு = சொத்தை மிளகாய்; சொத்தலி = கொட்டையில்லாத பனங்காய்; சொத்தி = உறுப்புக்குறை, நொண்டி; சொத்தை = சீர்கேடு. சொத்தைப் பல் = கெட்டுப்போன பல்; சொத்தைக் காய். சொள்நங்கி, சோள்நங்கியாவான்; மேலும் புணர்ந்து சோணங்கியாவான். செயப்பாட்டு வினையில் சொள்தல், சொது படும் = குறைபடும் என்றாகும். சொது சொது என்று கிடப்பதும் நலிந்து கிடப்பதே. சொதுக்குவது பேச்சுத்திரிவில் சதுக்கும். சொதுக்கை சதுக்கையாகும். சதுக்கம், நாற்பக்க இடத்தைக் குறிக்கும். [square]. சதுத்தலும் குறைப் பொருள் உணர்த்தும். சதுக்கை, நாலுகைக்கும், சது, நாலுக்கும் இணையாகும். எப்படி முக்கி முணகினும் (சதுக் கை = நலிந்த கை = குறைந்த கை என்னும்) பொருள் வடமொழியில் வாராது. ஆனாலும் ”சதுரம்” வடமொழி என்றே சாதிப்பவர் பலர். முன்சொன்னது போல், சதுகரம்> சதுரம் = நாலுகரம்.
பொதுவாய்ச் செவ்வஃகம், நாலு சம கோணங்கள் கொண்டது. சதுகரம், நாலு சம பக்கங்கள் கொண்டது. ”சம சதுர் புஜம், சம சதுர் அஸ்ரம்” என்ற வடசொற்கள் சதுரத்தைக் குறிப்பதாய் இதே கருத்தையொட்டி அமையும்.
இதுபோல் குறைப்படும் வினை ஒன்பதிலும் உண்டு. தொள்ளுவது = துளை பட்டது அங்கு குறைதலைக் குறிக்கும். பத்தில் தொள்ந்தது (துளைபட்டது) தொண்டாயிற்று. தொள்ந்தது = குறைந்தது; தொள்பட்டது செயப்பாட்டு வினை. தொண்டு செய்வினை. (தொண்டன் = குறைபட்டவன் ஏழை, எனவே ஊழியம் செய்பவன். தொண்டு = குறைபட்டுச் செய்யும் வேலை. ) தொள் பட்டதும் தொள்ந்ததும் ஒரேபொருள் குறிக்கும். அதேபோல் தொள்பதும் (தொண்பதும்) தொண்டும் ஒரே பொருள். தொள்ளுவதிற் தகரம் தொலையின் அது ஒள்படும். ஒள்>ஒண்பத்தாகும். இன்னும் மெலிந்து ஒன்பத்தாகவும் ஆகும். அதன்பொருளும் குறைந்த பத்தே. ஒன்பதும் தொண்டும் ஒரேபொருள் கொண்டன. (ஒரு சொல் செயப்பாட்டு வினையிற் பிறந்தது ; இன்னொரு சொல் செய்வினையிற் பிறந்தது). அதை விளக்கினால் நீளும்.]
இனி இடைவிலகலிலிருந்து எண்ணியலுக்கு வருவோம். பழங்கணிதத்தில் பக்கங்களைப் பெருக்கி,சதுகரம், செவ்வஃகம் போன்ற பரப்புக் கிட்டுவதைச் சரியாகப் பதிவு செய்திருப்பார். ஆனால் வட்ட நிலங்கள், வில் நிலங்கள் இருந்தால் அதன் பரப்புக் காணுவதில் தடுமாறியிருப்பார்.
ஒருமுளையை நட்டு அதில் கயிறு கட்டி கயிற்றின் இன்னொரு முனையில் வேறுமுளை கட்டி, இரண்டாம் முளையால் சுற்றிவரக் கீறிப்பெறுவது வட்ட நிலமாகும். கயிற்றின் நீளத்திற்குத் தக்க வட்டம் பெரிதோ, சிறிதோ ஆகும். கயிற்றின் நீளத்தை ஆரமென்பார். 2 மடங்கு ஆரத்தை விட்டமென்பார். விட்டத்திலிருந்து வட்டப்பரப்பைக் காண பக்கமடையான (approximate) விடைகளையே அக்காலம் தெரிந்து வைத்திருந்தார். விட்டத்தில் இருந்து கணக்கிடாமல் ஆரத்தோடு அரைச் சுற்றளவைப் பெருக்கி வட்டப்பரப்பு துல்லியமாகக் கிட்டியதையும் அறிந்திருந்தார். காட்டாக,
விட்டத் தரைகொண்டு வட்டத் தரைமாறச்
சட்டெனத் தோன்றும் குழி
என்ற குறள்வெண்பா மூலம் ”கணக்கதிகாரத்தில்” இவ்வுண்மை அறிவோம். அதாவது r*(s/2) = a இங்கே r ஆரத்தையும் s சுற்றளவையும், a பரப்பையும் குறிக்கும். சுற்றளவு, ஆரநீளத்தைப் பொறுத்ததெனக் கட்டுமானம் மூலம் அறிவதால் s = C*r என்ற சமன்பாடு கிடைக்கும். [C = நிலைப்பெண் (constant)]. இதிலிருந்து, C*r^2/2 = a என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுவோம். C/2 வை இன்னொரு நிலைப்பெண் K என எழுதினால் a/r^2 = s/(2*r) = K என்றாகிறது. இச்சமன்பாடு சொல்லும் கருத்தென்ன?
”எப்பேற்பட்ட வட்டமாயினும் அதன் பரப்பை, ஆரத்தின் சதுகரத்தால் வகுத்தால் குறிப்பிட்ட எண் மீள மீளக் கிட்டும்.”
இம்முடிவு அக்கால கணிதருக்கு மிகுவியப்பைத் தந்திருக்கும். பல்வேறு பெரு வட்டங்களை வரைந்து, இக் K இன் மதிப்பைக் கண்டு பிடித்துள்ளார். 3, 22/7. sq.r (10), 333/106, 355/113, 62832/20000, 67783/21576, 68138/21689, 408473/130021, என மேலும் மேலும் துல்லிய மதிப்பை அடைந்துள்ளாரே ஒழிய, இன்னதே மதிப்பு என்று பொட்டில் அடித்தாற்போல் சொல்ல முடிவதில்லை. இந்த எண்ணிற்கு கிரேக்க எழுத்தான “பை” குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவார். பை எண்ணைச் சாமணமாகக் (சாமாண்யம்) கருத முடியாது. இந்த எண்ணின்றி எந்த வட்டத்தின் பரப்பு, சுற்றளவை விட்டத்தில் இருந்து காண முடியாது
”உலகின் மீநனி மருட்டெண்ணின் தன்வரலாறு (A biography of the World's Most Mysterious Number)' என்ற நூலில் (Universities Press, 2006) Alfred S Posamentier, Ingmar Lehmann ஆகியோர் நூறாயிரம் பதின்மத் தானங்கள் (100 thousand decimal places) அளவுக்குத் துல்லியம் காட்டி பையின் மதிப்பைப் பதிவு செய்திருப்பார். அதற்கும் துல்லியமாக 1.24 ஆயிரம் ஆயிரம் நுல்லியம் (trillion = thousand thousand million) அளவிற்குக்கூடக் கணி மூலம் இற்றை அறிவியல் மதிப்பிட்டிருக்கிறது.
இங்கே காட்டிய ஓர் எண் மட்டுமல்ல. இதுபோல் கணக்கற்ற எண்கள் உள்ளன . இன்னொரு காட்டை e என்பார். அதன் மதிப்பு 2.71828182845904523536........ என்று முடிவிலாது போகும். இன்னும் ஒரு எண் (ஆய்லரின் நிலைப்பெண்-Euler's Constant) கிரேக்கக் “காமா” வைக் குறியீடாக்கி, 0.577215664901532860606512..... என்று போகும். முக்கோண அளவியலில் (trigonometry) ஒவ்வொரு பாகைக்கும் உள்ள முக்கோண அளவு வங்கங்களின் (trigonometric functions) மதிப்பைப் பார்த்தால் அதிலும் கூட முடிவற்ற தானம் (unlimited places) கொண்ட எண்கள் வரலாம். காட்டு sine 30 = 0.5 என்பது இயலெண். sine (29.5) என்பது முடிவற்ற தானங் கொண்ட எண்; இது 0.4924........என்று போய்க்கொண்டேயிருக்கும். இது போல கணக்கற்ற எண்கள் முடிவற்று இருப்பது கண்டுபிடிக்கப் பட்டுள்ளன.
இந்த முடிவற்ற எண்களுக்கு ஒரு பெருஞ்சிறப்பு உண்டு. இவை எந்தவொரு பலனச் சமன்பாட்டிலும் (polynomial equations) சுளுவாக (solution) அமைய முடியாது. அதாவது இதுபோன்ற எண்கள் பலனச் சமன்பாடுகளை மீறியவை, துரனேறியவை (transcend) அதனால் அவை துரனேற்றெண்கள் எனப்படும். transcendental number e, pi ; mid-14c., from L. transcendere "climb over or beyond, surmount," from trans- "beyond" + scandere "to climb" இரண்டு பொருத்தெண்களுக்கு நடுவில் எத்தனையோ துரனேற்று எண்கள் உள்ளன. பொருத்தெண்களும், துரனேற்றெண்களும் பலக்கிய எண்களுக்குள் அடங்கியுள்ளன.
பலக்குமையின் உச்சத்தைத் தொட்டுவிட்ட நாம், அடுத்த பகுதியில் சற்று எளிதான எண்களையும், பின்னங்களையும் பார்ப்போம்.
அன்புடன்,
இராம.கி.
Tuesday, April 27, 2010
எண்ணியல் - 4
அடுத்த வகை எண்களைப் பார்க்குமுன் பொருத்தியற் (algebra) கணிதம் பற்றிச் சொல்லவேண்டும். தொடக்க காலத்தில் கணிதம் என்றால், எண்ணியல் (Arithmetics), வடிவியல் (Geometry) என்று மட்டுமே பலரும் புரிந்து வைத்திருந்தார். ஆனால் நாகரிகம் உயர்ந்த மக்களிடம், அன்றாடக் கணக்காய்ச் சில புதிரிகள் (problems) கொஞ்சங் கொஞ்சமாய் புழங்கத் தொடங்கி, வேறொரு கணிதத்தை உணர்த்தின. ”ஏதோவோர் அறியா எண்ணைக் (unknown number) கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் போன்ற பல்வேறு செய்முறைகளுக்கு உட்படுத்தி, அதன் விளைவாய்க் கிடைத்கும் ஒரு வெளிப்பாட்டை (expression) இன்னொரு எண்ணுக்குச் சமப்படுத்தி, முன்னாற் குறியிட்ட அந்த அறியா எண் யாது?” என்று கேட்கும் புதிரிகள் உலகில் ஏராளம் உண்டு. இதுபோல் புதிரிகளைச் சொல்லும் போது, இக்கால முறையில் அறியா எண்ணை x என எடுத்துக் கொண்டு வெளிப்படையான சமன்பாடாக மாற்றிப் பின் அதைச் சுளுவியெடுக்கப் (to solve) போய் விடுவோம். அக்காலத்தில் இப்படிச் செய்தவர் மிக அரிது. அக்காலக் கணக்குகள் எல்லாமே ”சொற்கள், வாக்கியங்கள்........மீண்டும் சொற்கள், வாக்கியங்கள்.........” என்று சலிக்காது அமைந்திருந்தன. எங்குமே பொளிகளை (symbols) வைத்துக் சுருக்கென்று கணக்குச் செய்வது கிடையாது. [ஒரேயொரு புறனடை: எகிப்திலிருந்த கிரேக்கரான தைவாண்டசு (Diphantus). இவர் ஒருவரே பொளிகளை வைத்து மாற்றியெழுதிக் கணக்குப் போட முயன்றவர். இதனாலேயே அவரைப் பொருத்தியற் தந்தை என்பாருண்டு.]
பொருத்தியற் கணக்கிற்குக் காட்டாக, பாபிலோனிய அரசன் அமுராபி காலத்தில் (ஏறத்தாழ கி.மு.1790) சுடுமண் தட்டங்களில் ஆப்பெழுத்துக்களில் எழுதிய கணக்கு நினைவிற்கு வருகிறது. “[The igib]um exceeded the igum by 7. What are [the igum and] and the igibum?" இங்கே igibum என்பது அக்கேடியன் மொழியில் எண்ணையும். igum என்பது அதன் எதிரெண்ணையும் குறிக்கும் சொற்கள் ஆகும். எதிரெண் என்பது இக்கால முறையில் 1/x என்பதுபோல் அமையாது. அது 1/x, 60/x, 3600/x என்று பல்வேறு எண்களைக் குறிக்கலாம். இடம், பொருள், ஏவல் பார்த்து புரிந்து கொள்வர். [மறந்து விடாதீர், அக்காலச் சுமேரிய, பாபிலோனிய நாகரிகங்கள் அறுபான் மான அடிப்படை எண்களைக் கொண்டவை. அதன் மிச்ச சொச்சத்தை இன்றும் காலத்தை அளக்கும்போது நாம் பயில்கிறோம். 60 நொடி (seconds) = 1 நுணுத்தம் (minute); 60 நுணுத்தம் = 1 மணி (hour) . 360 நாள் = ஒரு ஆண்டு (பின்னால் இது துல்லியமாகி 365.25 நாளுக்கு வந்தது வேறுகதை.) சுமேரியர்களை மறந்து இக்கால அறிவியலை நாம் பேசமுடியாது.]
இவ்விடத்தில் அவர்சொல்லிய செய்முறையைப் பார்க்கும் போது எதிரெண் என்பது 60/x ஐக் குறித்திருக்கலாம் என்று தோன்றுகிறது. சரி, கணக்கிற்கு வருவோம். அக்காலமுறையில் எப்படிச் சொற்கள், வாக்கியங்கள் மூலம் இதைச் சுளுவினார் என்றுசொன்னால், அது நமக்கு விளங்காமலேயே போகலாம். எனவே இக்கால முறையில் எழுதிக் காட்டுகிறேன்.
x-60/x = 7
மேலேயுள்ள சமன்பாட்டின் எங்கணும் x - ஆல் பெருக்கிப் பின் எல்லாத் தீர்மங்களையும் (terms) ஒரே பக்கம் கொண்டுவந்தால், x^2 -7x -60 = 0 என்றமையும். இது ஒரு குழியேற்றச் (quadratic) சமன்பாடு. இதன் தீர்வு காண்பதற்கான வாய்ப்பாட்டை நம் உயர்நிலைப் பள்ளியில் சொல்லிக் கொடுத்திருப்பார். அதை மேலும் விளக்காமல் அப்படியே வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் கொள்கிறேன்.
x = [7 +- (7^2 +4*60)^(1/2)]/2 = [7+- (49+240)^(1/2)]/2 = [7+-17]/2 = (12) or (-5)
ஆக., அந்த அறியா எண் என்பது 12 ஆகவோ, -5 ஆகவோ இருக்கலாம். அந்தக் காலத்தில் ”நொகையெண்கள்” என்ற கருத்தீடு சுற்றரவாகக் கிடையாது. எனவே பாபிலோனியருக்கு விடை 12 மட்டும் தான். இதை அடையும் முறை அச்சுடுமண் தட்டத்தில் (இற்றைக்கு 3800 ஆண்டுகளுக்கு முன்) பல்வேறு வரிகளின் மூலம் படிப்படியாகச் சொல்லப் பட்டுள்ளது. ஆக நாம் அறிந்த வரை, மாந்தனின் முதற் பொருத்தியற் புதிரி (first algebraic problem) 3800 ஆண்டுகளுக்கும் முந்தியது.
”எந்த அறியா எண்கள் கொடுத்த கணக்கில் பொருந்தும்? அல்லது இயலும்?” என்ற கேள்வியை வைத்தே இயல்கணிதம் என்ற சொல்லை algebra - விற்கு இணையாகச் சிலர் பரிந்துரைத்தார். ஆனால் அப்படித் தொடர நான் விரும்ப வில்லை, ஏனெனில், இயலெண்கள் என natural numbers யை விளிப்பதனாலும், இயற்கை, இயல்பு என்று தொடர்புச் சொற்கள் வேறு கருத்தை நமக்கு உணர்த்துவதாலும், இயலுதலைக் காட்டிலும் “பொருத்தல்” வினையைப் பயன்படுத்தி பொருத்தியல் என நான் சொல்கிறேன். ஒவ்வொரு பொருத்தும் ஒரு match என்பதை உணர்த்துவதால், ”பொருத்தியல்” பொருந்தும் என்றே எண்ணுகிறேன்.
பொருத்தியலின் தாக்கம் பலநாடுகளில் இருந்தது. இந்தியா, சீனம், பெர்சியா போன்ற நாடுகளின் தாக்கம் இடைக்காலத்தில் அரபு அறிவியல் நடை முறையில் பெரிதும் இருந்தது. Algebra என்ற சொல்லும் இடைக்காலத்தில் அரபி மொழியில் தான் முதலில் எழுந்தது. பாக்தாதில் இருந்த புகழ்பெற்ற ஏழாவது கலீவா (Seventh Abbasid Caliph) அல் மமூன் அல்ரசீத் (al -Mamoun al-Rashid) காலத்தில் வாழ்ந்த அல் குவாரிசுமி (al-Khwarizmi) எழுதிய al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabbala (A Handbook of calculation by completion and Reduction) என்ற பொத்தகத்தில் தான் முதன்முதலில் பொருத்தியல் பேசப்பட்டது. ”நிறைத்து வெளித்தல்” என்று அரபியிற் சொல்லும் கூட்டுவினையையே பொருத்தல் என்ற தனிவினை மூலம் சொல்ல முயலுகிறேன்.
இதுபோல் கணக்குகள் பாபிலோனியரிடம் மட்டுமில்லை, அவருக்கு மேற்கில் இருந்த எகுப்தியரிடமும் இருந்தன. கிழக்கிலிருந்த சிந்து சமவெளியிலும் இருந்திருக்கலாம். [இன்னும் சிந்துக் குறியீடுகளை சரியே படிக்கமுடியாது உள்ளோம்.] தமிழராகிய நம்மிடமும் இதுபோல் புதிரிகள் இருந்துள்ளன. ”ஒரு குளத்தில் இருந்த தாமரை மலர்களில் ஒரு மலருக்கு ஒரு புறா உட்கார்ந்தால் 5 புறாக்களுக்கு இடமில்லை. ஒரு பூவில் இரண்டிரண்டு புறாக்களாய் அமர்ந்தால் 5 பூக்கள் மிஞ்சும் . மொத்தம் எத்தனை புறாக்களும் பூக்களும் குளத்தில் இருந்தன? “ என்ற கணக்கை இளமைப் பருவத்திற் கேட்டுள்ளேன். அதுபோற் கணக்குகளை நம்மூர்க் காரிநாயனாரின் “கணக்கதிகாரம்” சொல்லும். கூட்டுத் தொகைக் கணக்குகள், பின்னப் பங்குக் கணக்குகள், பங்கிடுதற் கணக்குகள், சரிக்குச் சரி கணக்குகள், பூக்கள் கணக்குகள், சந்தைக் கணக்குகள், பிரித்துக் கொடுத்தற் கணக்குகள், சக்கரக் கணக்குகள், கூட்டுவிலை காணற் கணக்குகள், தனித்த கணக்குகள், தொகைக் கணக்குகள், கணக்குப் பாடல்கள் என்று பன்னிருவகைக் கணக்குகளை ”கணக்கதிகாரம்” பாடல் வடிவிற் சொல்லும். மாதிரிக்கு ஒரு நீளக் கணக்கை மட்டும் இங்கு சொல்லுகிறேன்.
தென்னவன் அனைய கோமான் தேவிமார் மூன்று பெண்கள்
பொன்னகர் காவில் ஏகிப் பூவது பறிக்கச் சென்றார்
அன்னவர் தனித்த னிய்யாய் அதிகமும் மூன்று பூவாய்த்
தன்னிலே பறித்து மீண்டும் சரிவரப் பங்கு வைத்தார்
வைத்ததோர் ஒருத்தி பங்கில் மாதேவர் தமக்குப் பாதி
சிற்றிடை வள்ளி பங்கர் செந்திலார்க்கு ஐந்தில் ஒன்று
நற்றமிழ்க் கணப திக்கு நாலிலே யொன்று போக
மற்றதோர் பூவுங் கொண்டு மனையது தன்னில் வந்தாள்
வந்தபின் தந்தை யர்க்கு வாகுடன் பாதி யீந்தாள்
சுந்தர வடிவின் நல்லாள் தோழியர்க்கு ஐந்தில் ஒன்று
விந்தைசேர் கணவ னுக்கு விரும்பியே பத்தில் ஒன்று
தந்திர மாக ஈய்ந்து தான்சில பூவை வைத்தாள்
வைத்ததோர் பூவு தன்னில் வளம்பெற நாலைம் பூவை
உத்தம தானம் ஈய்ந்தாள் ஒளிபெற ஒன்பது பூவைப்
பெற்றதோர் பிள்ளைக்கு ஈந்தாள் பேதையும் ஒருபூ வைத்தாள்
முத்தமிழ்க் கணக்கர் எல்லாம் மோசமில் லாமற் செய்வீர்
இந்த நாலு பாடலின் வழி மூன்று வேறிகளால் [variables] ஆன சமகால இழுனைச் சமன்பாடுகள் [Simultaneous Linear Equations] சொல்லப் படுகின்றன. முத்தமிழ்க் கணக்கராகிய நாம் மோசமில்லாது செய்வோமா?
மூன்று தேவிகளும் பறித்த பூக்கள் x,y,z என்று பொருத்திக் கொள்வோம்.
முதல் பாட்டின் மூன்றாம் வரி மூலம் y = x+3, z = y+3 என்று இரு சமன்பாடுகளை அறிகிறோம்.
அடுத்து முதற்பாட்டின் நாலாம் வரிமூலம் ஒரு தேவிக்குக் கிடைத்த பூக்கள் = (x+y+z)/3 என்று அறிகிறோம்.
இரண்டாம் பாட்டின் முதல் வரி மூலம், மாதேவருக்கு இட்ட பூக்கள் = [(x+y+z)/3]/2 என அறிகிறோம்.
இரண்டாம் பாட்டின் இரண்டாம் வரி மூலம் முருகருக்கு இட்ட பூக்கள் = [(x+y+z)/3]/5 என அறிகிறோம்.
இரண்டாம் பாட்டின் மூன்றாம் வரியின் மூலம் பிள்ளையாருக்கு இட்ட பூக்கள் = [(x+y+z)/3]/4 என அறிகிறோம்.
எனவே கோயிலிற் கொடுத்தது போக,
ஒரு தேவி வீட்டிற்குக் கொண்டுவந்தது = (x+y+z)/3 - [(x+y+z)/3]/2 - [(x+y+z)/3]/5 -[(x+y+z)/3]/4 = (x+y+z)/3[1-1/2- 1/5 - 1/4] = [(x+y+z)/3]*(1/20)
= (x+y+z)/60
இனி வீட்டில்,
தந்தைக்குக் கொடுத்தது = [(x+y+z)/60]/2
தோழிக்குக் கொடுத்தது = [(x+y+z)/60]/5
கணவனுக்குக் கொடுதது = {(x+y+z)/60]/10
அவளிடம் மிஞ்சியது = [(x+y+z)/60]*[1-1/2-1/5-1/10] = (x+y+z)/60]*(1/5) = (x+y+z)/300
அடுத்துத்
தானம் கொடுத்தது = 4*5 = 20
பிள்ளைக்குக் கொடுத்தது = 9
தன்னிடம் கடைசியாய் இருந்தது = 1
ஆக அவளிடம் எஞ்சியது = 20+9+1 = 30
மேலே உள்ளதை மீண்டும் ஓர்ந்து பார்த்தால் (x+y+z)/300 என்பது 30 ற்குச் சமமாக அமைந்து மூன்றாவது சமன்பாட்டைக் கொடுக்கும்.
எனவே (x+y+z) = 300*30 = 9000 பூக்கள் ஆகும்.
இது போக, இன்னும் 2 சமன்பாடுகள் நமக்கு ஏற்கனவே தெரியும் அவை y = x+3, z= y+3
மேலேயுள்ள மூன்று சமன்பாடுகளையும் ஒருங்குசேரச் சுளுவியெடுத்தால், (y-3)+y+(y+3) = 9000; y = 3000; x = 2997; z = 3003 என்ற விடைகள் கிடைக்கும்.
இதுபோல நூற்றுக்கணக்கான புதிரிகள் கணக்கதிகாரத்தில் உள்ளன. வடபுலத்திலும் உண்டு. மற்ற நாகரிகங்களிலும் எழுந்தன. இக்கணக்குத் தொகுதிகளில் 4, 5 வேறிகளைக் கொண்டு சமகால இழுனைச் சமன்பாடுகள் இருப்பது ஒருவிதக் கணக்காகும். இன்னொரு வகை முன்சொன்ன பாபி லோனியக் கணக்குப் போல் உயர்பாகை இழுனாச் சமன்பாடுகளாய் (Higher degree non-linear equations) அமைவது வேறுவிதக் கணக்காகும். இனி அல்-குவாரிசுமி காட்டிய கணக்கிற்கு வருவோம்.
“ஒரு மூலச் சதுரமும் பத்து மடங்கு மூலமும் சேர்ந்து 39 திர்காமுக்கு விலைபெறும் என்றால் மூலத்தின் அலகு என்ன?”
நாம் அறியா எண் (the unknown number) என்பதை மூலம் (root) என்றே அந்தக் காலத்தில் பயின்றிருக்கிறார். இப்போது வருக்கமூலம் என்பது வேறு பொருள் தருவதால், மூலம் என்ற பயில்வு கணிதத்தில் இந்த அலகைக் குறிப்பதில்லை.
(square of the unknown plus ten times the unknown equals 39)
i.e. x^2+10*x = 39;
x^2+10x-39 = 0
இதை அல்குவாரிசுமியின் பொத்தகத்தில் எப்படிச் சுளுவியெடுக்கிறார் என்று சொல்லாது நேரடியாக குழியேற்ற வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி விடையை நாம் எழுதிவிடலாம்
x = [-10 +- (10^2 +4*39)^(1/2)]/2 = [-10+- (100+156)^(1/2)]/2 = [-10+-16]/2 = (3) or (-13)
பாபிலோனியக் கணக்கிலும், அல்குவாரிசுமிக் கணக்கிலும் வரும் சமன்பாடுகளை இக்காலக் கணிதத்தில் தொகுவெண் கெழுக்கள் (integer coefficients) கொண்ட பலனச் சமன்பாடுகள் (polynomial equation) என்பார்.
குழியேற்றச் சமன்பாடுகள் (quadratic equations),
கனவச் சமன்பாடுகள் (cubic equation),
நாலவச் சமன்பாடுகள் (quartic equation),
கைவகச் சமன்பாடுகள் (quintic equation)
என்று பல்வேறு சமன்பாடுகள் எழமுடியும். இச் சமன்பாடுகளின் தீர்வு ஓர் உள்ளக எண்ணாகவோ (real number), பலக்கிய எண்ணாகவோ (complex number) அமையும். இத்தகைய தீர்வெண்களைப் பொருத்தெண்கள் (algebraic numbers) என்று எண்ணியலிற் சொல்வார்.
பொருத்தெண் = algebraic number = a number, real or complex, that is the root of a polynomial equation with integer coefficients.
மேலுள்ளதைப் படித்தால் எல்லாவிதமான உள்ளக எண்களும், பலக்கிய எண்களும் பொருத்தெண்கள் தானே? பொருத்தெண்கள் அல்லாது வேறு வகை எண்கள் உண்டா? - என்ற கேள்வி எழலாம். அடுத்த பகுதியில் பொருத்தெண்ணுக்கு மாற்றாக இன்னொரு வகை எண்ணைப் பார்ப்போம்.
அன்புடன்,
இராம.கி.
பொருத்தியற் கணக்கிற்குக் காட்டாக, பாபிலோனிய அரசன் அமுராபி காலத்தில் (ஏறத்தாழ கி.மு.1790) சுடுமண் தட்டங்களில் ஆப்பெழுத்துக்களில் எழுதிய கணக்கு நினைவிற்கு வருகிறது. “[The igib]um exceeded the igum by 7. What are [the igum and] and the igibum?" இங்கே igibum என்பது அக்கேடியன் மொழியில் எண்ணையும். igum என்பது அதன் எதிரெண்ணையும் குறிக்கும் சொற்கள் ஆகும். எதிரெண் என்பது இக்கால முறையில் 1/x என்பதுபோல் அமையாது. அது 1/x, 60/x, 3600/x என்று பல்வேறு எண்களைக் குறிக்கலாம். இடம், பொருள், ஏவல் பார்த்து புரிந்து கொள்வர். [மறந்து விடாதீர், அக்காலச் சுமேரிய, பாபிலோனிய நாகரிகங்கள் அறுபான் மான அடிப்படை எண்களைக் கொண்டவை. அதன் மிச்ச சொச்சத்தை இன்றும் காலத்தை அளக்கும்போது நாம் பயில்கிறோம். 60 நொடி (seconds) = 1 நுணுத்தம் (minute); 60 நுணுத்தம் = 1 மணி (hour) . 360 நாள் = ஒரு ஆண்டு (பின்னால் இது துல்லியமாகி 365.25 நாளுக்கு வந்தது வேறுகதை.) சுமேரியர்களை மறந்து இக்கால அறிவியலை நாம் பேசமுடியாது.]
இவ்விடத்தில் அவர்சொல்லிய செய்முறையைப் பார்க்கும் போது எதிரெண் என்பது 60/x ஐக் குறித்திருக்கலாம் என்று தோன்றுகிறது. சரி, கணக்கிற்கு வருவோம். அக்காலமுறையில் எப்படிச் சொற்கள், வாக்கியங்கள் மூலம் இதைச் சுளுவினார் என்றுசொன்னால், அது நமக்கு விளங்காமலேயே போகலாம். எனவே இக்கால முறையில் எழுதிக் காட்டுகிறேன்.
x-60/x = 7
மேலேயுள்ள சமன்பாட்டின் எங்கணும் x - ஆல் பெருக்கிப் பின் எல்லாத் தீர்மங்களையும் (terms) ஒரே பக்கம் கொண்டுவந்தால், x^2 -7x -60 = 0 என்றமையும். இது ஒரு குழியேற்றச் (quadratic) சமன்பாடு. இதன் தீர்வு காண்பதற்கான வாய்ப்பாட்டை நம் உயர்நிலைப் பள்ளியில் சொல்லிக் கொடுத்திருப்பார். அதை மேலும் விளக்காமல் அப்படியே வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் கொள்கிறேன்.
x = [7 +- (7^2 +4*60)^(1/2)]/2 = [7+- (49+240)^(1/2)]/2 = [7+-17]/2 = (12) or (-5)
ஆக., அந்த அறியா எண் என்பது 12 ஆகவோ, -5 ஆகவோ இருக்கலாம். அந்தக் காலத்தில் ”நொகையெண்கள்” என்ற கருத்தீடு சுற்றரவாகக் கிடையாது. எனவே பாபிலோனியருக்கு விடை 12 மட்டும் தான். இதை அடையும் முறை அச்சுடுமண் தட்டத்தில் (இற்றைக்கு 3800 ஆண்டுகளுக்கு முன்) பல்வேறு வரிகளின் மூலம் படிப்படியாகச் சொல்லப் பட்டுள்ளது. ஆக நாம் அறிந்த வரை, மாந்தனின் முதற் பொருத்தியற் புதிரி (first algebraic problem) 3800 ஆண்டுகளுக்கும் முந்தியது.
”எந்த அறியா எண்கள் கொடுத்த கணக்கில் பொருந்தும்? அல்லது இயலும்?” என்ற கேள்வியை வைத்தே இயல்கணிதம் என்ற சொல்லை algebra - விற்கு இணையாகச் சிலர் பரிந்துரைத்தார். ஆனால் அப்படித் தொடர நான் விரும்ப வில்லை, ஏனெனில், இயலெண்கள் என natural numbers யை விளிப்பதனாலும், இயற்கை, இயல்பு என்று தொடர்புச் சொற்கள் வேறு கருத்தை நமக்கு உணர்த்துவதாலும், இயலுதலைக் காட்டிலும் “பொருத்தல்” வினையைப் பயன்படுத்தி பொருத்தியல் என நான் சொல்கிறேன். ஒவ்வொரு பொருத்தும் ஒரு match என்பதை உணர்த்துவதால், ”பொருத்தியல்” பொருந்தும் என்றே எண்ணுகிறேன்.
பொருத்தியலின் தாக்கம் பலநாடுகளில் இருந்தது. இந்தியா, சீனம், பெர்சியா போன்ற நாடுகளின் தாக்கம் இடைக்காலத்தில் அரபு அறிவியல் நடை முறையில் பெரிதும் இருந்தது. Algebra என்ற சொல்லும் இடைக்காலத்தில் அரபி மொழியில் தான் முதலில் எழுந்தது. பாக்தாதில் இருந்த புகழ்பெற்ற ஏழாவது கலீவா (Seventh Abbasid Caliph) அல் மமூன் அல்ரசீத் (al -Mamoun al-Rashid) காலத்தில் வாழ்ந்த அல் குவாரிசுமி (al-Khwarizmi) எழுதிய al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabbala (A Handbook of calculation by completion and Reduction) என்ற பொத்தகத்தில் தான் முதன்முதலில் பொருத்தியல் பேசப்பட்டது. ”நிறைத்து வெளித்தல்” என்று அரபியிற் சொல்லும் கூட்டுவினையையே பொருத்தல் என்ற தனிவினை மூலம் சொல்ல முயலுகிறேன்.
இதுபோல் கணக்குகள் பாபிலோனியரிடம் மட்டுமில்லை, அவருக்கு மேற்கில் இருந்த எகுப்தியரிடமும் இருந்தன. கிழக்கிலிருந்த சிந்து சமவெளியிலும் இருந்திருக்கலாம். [இன்னும் சிந்துக் குறியீடுகளை சரியே படிக்கமுடியாது உள்ளோம்.] தமிழராகிய நம்மிடமும் இதுபோல் புதிரிகள் இருந்துள்ளன. ”ஒரு குளத்தில் இருந்த தாமரை மலர்களில் ஒரு மலருக்கு ஒரு புறா உட்கார்ந்தால் 5 புறாக்களுக்கு இடமில்லை. ஒரு பூவில் இரண்டிரண்டு புறாக்களாய் அமர்ந்தால் 5 பூக்கள் மிஞ்சும் . மொத்தம் எத்தனை புறாக்களும் பூக்களும் குளத்தில் இருந்தன? “ என்ற கணக்கை இளமைப் பருவத்திற் கேட்டுள்ளேன். அதுபோற் கணக்குகளை நம்மூர்க் காரிநாயனாரின் “கணக்கதிகாரம்” சொல்லும். கூட்டுத் தொகைக் கணக்குகள், பின்னப் பங்குக் கணக்குகள், பங்கிடுதற் கணக்குகள், சரிக்குச் சரி கணக்குகள், பூக்கள் கணக்குகள், சந்தைக் கணக்குகள், பிரித்துக் கொடுத்தற் கணக்குகள், சக்கரக் கணக்குகள், கூட்டுவிலை காணற் கணக்குகள், தனித்த கணக்குகள், தொகைக் கணக்குகள், கணக்குப் பாடல்கள் என்று பன்னிருவகைக் கணக்குகளை ”கணக்கதிகாரம்” பாடல் வடிவிற் சொல்லும். மாதிரிக்கு ஒரு நீளக் கணக்கை மட்டும் இங்கு சொல்லுகிறேன்.
தென்னவன் அனைய கோமான் தேவிமார் மூன்று பெண்கள்
பொன்னகர் காவில் ஏகிப் பூவது பறிக்கச் சென்றார்
அன்னவர் தனித்த னிய்யாய் அதிகமும் மூன்று பூவாய்த்
தன்னிலே பறித்து மீண்டும் சரிவரப் பங்கு வைத்தார்
வைத்ததோர் ஒருத்தி பங்கில் மாதேவர் தமக்குப் பாதி
சிற்றிடை வள்ளி பங்கர் செந்திலார்க்கு ஐந்தில் ஒன்று
நற்றமிழ்க் கணப திக்கு நாலிலே யொன்று போக
மற்றதோர் பூவுங் கொண்டு மனையது தன்னில் வந்தாள்
வந்தபின் தந்தை யர்க்கு வாகுடன் பாதி யீந்தாள்
சுந்தர வடிவின் நல்லாள் தோழியர்க்கு ஐந்தில் ஒன்று
விந்தைசேர் கணவ னுக்கு விரும்பியே பத்தில் ஒன்று
தந்திர மாக ஈய்ந்து தான்சில பூவை வைத்தாள்
வைத்ததோர் பூவு தன்னில் வளம்பெற நாலைம் பூவை
உத்தம தானம் ஈய்ந்தாள் ஒளிபெற ஒன்பது பூவைப்
பெற்றதோர் பிள்ளைக்கு ஈந்தாள் பேதையும் ஒருபூ வைத்தாள்
முத்தமிழ்க் கணக்கர் எல்லாம் மோசமில் லாமற் செய்வீர்
இந்த நாலு பாடலின் வழி மூன்று வேறிகளால் [variables] ஆன சமகால இழுனைச் சமன்பாடுகள் [Simultaneous Linear Equations] சொல்லப் படுகின்றன. முத்தமிழ்க் கணக்கராகிய நாம் மோசமில்லாது செய்வோமா?
மூன்று தேவிகளும் பறித்த பூக்கள் x,y,z என்று பொருத்திக் கொள்வோம்.
முதல் பாட்டின் மூன்றாம் வரி மூலம் y = x+3, z = y+3 என்று இரு சமன்பாடுகளை அறிகிறோம்.
அடுத்து முதற்பாட்டின் நாலாம் வரிமூலம் ஒரு தேவிக்குக் கிடைத்த பூக்கள் = (x+y+z)/3 என்று அறிகிறோம்.
இரண்டாம் பாட்டின் முதல் வரி மூலம், மாதேவருக்கு இட்ட பூக்கள் = [(x+y+z)/3]/2 என அறிகிறோம்.
இரண்டாம் பாட்டின் இரண்டாம் வரி மூலம் முருகருக்கு இட்ட பூக்கள் = [(x+y+z)/3]/5 என அறிகிறோம்.
இரண்டாம் பாட்டின் மூன்றாம் வரியின் மூலம் பிள்ளையாருக்கு இட்ட பூக்கள் = [(x+y+z)/3]/4 என அறிகிறோம்.
எனவே கோயிலிற் கொடுத்தது போக,
ஒரு தேவி வீட்டிற்குக் கொண்டுவந்தது = (x+y+z)/3 - [(x+y+z)/3]/2 - [(x+y+z)/3]/5 -[(x+y+z)/3]/4 = (x+y+z)/3[1-1/2- 1/5 - 1/4] = [(x+y+z)/3]*(1/20)
= (x+y+z)/60
இனி வீட்டில்,
தந்தைக்குக் கொடுத்தது = [(x+y+z)/60]/2
தோழிக்குக் கொடுத்தது = [(x+y+z)/60]/5
கணவனுக்குக் கொடுதது = {(x+y+z)/60]/10
அவளிடம் மிஞ்சியது = [(x+y+z)/60]*[1-1/2-1/5-1/10] = (x+y+z)/60]*(1/5) = (x+y+z)/300
அடுத்துத்
தானம் கொடுத்தது = 4*5 = 20
பிள்ளைக்குக் கொடுத்தது = 9
தன்னிடம் கடைசியாய் இருந்தது = 1
ஆக அவளிடம் எஞ்சியது = 20+9+1 = 30
மேலே உள்ளதை மீண்டும் ஓர்ந்து பார்த்தால் (x+y+z)/300 என்பது 30 ற்குச் சமமாக அமைந்து மூன்றாவது சமன்பாட்டைக் கொடுக்கும்.
எனவே (x+y+z) = 300*30 = 9000 பூக்கள் ஆகும்.
இது போக, இன்னும் 2 சமன்பாடுகள் நமக்கு ஏற்கனவே தெரியும் அவை y = x+3, z= y+3
மேலேயுள்ள மூன்று சமன்பாடுகளையும் ஒருங்குசேரச் சுளுவியெடுத்தால், (y-3)+y+(y+3) = 9000; y = 3000; x = 2997; z = 3003 என்ற விடைகள் கிடைக்கும்.
இதுபோல நூற்றுக்கணக்கான புதிரிகள் கணக்கதிகாரத்தில் உள்ளன. வடபுலத்திலும் உண்டு. மற்ற நாகரிகங்களிலும் எழுந்தன. இக்கணக்குத் தொகுதிகளில் 4, 5 வேறிகளைக் கொண்டு சமகால இழுனைச் சமன்பாடுகள் இருப்பது ஒருவிதக் கணக்காகும். இன்னொரு வகை முன்சொன்ன பாபி லோனியக் கணக்குப் போல் உயர்பாகை இழுனாச் சமன்பாடுகளாய் (Higher degree non-linear equations) அமைவது வேறுவிதக் கணக்காகும். இனி அல்-குவாரிசுமி காட்டிய கணக்கிற்கு வருவோம்.
“ஒரு மூலச் சதுரமும் பத்து மடங்கு மூலமும் சேர்ந்து 39 திர்காமுக்கு விலைபெறும் என்றால் மூலத்தின் அலகு என்ன?”
நாம் அறியா எண் (the unknown number) என்பதை மூலம் (root) என்றே அந்தக் காலத்தில் பயின்றிருக்கிறார். இப்போது வருக்கமூலம் என்பது வேறு பொருள் தருவதால், மூலம் என்ற பயில்வு கணிதத்தில் இந்த அலகைக் குறிப்பதில்லை.
(square of the unknown plus ten times the unknown equals 39)
i.e. x^2+10*x = 39;
x^2+10x-39 = 0
இதை அல்குவாரிசுமியின் பொத்தகத்தில் எப்படிச் சுளுவியெடுக்கிறார் என்று சொல்லாது நேரடியாக குழியேற்ற வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி விடையை நாம் எழுதிவிடலாம்
x = [-10 +- (10^2 +4*39)^(1/2)]/2 = [-10+- (100+156)^(1/2)]/2 = [-10+-16]/2 = (3) or (-13)
பாபிலோனியக் கணக்கிலும், அல்குவாரிசுமிக் கணக்கிலும் வரும் சமன்பாடுகளை இக்காலக் கணிதத்தில் தொகுவெண் கெழுக்கள் (integer coefficients) கொண்ட பலனச் சமன்பாடுகள் (polynomial equation) என்பார்.
குழியேற்றச் சமன்பாடுகள் (quadratic equations),
கனவச் சமன்பாடுகள் (cubic equation),
நாலவச் சமன்பாடுகள் (quartic equation),
கைவகச் சமன்பாடுகள் (quintic equation)
என்று பல்வேறு சமன்பாடுகள் எழமுடியும். இச் சமன்பாடுகளின் தீர்வு ஓர் உள்ளக எண்ணாகவோ (real number), பலக்கிய எண்ணாகவோ (complex number) அமையும். இத்தகைய தீர்வெண்களைப் பொருத்தெண்கள் (algebraic numbers) என்று எண்ணியலிற் சொல்வார்.
பொருத்தெண் = algebraic number = a number, real or complex, that is the root of a polynomial equation with integer coefficients.
மேலுள்ளதைப் படித்தால் எல்லாவிதமான உள்ளக எண்களும், பலக்கிய எண்களும் பொருத்தெண்கள் தானே? பொருத்தெண்கள் அல்லாது வேறு வகை எண்கள் உண்டா? - என்ற கேள்வி எழலாம். அடுத்த பகுதியில் பொருத்தெண்ணுக்கு மாற்றாக இன்னொரு வகை எண்ணைப் பார்ப்போம்.
அன்புடன்,
இராம.கி.
Tuesday, April 20, 2010
எண்ணியல் - 3
இயலெண்களைச் சொல்லும் போது இன்னொரு வகை சொல்லாது விட்டேன். அது 1,2,3,4,5,6,7....என்ற இயலெண்களில், எந்த எண்ணையும், அதைக் காட்டிலும் மதிப்புக் குறைந்த எண்களின் பெருக்கல் விளைவாகக் காட்டுவது பற்றியதாகும். காட்டாக 1, 2, 3, என்ற எண்கள் அந்தந்த எண்களாலும், ஒன்று என்ற எண்ணாலும், மட்டுமே வகுபடும். அவற்றிற்கு அடுத்து 4ஐ இரண்டின் மடக்காய்ச் (exponentiation) சொல்லலாம், 5 என்பது 1,2,3 போன்றது. 5 -ஆலும் ஒன்றாலும் மட்டுமே வகுபடக் கூடும். 6 ஐ 2*3 என்ற பெருக்கற் தொகையாகக் காட்டலாம். 7 உம் ஒன்றாலும், ஏழாலும் மட்டுமே வகுக்க முடியும். 8 ஐ 2ன் மும்மடக்காகவும் (2^3), 9 ஐ 3^2 என்றும், 10 ஐ 2*5 என்றும் சொல்லிவிடலாம்,
இதுவரை பார்த்தவற்றில் 1,2,3,5,7 போன்றவை தவிர மற்ற எண்களைத் தங்களுக்குக் கீழுள்ள எண்களின் பெருக்கல் விளைவாகக் காட்ட முடியும். இப்படி முடியாது தனிப் பெருமையோடு அண்ணாந்து நிற்கும் தகையுடைய எண்கள் பெரும எண்கள் (Prime numbers) எனப் பெறும். வகுபட முடியாத அவைகளுக்கு நிகர் எதுவும் கிடையாது என்ற பெருமை அவைகளுக்குண்டு. பெருமை (primality) என்பது கணிதத்திற் கூர்ந்து கவனிக்க வேண்டிய பண்பு. காட்டாக 1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,....... போன்றவை 30 - ற்குக் கீழுள்ள பெரும எண்களாகும். மற்ற எல்லாவற்றையும் இப் பெரும எண்களில் இருந்து பெருக்கல் மூலமே பெற்றுவிடலாம். அதனால் அவற்றைப் பெருமையுறா எண்கள் (non-primal numbers) என்பார். பெரும எண்களை ஒட்டி பல்வேறு கணிதத் தேற்றங்கள் உண்டு.
இனி அடுத்துப் பலக்கெண் (complex number) பற்றிப் பார்ப்போம். முந்தை இடுகையில் 4 செய்முறைகளைப் பார்த்தோம் அல்லவா? அவை போக இன்னொரு செய்முறையாக மூலங்கள் (roots) காணும் செயற்பாடுண்டு. பரப்பளவு, கன அளவு ஆகியவற்றைக் கொடுத்துப் பக்கங்களைக் கண்டு பிடிக்கச் சொல்லும் கணக்குகள் நம் அன்றாட வழக்கில் இருக்கின்றன. ஒரு சதுர அளவு a என்றால் அதன் பரப்பளவு a^2 என்பது நமக்கெலாம் மிக எளிது [முன்சொன்னது போல், இதைக் குழிமாற்று என்று அக்காலஞ் சொல்வார். குழித்தல் என்றாலே to square என்றும் தமிழிற் பொருளுண்டு. மல்(க்)குதல், பெருக்குதல், பருக்குதல், மா(ற்)றுதல் போன்ற சொற்கள் பொதுவான multiplication ஐக் குறிக்கும்.] இதையே, தலைகீழ் கணக்காய்ச் செய்வதிற்றான் பலருக்கும் தடுமாற்றங்கள் உண்டு. ஏதேனும் ஓரெண் கொடுத்து அதைச் சதுரப் பரப்பாகக் கொண்டு, சதுரப்பக்கம் காணுவது தலைகீழ்க் கணக்கு ஆகும். இப்பொழுது 121 என்று பரப்பளவு தந்தால் வாய்ப்பாடு தெரிந்த வரை, அதன் பக்கம் 11 என்று சொல்வோம். இன்னுஞ் சில எண்களுக்குச் சற்று நேரமாகலாம். ஆனால், பொதுவாக எந்த உள்ளமைப் பொதிவெண்ணின் சதுர மூலத்தையும் வழிமுறை தெரிந்தால் மட்டுமே காணமுடியும்.
[கலம் என்பது தமிழிற் கலகலத்துக் கிடப்பதையும் பெருத்துக் கிடப்பதையும் குறிக்கும். இது வடமொழித் திரிவில் கலநம்>கல்நம்>கன்னம்>கனம் ஆகும். அதேபொழுது, கனமென்ற இன்னொரு தமிழ்ச்சொல்லிற்கு weight பொருளுமுண்டு. [அந்த மூட்டை ரொம்பக் கனமாக இருக்கிறது.] எடை/நிறை என்ற சொற்களை மட்டுமே weight இற்கு வைத்துக் கனமென்ற சொல்லைப் பெருக்கலைக் குறிக்கும் விதமாய்ச் சில நூற்றாண்டுகள் முன் புழங்கத் தொடங்கினார். [குழப்பம் வந்த இடத்தில் ஏவல், பொருள் பார்த்துப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.] அதற்குமுன் அப்படியில்லை. cube. இற்குக் கனச்சதுரம் என்றே எமக்கு அக்காலம் சொல்லிக் கொடுத்தார். volume என்பதை ghanaphala, vimdaphala என்று வடமொழியிற் சொல்வார்.
துல்லியம் பார்த்தால் கனம் என்ற சொல்வடிவு volume/cube இற்குச் சற்றும் சரி வராது; weight இற்கே சரிவரும். இருப்பினும், காலகாலமாய்ப் பழகிப் போன காரணத்தால், தவறாக இருந்தாலும், கனம் என்ற சொல்லைத் தயக்கத்தோடு cube இற்கு இணையாகப் புழங்குகிறேன். அதைக் கலம் என்று ஊற்று வேர்வழி அறிந்து மாற்றினால் கூட ”எடைப்” பொருள் வராது நன்றாக இருக்கும் என்று தோன்றுகிறது. ஏனென்றால், இது போன்ற சொற்களில் தவறான புரிதல் ஏற்பட்டால் அப்புறம் துல்லியத் தமிழ் அறிவியல்நடை நம்மிடம் வாராது. அதே பொழுது, இது போன்ற அடிப்படை மாற்றங்களுக்குப் பெரும்பாலான தமிழர் தயங்கலாம். volume ஐ வெள்ளமென்றே சில ஆண்டுகளாய்ச் சொல்கிறேன். (வெள்> வெளியை - space - நிறைப்பது வெள்ளம்),”ஆறு வெள்ளமாய்ப் பெருகியது; ஏரியில் நீர் வெள்ளமாய்க் கிடக்கிறது.” பெருக்கம் (to expand; பெருகுவது பெருக்கம்) என்பதும் இதற்குப் பொருந்தும். [வெள்ளம் என்பது விளவுக் கருத்தீடல்ல (flow concept). முப்பரிமான அகற்சிக் கருத்தீடு ஆகும். (three dimensional expanse concept).]
ஒரு கனச்சதுரத்தின் வெள்ளங்கொடுத்து அதன் பக்கத்தைக் கண்டு பிடிப்பது கனமூலமாகும். எவ்வெண்ணுக்கும் சட்டெனக் கனமூலம் காண்பது அவ்வளவு எளிதன்று. கனமூலங்களை சதுரமூலத்தோடு தொடர்புறுத்த பல வாய்ப் பாடுகள் உண்டு. இதேமுறையில் பல்வேறு வருக்க மூலங்களையும் சதுர மூலத்தோடு உறவுகாட்டித் தொடர்புறுத்துவார். அதனால், பல்வேறு வாய்ப் பாடுகள் மூலம், மற்ற வருக்க மூலங்களையும் (n th roots) கண்டுபிடிக்கலாம். ஆனால் இவையெல்லாம் பொதிவெண்களுக்கு மட்டுமே செய்ய முடியும். வருக்க மூலம் காண்பதை நொகையெண்களுக்கும் செய்ய வேண்டுமெனில், முன்செய்தது போல் இன்னும் ஒரு செயற்கை எண்ணை உள்ளமை எண் கொத்தோடு சேர்க்க வேண்டும். ”i” ஐ (-1) இன் சதுர மூலமெனக் கற்பிதமாய்க் (imaginary) கொண்டு அதன்வழி மற்ற எல்லா நொகையெண்களுக்கும் square.root of (-4) = 2i ; sq.r (-9) = 3i; sq.r. (-13) = (sq.r.of 13)*i = (3.605551.....)i. சொல்ல முடியும்.
இயலெண்களையும் கற்பித எண்களையும் நேரடிக் கூட்டலாய் இழுனை (linear) முறையிற் ஒன்றுசேர்த்து a + b*i என்ற வகையிற் எழுதுவார். 2i ; 5+3i; 29.45-3.605551i போன்றவை இப்படி எழுதப்பட்ட எண்களே. இவற்றைப் பலக்கெண்கள் (complex numbers) என்பார். இவ் எண்கள் கொண்ட கொத்தைப் பலக்கெண் கொத்து C (Complex numbers C) என்பார். இப் பலக்கெண்கள் உயர் கணிதத்திற் பெரிதும் பயன்கொண்டவை. சில பலக்கெண்கள் கீழ்வருமாறு:
(2i) + (5+3i) = 5+5i
(5+3i) - (29.45-3.605551i) = -24.45+6.605551i
(5-3i)*(7-9i) = (5*7 +3*9-5*9i -3*7i) = 35+27-45i-21i = 62 -66i
மேலுள்ள பெருக்கலைச் சரியானபடி செய்ய வேண்டுமெனில், plus, minus எனும் குறிகளின் பெருக்கல் எப்படி என்று தெரியவேண்டும். [plus, minus என்ற சொற்களுக்குச் சரியான இணைகள் தமிழிலின்றிப் பலரும் அப்படியே ஆங்கிலச் சொல் புழங்குவார்.
Plus: 1579, the oral rendering of the arithmetical sign +, from L. plus "more" (comparative of multus "much"), altered by influence of minus from *pleos, from PIE *ple- "full" (see plenary). Placed after a whole number to indicate "and a little more," it is attested from 1902. As a conj., "and," it is Amer.Eng. colloquial, attested from 1968. Plus fours (1921) were four inches longer in the leg than standard knickerbockers, to produce an overhang, originally a style assoc. with golfers. The plus-sign itself has been well-known since at least 1489 and is perhaps an abbreviation of L. et (see etc.).
என்னைக் கேட்டால், Plus, minus இற்கு இணையாய் நல்ல குறுஞ்சொற்களைப் பரிந்துரைக்கலாம். பல்குதல் வினைக்குக் கூட்டுதல் பொருளுண்டு. அவ் வினையால் விளையும் பெயர்ச்சொல் பலை = plus; அதேபோல் நுல்கு> நுள்கு> நொகுதலில் (கழித்தலில்) விளையும் பெயர்ச்சொல் நுணை = minus, negative]. இப்பொழுது, குறிப்பெருக்கல் வாய்ப்பாடு
பலையைக் பலையாற் பெருக்கப் பலை கிடைக்கும்
பலையைக் நுணையாற் பெருக்க நுணை கிடைக்கும்
நுணையைக் பலையாற் பெருக்க நுணை கிடைக்கும்
நுணையை நுணையாற் பெருக்கப் பலை கிடைக்கும்
என்று அமையும்.. [பலை*பலை = பலை, பலை*நுணை = நுணை, நுணை*பலை = நுணை, நுணை*நுணை = பலை] இங்கு கலைச்சொல் விளக்கம் ஒன்று தரவேண்டும். பொதிவெண்கள் = பலை (எண்கள்) = + எண்கள்; நொகையெண்கள் = நுணை (எண்கள்) = - எண்கள்
மேலும் பலக்கெண்களைப் பற்றிச் சொல்லத் தொடங்கினால் பெரிதும் சொல்லலாம். இரு முகன்மைச் செய்திகளை மட்டும் இங்கு சொல்கிறேன்.
1. கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல், மூலங்காணல் என்று 5 செய்முறைகளின் வழி பார்த்தால், கணக்குச் செய்ய உகந்த முழுமையான மூடிய கொத்து, பலக்கெண் கொத்தே.
2. உள்ளமை எண்களைக் காட்சிப்படுத்தும் போது உள்ளமைக் கோட்டைப் (real line) பயன்படுத்தினோம் அல்லவா? அது போல், பலக்கெண்களைக் காட்சிப் படுத்த, நமக்கு ஒரு தளப் பரப்பு (plane surface) வேண்டும். தளத்தின் நடுவில் கிடையாக (horizontal) ஓரச்சும், நெட்டாக (vertical) இன்னோர் அச்சும் போட்டு எந்தவொரு பலக்கெண்ணையும் காட்சிப் படுத்தலாம். கிடையச்சை உள்ளக அச்சென்றும் (real axis), நெட்டச்சைக் கற்பித அச்சென்றும் (imaginary axix) சொல்வர். பலக்கெண்ணின் 2 பகுதிகளில் முதலில் உள்ளது உள்ளக அலகு (real unit). அடுத்து i எண்ணும் குறியீட்டிற்கு முன் உள்ளது கற்பித அலகு (imaginary unit). உள்ளக அச்சில் உள்ளக அலகை அளந்து அதிலிருந்து ஒரு குத்துக்கோடு (perpendicular) இட்டு, கற்பித அச்சிலிருந்து கற்பித அலகை அளந்து அங்கிருந்து குத்துக்கோடு இட்டு, 2 குத்துக்கோடுகளும் வெட்டும் புள்ளியை ஊற்றுப் புள்ளியோடு (origin) இணைத்தால் கிடைக்கும் கோடு நாம் சொல்ல விழையும் பலக்குப் புள்ளியையைக் காட்சிப் படுத்தும். அதேபோல இக்கோட்டின் ஊற்றுப் புள்ளியல்லா இன்னொரு முனை பலக்குப் புள்ளியை நேரடியாய்க் குறிக்கும். பலக்குத் தளம் (complex plane) முழுதும் இப்படி எண் இறந்த பலக்குப் புள்ளிகள் விரவியுள்ளன என்பது நினைவில் வைக்க வேண்டிய செய்தியாகும்..
மேற்கொண்டு பலக்கெண்கள் பற்றிச் சொல்லாமல், மற்ற எண்கள் பற்றிக் கீழே சொல்ல முற்படுகிறேன்.[இது போன்றதோர் அடிப்படைத் தொடரில் பலக்கெண்ணிற்குரிய மற்ற செய்திகளைத் தவிர்க்கிறேன்.]
மற்ற எண்களில், முதலிற் சொல்ல முற்படுவது random number என்பதாகும். 6 முகங்கொண்ட பகடைக்காயை கீழே வீசி எறிகிறோம் என்று வையுங்கள், 4 என்ற எண் மேலே தெரியும் முகத்திற் தெரிகிறது என்றும் வையுங்கள். 4 என்ற எண் கிடைத்ததாய்க் கொள்வோம். இதே போல் 12 சோழிகளைத் மேலே தூக்கி எறிகிறோம். 7 முகங்கள் மல்லாக்கவும், 5 முகங்கள் குப்புறவும் விழுகின்றன. (ஏழையோ, ஐந்தையோ, எல்லோரும் ஒப்பும் முறையில் வைத்து, விழுந்த எண்ணாக எடுத்துக் கொள்கிறோம்.) இன்னதென்று சொல்ல முடியாதபடி சட்டென, விருட்டென வந்துவிழும் இவற்றை விருட்டெண்கள் (random numbers) எனக் கணிதத்தில் அழைப்பார். ["having no definite aim or purpose," 1650s, from at random (1560s), "at great speed" (thus, "carelessly, haphazardly"), alteration of M.E. randon "impetuosity, speed" (c.1300), from O.Fr. randon "rush, disorder, force, impetuosity," from randir "to run fast," from Frankish *rant "a running," from P.Gmc. *randa (cf. O.H.G. rennen "to run," O.E. rinnan "to flow, to run"). In 1980s college student slang, it began to acquire a sense of "inferior, undesirable." Random access in ref. to computer memory is recorded from 1953.]
விருட்டெண்கள் அப்படியொன்றும் கையாள முடியாதவையல்ல. பகடைக் காயை நெடுநேரம் தூக்கிப் போட்டால், 1 இல் இருந்து 6 வரை எல்லாமே வந்து விழக் கூடியதைக் கூர்ந்து நோக்கலாம். அதே போல சோழி வீழ்ச்சியிலும் ஒன்றிலிருந்து 12 ஆம் எண்வரை எதுவெண்டுமானாலும் நெடுநேரம் விளையாண்டாற் கிடைக்கும். இது போல அடுத்தடுத்து வீழும் எண்கள் அல்லது தோயங்களில், எல்லாத் தோயங்களுக்கும் (digits), எண்களுக்கும் (numbers) ஒரே மாதிரி விழும் வாய்ப்பு இருக்குமானால், அப்படி விழும் போது முதலில் விழுந்த எண்/தோயம் அடுத்து விழும் எண்/தோயம் அமைவதற்கு எந்த வகையிலும் வழிகாட்டுவதில்லை என்றால், அந்த எண்கள்/தோயங்களை விருட்டெண்கள் அல்லது விருட்டுத் தோயங்கள் என்பார். [random numbers = a sequence of digits or numbers with the property that, in the long run, all digits or numbers in the sequence will occur equally often, and in which the occurrence of any one digit or number in a particular position in the sequence is no guide to the occurrence of earlier or later members of the sequence.] விருட்டெண்கள் கிடைக்கப் பகடை, சோழி என்ற 2 முறைகள் மட்டுமல்ல, நூற்றுக் கணக்கான முறைகள் உண்டு.
இன்னும் பல்வேறு எண்களும் பின்னங்களும் இருக்கின்றன. அவற்றை அடுத்து அடுத்துப் பார்ப்போம்.
அன்புடன்,
இராம.கி.
இதுவரை பார்த்தவற்றில் 1,2,3,5,7 போன்றவை தவிர மற்ற எண்களைத் தங்களுக்குக் கீழுள்ள எண்களின் பெருக்கல் விளைவாகக் காட்ட முடியும். இப்படி முடியாது தனிப் பெருமையோடு அண்ணாந்து நிற்கும் தகையுடைய எண்கள் பெரும எண்கள் (Prime numbers) எனப் பெறும். வகுபட முடியாத அவைகளுக்கு நிகர் எதுவும் கிடையாது என்ற பெருமை அவைகளுக்குண்டு. பெருமை (primality) என்பது கணிதத்திற் கூர்ந்து கவனிக்க வேண்டிய பண்பு. காட்டாக 1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,....... போன்றவை 30 - ற்குக் கீழுள்ள பெரும எண்களாகும். மற்ற எல்லாவற்றையும் இப் பெரும எண்களில் இருந்து பெருக்கல் மூலமே பெற்றுவிடலாம். அதனால் அவற்றைப் பெருமையுறா எண்கள் (non-primal numbers) என்பார். பெரும எண்களை ஒட்டி பல்வேறு கணிதத் தேற்றங்கள் உண்டு.
இனி அடுத்துப் பலக்கெண் (complex number) பற்றிப் பார்ப்போம். முந்தை இடுகையில் 4 செய்முறைகளைப் பார்த்தோம் அல்லவா? அவை போக இன்னொரு செய்முறையாக மூலங்கள் (roots) காணும் செயற்பாடுண்டு. பரப்பளவு, கன அளவு ஆகியவற்றைக் கொடுத்துப் பக்கங்களைக் கண்டு பிடிக்கச் சொல்லும் கணக்குகள் நம் அன்றாட வழக்கில் இருக்கின்றன. ஒரு சதுர அளவு a என்றால் அதன் பரப்பளவு a^2 என்பது நமக்கெலாம் மிக எளிது [முன்சொன்னது போல், இதைக் குழிமாற்று என்று அக்காலஞ் சொல்வார். குழித்தல் என்றாலே to square என்றும் தமிழிற் பொருளுண்டு. மல்(க்)குதல், பெருக்குதல், பருக்குதல், மா(ற்)றுதல் போன்ற சொற்கள் பொதுவான multiplication ஐக் குறிக்கும்.] இதையே, தலைகீழ் கணக்காய்ச் செய்வதிற்றான் பலருக்கும் தடுமாற்றங்கள் உண்டு. ஏதேனும் ஓரெண் கொடுத்து அதைச் சதுரப் பரப்பாகக் கொண்டு, சதுரப்பக்கம் காணுவது தலைகீழ்க் கணக்கு ஆகும். இப்பொழுது 121 என்று பரப்பளவு தந்தால் வாய்ப்பாடு தெரிந்த வரை, அதன் பக்கம் 11 என்று சொல்வோம். இன்னுஞ் சில எண்களுக்குச் சற்று நேரமாகலாம். ஆனால், பொதுவாக எந்த உள்ளமைப் பொதிவெண்ணின் சதுர மூலத்தையும் வழிமுறை தெரிந்தால் மட்டுமே காணமுடியும்.
[கலம் என்பது தமிழிற் கலகலத்துக் கிடப்பதையும் பெருத்துக் கிடப்பதையும் குறிக்கும். இது வடமொழித் திரிவில் கலநம்>கல்நம்>கன்னம்>கனம் ஆகும். அதேபொழுது, கனமென்ற இன்னொரு தமிழ்ச்சொல்லிற்கு weight பொருளுமுண்டு. [அந்த மூட்டை ரொம்பக் கனமாக இருக்கிறது.] எடை/நிறை என்ற சொற்களை மட்டுமே weight இற்கு வைத்துக் கனமென்ற சொல்லைப் பெருக்கலைக் குறிக்கும் விதமாய்ச் சில நூற்றாண்டுகள் முன் புழங்கத் தொடங்கினார். [குழப்பம் வந்த இடத்தில் ஏவல், பொருள் பார்த்துப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.] அதற்குமுன் அப்படியில்லை. cube. இற்குக் கனச்சதுரம் என்றே எமக்கு அக்காலம் சொல்லிக் கொடுத்தார். volume என்பதை ghanaphala, vimdaphala என்று வடமொழியிற் சொல்வார்.
துல்லியம் பார்த்தால் கனம் என்ற சொல்வடிவு volume/cube இற்குச் சற்றும் சரி வராது; weight இற்கே சரிவரும். இருப்பினும், காலகாலமாய்ப் பழகிப் போன காரணத்தால், தவறாக இருந்தாலும், கனம் என்ற சொல்லைத் தயக்கத்தோடு cube இற்கு இணையாகப் புழங்குகிறேன். அதைக் கலம் என்று ஊற்று வேர்வழி அறிந்து மாற்றினால் கூட ”எடைப்” பொருள் வராது நன்றாக இருக்கும் என்று தோன்றுகிறது. ஏனென்றால், இது போன்ற சொற்களில் தவறான புரிதல் ஏற்பட்டால் அப்புறம் துல்லியத் தமிழ் அறிவியல்நடை நம்மிடம் வாராது. அதே பொழுது, இது போன்ற அடிப்படை மாற்றங்களுக்குப் பெரும்பாலான தமிழர் தயங்கலாம். volume ஐ வெள்ளமென்றே சில ஆண்டுகளாய்ச் சொல்கிறேன். (வெள்> வெளியை - space - நிறைப்பது வெள்ளம்),”ஆறு வெள்ளமாய்ப் பெருகியது; ஏரியில் நீர் வெள்ளமாய்க் கிடக்கிறது.” பெருக்கம் (to expand; பெருகுவது பெருக்கம்) என்பதும் இதற்குப் பொருந்தும். [வெள்ளம் என்பது விளவுக் கருத்தீடல்ல (flow concept). முப்பரிமான அகற்சிக் கருத்தீடு ஆகும். (three dimensional expanse concept).]
ஒரு கனச்சதுரத்தின் வெள்ளங்கொடுத்து அதன் பக்கத்தைக் கண்டு பிடிப்பது கனமூலமாகும். எவ்வெண்ணுக்கும் சட்டெனக் கனமூலம் காண்பது அவ்வளவு எளிதன்று. கனமூலங்களை சதுரமூலத்தோடு தொடர்புறுத்த பல வாய்ப் பாடுகள் உண்டு. இதேமுறையில் பல்வேறு வருக்க மூலங்களையும் சதுர மூலத்தோடு உறவுகாட்டித் தொடர்புறுத்துவார். அதனால், பல்வேறு வாய்ப் பாடுகள் மூலம், மற்ற வருக்க மூலங்களையும் (n th roots) கண்டுபிடிக்கலாம். ஆனால் இவையெல்லாம் பொதிவெண்களுக்கு மட்டுமே செய்ய முடியும். வருக்க மூலம் காண்பதை நொகையெண்களுக்கும் செய்ய வேண்டுமெனில், முன்செய்தது போல் இன்னும் ஒரு செயற்கை எண்ணை உள்ளமை எண் கொத்தோடு சேர்க்க வேண்டும். ”i” ஐ (-1) இன் சதுர மூலமெனக் கற்பிதமாய்க் (imaginary) கொண்டு அதன்வழி மற்ற எல்லா நொகையெண்களுக்கும் square.root of (-4) = 2i ; sq.r (-9) = 3i; sq.r. (-13) = (sq.r.of 13)*i = (3.605551.....)i. சொல்ல முடியும்.
இயலெண்களையும் கற்பித எண்களையும் நேரடிக் கூட்டலாய் இழுனை (linear) முறையிற் ஒன்றுசேர்த்து a + b*i என்ற வகையிற் எழுதுவார். 2i ; 5+3i; 29.45-3.605551i போன்றவை இப்படி எழுதப்பட்ட எண்களே. இவற்றைப் பலக்கெண்கள் (complex numbers) என்பார். இவ் எண்கள் கொண்ட கொத்தைப் பலக்கெண் கொத்து C (Complex numbers C) என்பார். இப் பலக்கெண்கள் உயர் கணிதத்திற் பெரிதும் பயன்கொண்டவை. சில பலக்கெண்கள் கீழ்வருமாறு:
(2i) + (5+3i) = 5+5i
(5+3i) - (29.45-3.605551i) = -24.45+6.605551i
(5-3i)*(7-9i) = (5*7 +3*9-5*9i -3*7i) = 35+27-45i-21i = 62 -66i
மேலுள்ள பெருக்கலைச் சரியானபடி செய்ய வேண்டுமெனில், plus, minus எனும் குறிகளின் பெருக்கல் எப்படி என்று தெரியவேண்டும். [plus, minus என்ற சொற்களுக்குச் சரியான இணைகள் தமிழிலின்றிப் பலரும் அப்படியே ஆங்கிலச் சொல் புழங்குவார்.
Plus: 1579, the oral rendering of the arithmetical sign +, from L. plus "more" (comparative of multus "much"), altered by influence of minus from *pleos, from PIE *ple- "full" (see plenary). Placed after a whole number to indicate "and a little more," it is attested from 1902. As a conj., "and," it is Amer.Eng. colloquial, attested from 1968. Plus fours (1921) were four inches longer in the leg than standard knickerbockers, to produce an overhang, originally a style assoc. with golfers. The plus-sign itself has been well-known since at least 1489 and is perhaps an abbreviation of L. et (see etc.).
என்னைக் கேட்டால், Plus, minus இற்கு இணையாய் நல்ல குறுஞ்சொற்களைப் பரிந்துரைக்கலாம். பல்குதல் வினைக்குக் கூட்டுதல் பொருளுண்டு. அவ் வினையால் விளையும் பெயர்ச்சொல் பலை = plus; அதேபோல் நுல்கு> நுள்கு> நொகுதலில் (கழித்தலில்) விளையும் பெயர்ச்சொல் நுணை = minus, negative]. இப்பொழுது, குறிப்பெருக்கல் வாய்ப்பாடு
பலையைக் பலையாற் பெருக்கப் பலை கிடைக்கும்
பலையைக் நுணையாற் பெருக்க நுணை கிடைக்கும்
நுணையைக் பலையாற் பெருக்க நுணை கிடைக்கும்
நுணையை நுணையாற் பெருக்கப் பலை கிடைக்கும்
என்று அமையும்.. [பலை*பலை = பலை, பலை*நுணை = நுணை, நுணை*பலை = நுணை, நுணை*நுணை = பலை] இங்கு கலைச்சொல் விளக்கம் ஒன்று தரவேண்டும். பொதிவெண்கள் = பலை (எண்கள்) = + எண்கள்; நொகையெண்கள் = நுணை (எண்கள்) = - எண்கள்
மேலும் பலக்கெண்களைப் பற்றிச் சொல்லத் தொடங்கினால் பெரிதும் சொல்லலாம். இரு முகன்மைச் செய்திகளை மட்டும் இங்கு சொல்கிறேன்.
1. கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல், மூலங்காணல் என்று 5 செய்முறைகளின் வழி பார்த்தால், கணக்குச் செய்ய உகந்த முழுமையான மூடிய கொத்து, பலக்கெண் கொத்தே.
2. உள்ளமை எண்களைக் காட்சிப்படுத்தும் போது உள்ளமைக் கோட்டைப் (real line) பயன்படுத்தினோம் அல்லவா? அது போல், பலக்கெண்களைக் காட்சிப் படுத்த, நமக்கு ஒரு தளப் பரப்பு (plane surface) வேண்டும். தளத்தின் நடுவில் கிடையாக (horizontal) ஓரச்சும், நெட்டாக (vertical) இன்னோர் அச்சும் போட்டு எந்தவொரு பலக்கெண்ணையும் காட்சிப் படுத்தலாம். கிடையச்சை உள்ளக அச்சென்றும் (real axis), நெட்டச்சைக் கற்பித அச்சென்றும் (imaginary axix) சொல்வர். பலக்கெண்ணின் 2 பகுதிகளில் முதலில் உள்ளது உள்ளக அலகு (real unit). அடுத்து i எண்ணும் குறியீட்டிற்கு முன் உள்ளது கற்பித அலகு (imaginary unit). உள்ளக அச்சில் உள்ளக அலகை அளந்து அதிலிருந்து ஒரு குத்துக்கோடு (perpendicular) இட்டு, கற்பித அச்சிலிருந்து கற்பித அலகை அளந்து அங்கிருந்து குத்துக்கோடு இட்டு, 2 குத்துக்கோடுகளும் வெட்டும் புள்ளியை ஊற்றுப் புள்ளியோடு (origin) இணைத்தால் கிடைக்கும் கோடு நாம் சொல்ல விழையும் பலக்குப் புள்ளியையைக் காட்சிப் படுத்தும். அதேபோல இக்கோட்டின் ஊற்றுப் புள்ளியல்லா இன்னொரு முனை பலக்குப் புள்ளியை நேரடியாய்க் குறிக்கும். பலக்குத் தளம் (complex plane) முழுதும் இப்படி எண் இறந்த பலக்குப் புள்ளிகள் விரவியுள்ளன என்பது நினைவில் வைக்க வேண்டிய செய்தியாகும்..
மேற்கொண்டு பலக்கெண்கள் பற்றிச் சொல்லாமல், மற்ற எண்கள் பற்றிக் கீழே சொல்ல முற்படுகிறேன்.[இது போன்றதோர் அடிப்படைத் தொடரில் பலக்கெண்ணிற்குரிய மற்ற செய்திகளைத் தவிர்க்கிறேன்.]
மற்ற எண்களில், முதலிற் சொல்ல முற்படுவது random number என்பதாகும். 6 முகங்கொண்ட பகடைக்காயை கீழே வீசி எறிகிறோம் என்று வையுங்கள், 4 என்ற எண் மேலே தெரியும் முகத்திற் தெரிகிறது என்றும் வையுங்கள். 4 என்ற எண் கிடைத்ததாய்க் கொள்வோம். இதே போல் 12 சோழிகளைத் மேலே தூக்கி எறிகிறோம். 7 முகங்கள் மல்லாக்கவும், 5 முகங்கள் குப்புறவும் விழுகின்றன. (ஏழையோ, ஐந்தையோ, எல்லோரும் ஒப்பும் முறையில் வைத்து, விழுந்த எண்ணாக எடுத்துக் கொள்கிறோம்.) இன்னதென்று சொல்ல முடியாதபடி சட்டென, விருட்டென வந்துவிழும் இவற்றை விருட்டெண்கள் (random numbers) எனக் கணிதத்தில் அழைப்பார். ["having no definite aim or purpose," 1650s, from at random (1560s), "at great speed" (thus, "carelessly, haphazardly"), alteration of M.E. randon "impetuosity, speed" (c.1300), from O.Fr. randon "rush, disorder, force, impetuosity," from randir "to run fast," from Frankish *rant "a running," from P.Gmc. *randa (cf. O.H.G. rennen "to run," O.E. rinnan "to flow, to run"). In 1980s college student slang, it began to acquire a sense of "inferior, undesirable." Random access in ref. to computer memory is recorded from 1953.]
விருட்டெண்கள் அப்படியொன்றும் கையாள முடியாதவையல்ல. பகடைக் காயை நெடுநேரம் தூக்கிப் போட்டால், 1 இல் இருந்து 6 வரை எல்லாமே வந்து விழக் கூடியதைக் கூர்ந்து நோக்கலாம். அதே போல சோழி வீழ்ச்சியிலும் ஒன்றிலிருந்து 12 ஆம் எண்வரை எதுவெண்டுமானாலும் நெடுநேரம் விளையாண்டாற் கிடைக்கும். இது போல அடுத்தடுத்து வீழும் எண்கள் அல்லது தோயங்களில், எல்லாத் தோயங்களுக்கும் (digits), எண்களுக்கும் (numbers) ஒரே மாதிரி விழும் வாய்ப்பு இருக்குமானால், அப்படி விழும் போது முதலில் விழுந்த எண்/தோயம் அடுத்து விழும் எண்/தோயம் அமைவதற்கு எந்த வகையிலும் வழிகாட்டுவதில்லை என்றால், அந்த எண்கள்/தோயங்களை விருட்டெண்கள் அல்லது விருட்டுத் தோயங்கள் என்பார். [random numbers = a sequence of digits or numbers with the property that, in the long run, all digits or numbers in the sequence will occur equally often, and in which the occurrence of any one digit or number in a particular position in the sequence is no guide to the occurrence of earlier or later members of the sequence.] விருட்டெண்கள் கிடைக்கப் பகடை, சோழி என்ற 2 முறைகள் மட்டுமல்ல, நூற்றுக் கணக்கான முறைகள் உண்டு.
இன்னும் பல்வேறு எண்களும் பின்னங்களும் இருக்கின்றன. அவற்றை அடுத்து அடுத்துப் பார்ப்போம்.
அன்புடன்,
இராம.கி.
Monday, April 19, 2010
எண்ணியல் - 2
நாம் இளமையில் அறிந்த 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,,,,,,, என்பவை போன்ற எண்ணிறந்த பதின்மக் கட்டக (decimal system) எண்களை, முழு எண்கள் (whole numbers) அல்லது சாத்தார எண்கள் (ordinary numbers) என்று சொல்லலாம்.
[சாத்தாரம் எனும் தமிழ்வழக்கு சாதாரண என்று வடபுலத்தில் சொல்லப் படும். அதன் தமிழ்மூலம் தெரியாத பலரும் அதை வடமொழி வழக்கென எண்ணி அமைந்து விடுகிறார். ஆனால் உண்மை அதுவல்ல. இக்காலத்தில் குப்பன், சுப்பன் எனப் பொது மாந்தனை அழைப்பது போல் அக்காலத்தில் சந்தை (கடைவீதி) மாந்தனைச் சாத்தனென விளித்தார். (சால்தல் = சாற்றல்> சாட்டல்> சாத்தல் = விலை சொல்லல் = விற்றல் = sale.) சங்க இலக்கியத்தில் ”சாத்தன்” எனும் சொல் அதிகம் பயன்படும்.
[சாத்தாரம் எனும் தமிழ்வழக்கு சாதாரண என்று வடபுலத்தில் சொல்லப் படும். அதன் தமிழ்மூலம் தெரியாத பலரும் அதை வடமொழி வழக்கென எண்ணி அமைந்து விடுகிறார். ஆனால் உண்மை அதுவல்ல. இக்காலத்தில் குப்பன், சுப்பன் எனப் பொது மாந்தனை அழைப்பது போல் அக்காலத்தில் சந்தை (கடைவீதி) மாந்தனைச் சாத்தனென விளித்தார். (சால்தல் = சாற்றல்> சாட்டல்> சாத்தல் = விலை சொல்லல் = விற்றல் = sale.) சங்க இலக்கியத்தில் ”சாத்தன்” எனும் சொல் அதிகம் பயன்படும்.
சாத்தன், வடபுலத்து seth, தென்புலத்துச் சாற்றி> சாட்டி> செட்டி ஆகியவை சால்தல் கருத்தில் அமைந்த வேறு சொற்களாகும். தமிழ்நாட்டின் ஐயனார் கோயில்கள் எல்லாம் சாத்தன் கோயில்களே. தென்பாண்டி நாட்டில் குல தெய்வக் கோயில்களாய் ஐயனார் கோயில்களே உண்டு. ஐயனார் வழிபாடு பற்றிய ஆய்வுகள் நம்மூரில் முறையாய் எழவில்லை. எல்லாவற்றையும் ”இந்து மதம்” என வேதக்கூட்டத்தோடு சேர்த்துக் கோவிந்தாப் போடுவதில் பொருள் இல்லை. (சபரிமலைச் சாத்தனை சாஸ்தா என வடமொழி வழி ஆக்கியதையும், இந்துத் தொன்மங்களோடு பொருத்தியதையும் இங்கு எண்ணிப் பார்க்கலாம்.) அறப்பெயர்ச் சாத்தனுக்கும் அற்றுவிகத்திற்கும் (ஆசீவிகம்) பெருந்தொடர்பு உண்டென்று பேரா. க.நெடுஞ்செழியன் சொல்வார்.
சாத்தர்> சாத்தாரம் என்ற சொற்கள் ordinary மாந்தனை இவ்வகையிற் தமிழிற் குறித்தன.
அதே போல சமனன்>சமணன் என்பதும் அற்றுவிகம், செயினம், புத்தம் ஆகிய நெறியினரைக் குறித்த பொதுச் சொல்லாகும். கி.மு.500 - கி.பி.500 வரை இந்தியத் துணைக்கண்டத்திற் பெரும்பகுதியார் இம் 3 நெறிகளில் இருந்தார். இப் பட்டகையால் (fact), ”சமனன்” என்பது பொதுமக்களைக் குறிக்கத் தொடங்கிற்று. சமனம்> சாமனம்> சாமன்யம்> சாமான்யம் என்ற திரிவில் புதுச் சொல் ஒன்று விளைந்தது. இன்று பயன்படுத்தும் சாதாரணம், சாமான்யம் ஆகியவற்றின் பின்புலம் இதுவே.
அதே போல சமனன்>சமணன் என்பதும் அற்றுவிகம், செயினம், புத்தம் ஆகிய நெறியினரைக் குறித்த பொதுச் சொல்லாகும். கி.மு.500 - கி.பி.500 வரை இந்தியத் துணைக்கண்டத்திற் பெரும்பகுதியார் இம் 3 நெறிகளில் இருந்தார். இப் பட்டகையால் (fact), ”சமனன்” என்பது பொதுமக்களைக் குறிக்கத் தொடங்கிற்று. சமனம்> சாமனம்> சாமன்யம்> சாமான்யம் என்ற திரிவில் புதுச் சொல் ஒன்று விளைந்தது. இன்று பயன்படுத்தும் சாதாரணம், சாமான்யம் ஆகியவற்றின் பின்புலம் இதுவே.
எல்லாவற்றையும் வேதநெறி, வடமொழி என்பவற்றின் வழி மட்டுமே பார்த்தால் துணைக்கண்டத்தின் இன்னொரு விதப்பான வேதமிலா நெறிகள், தமிழ்நெறி போன்றவை விளங்காது. புரிய வேண்டியவருக்குப் புரிந்தாற் சரி.]
பதின்மக் கட்டகத்தின் முழுவெண்களை (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12...........) மாந்த ஆக்கம் (man made) என்று கொள்ளாது, ”அவை இயற்கையானவை” என்றே கருதி, இவையடங்கிய எண்கொத்தை இயலெண் கொத்து (Set of natural numbers N) என்றே கணிதத்தில் அழைப்பார். இயலெண்கள், ”கொடுக்கப் பட்டவை” (given) என்றே மக்களால் புரிந்துகொள்ளப் படும். கூடுதல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் என 4 செய்முறைகளுக்கும் இந்த எண்களையே ஆட்படுத்துகிறோம்.
கூட்டலைச் சேர்த்தல் என்றும் ”கணக்கதிகாரம், கணித நூலில்” சொல்வார். குறிப்பிட்ட இடைவெளி கொண்ட இயலெண்களைச் சேர்த்துக் கூட்டுவதை. (காட்டாக 1 இல் இருந்து 10 வரையுள்ள எண்களைக் கூட்டி 55 என விடை சொல்வது) முகனக் கணிதத்தில் (modern mathematics) எண்ணியல் அடுக்கம் (arithmetic progression) எனப்படும். ”அடுக்கம்” என்பதை ஆழ்ந்து புரிந்து கொள்க.
பதின்மக் கட்டகத்தின் முழுவெண்களை (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12...........) மாந்த ஆக்கம் (man made) என்று கொள்ளாது, ”அவை இயற்கையானவை” என்றே கருதி, இவையடங்கிய எண்கொத்தை இயலெண் கொத்து (Set of natural numbers N) என்றே கணிதத்தில் அழைப்பார். இயலெண்கள், ”கொடுக்கப் பட்டவை” (given) என்றே மக்களால் புரிந்துகொள்ளப் படும். கூடுதல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் என 4 செய்முறைகளுக்கும் இந்த எண்களையே ஆட்படுத்துகிறோம்.
கூட்டலைச் சேர்த்தல் என்றும் ”கணக்கதிகாரம், கணித நூலில்” சொல்வார். குறிப்பிட்ட இடைவெளி கொண்ட இயலெண்களைச் சேர்த்துக் கூட்டுவதை. (காட்டாக 1 இல் இருந்து 10 வரையுள்ள எண்களைக் கூட்டி 55 என விடை சொல்வது) முகனக் கணிதத்தில் (modern mathematics) எண்ணியல் அடுக்கம் (arithmetic progression) எனப்படும். ”அடுக்கம்” என்பதை ஆழ்ந்து புரிந்து கொள்க.
கணக்கதிகாரத்திலும், ‘கணித நூலிலும்” இதை ஏற்றானடி, படியடி என்பார். (ஏற்றம் = உயரம், ஓர் எண்ணிற்கும் இன்னோர் எண்ணிற்கும் இடையுள்ள ஏற்றம் என்பது பேச்சுவழக்கில் ஏற்றம்> ஏத்தம்>ஏத்தான் ஆகும். செந்தர வழக்கில் இதை ஏற்று/ஏற்றம் எனலாம். படி என்பது எண்களுக்கு இடையுள்ள வெளியைக் குறிக்கும். ஏற்று/ படியைக் கொண்டு அடுக்கி வருவது அடி எனப்பட்டது. இன்றிதை அடுக்கு/அடுக்கம் என்பார். ஏற்றடுக்கம், படியடுக்கம் போன்றவை எண்ணியல் அடுக்கத்திற்கான வேறு சொற்களே ஆகும்.
கழித்தல் செய்முறை என்பது நீக்கல், தள்ளல், களைதல் என்றும் முற்காலத்தில் சொல்லப் பட்டது. ”அதிலிருந்து இதை நீக்க, தள்ள, களைய” என்று பல்வேறு கணக்கதிகாரக் கணக்குகள் வரும். இயலெண் கொத்தில் 2 குறைகள் உண்டு. அதாவது கழித்தல், வகுத்தல் செய்முறைகளில் கிடைக்கும் எண்களெலாம் இதே கொத்தினுள் அடங்காது, வெளியே போக வாய்ப்புண்டு.
கழித்தல் செய்முறை என்பது நீக்கல், தள்ளல், களைதல் என்றும் முற்காலத்தில் சொல்லப் பட்டது. ”அதிலிருந்து இதை நீக்க, தள்ள, களைய” என்று பல்வேறு கணக்கதிகாரக் கணக்குகள் வரும். இயலெண் கொத்தில் 2 குறைகள் உண்டு. அதாவது கழித்தல், வகுத்தல் செய்முறைகளில் கிடைக்கும் எண்களெலாம் இதே கொத்தினுள் அடங்காது, வெளியே போக வாய்ப்புண்டு.
காட்டாக, 10 இல் 7 ஐக் கழித்தால் கிடைக்கும் 3, இக்கொத்தில் உள்ளது. ஆனால், 6 இல் 11 ஐக் கழித்தால் கிட்டும் -5 என்பது இக்கொத்தில் அடங்காது வெளியே போய்விடும். இதே போல 8 ஐ 4 ஆல் வகுத்தால் கிடைக்கும் 2 கொத்தினுள் உள்ளது. 4 ஐ 12 ஆல் வகுத்து வரும் 0.3333.... என்பது இக் கொத்தினுள் இல்லை.
பொதுவாகக் கொத்தினுள் செய்யும் முறையின் விடை அதே கொத்தினுள் இருந்தால், அக்கொத்தை மூடிய கொத்து (closed set) என்றும் இப்படி அமையாததைத் ”திறந்த கொத்து (open set)” என்றும் சொல்வார். இயலெண் கொத்து என்பது மேற்கூறிய 4 செய்முறை அடிப்படையில் திறந்த கொத்தாகும். இயலெண்களின் திறந்த கொத்தில் முன்சொன்ன 4 செய்முறைகளை முழுமையாய்ச் செய்ய முடியாது; கூட்டல், பெருக்கல் மட்டுமே செய்ய முடியும். கழித்தல், வகுத்தல் போன்ற செய்முறைகளை இங்கே செய்யமுடியாது.
இனி, பொருட்களைப் பரிமாறிக் கொள்வதில் கொடுக்கல் வாங்கல் என்ற இரு வேறு செயற்பாடுகள் தென்படுவதால், நம்மிடம் சேருவதைப் பொதிதல் (to posit) என்றும், அதற்கு மாறாய்க் கொடுப்பதை ”நம்மிடம் இருந்து போதல், இல்லாது போதல், இறங்கிப் போதல் (இழிந்து போதல், இழத்தல்), நொய்ந்து போதல் (L. negare) ” என உருவகப் படுத்தியும், எண்களுக்கு முன் ஆற்றுத் திசையை [direction of an action] இனங்காட்டி எண்களை அடையாளப் படுத்தல் என்பது கணிதத்தில் உண்டு. நொகையெண் (negative number) என்ற கருத்தீடு இப்படியே ஏற்பட்டது. .
மேற்சொன்ன பொதிவெண்கள் (positive numbers) என்பன நம்மிடம் இருக்கும் பொருள்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும். நொகையெண்களோ (negative numbers) நம்மிடமிருந்து வெளிச்சென்ற பொருள்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும். நம்மிடம் வந்த பணத்தைப் பொதிவு எண்களாலும், நாம் கொடுக்க வேண்டிய பணத்தை நொகையெண்களாலும் குறித்து, எல்லாவற்றையும் சேர்த்துக் கூட்டி, நிகரப் பணத்தைக் (net cash) கணக்குப் போட்டு அறியலாம். நிகரப் பணம் பொதிவாகவும் இன்றி, நொகையாகவும் இன்றி, வெறும் அற்றுப் போனதாக, இல்லாததாக, பாழாகக் கூட அமையலாம். இந்நிலையை ஓர் எண்ணாக்கி அதைச் சுழி என்பார்.
{சுழி = zero; வடக்கே போக, வாழைப்பழம் வாயப்பயம் ஆவது போல, ழகரம் யகரமாகும். சுல்> சுள்> சுழு> சுழி> சுழிவு> சுயிவு என்ற திரிவு, தமிழர்க்குக் குதிரை விற்கவந்த அரபிகளின் வழியே சுயிவு> ciypher>zero என்றானது. இந்த அரபிகள் வழியே தான் இந்தியக் கணிதம் இந்தியத் தெற்கிருந்து போயிருக்கலாம். சுழியை வடபுலத்தில் சுல்நம்> சுன்னம்> சுன்யம் என்றார்.
பொதுவாகக் கொத்தினுள் செய்யும் முறையின் விடை அதே கொத்தினுள் இருந்தால், அக்கொத்தை மூடிய கொத்து (closed set) என்றும் இப்படி அமையாததைத் ”திறந்த கொத்து (open set)” என்றும் சொல்வார். இயலெண் கொத்து என்பது மேற்கூறிய 4 செய்முறை அடிப்படையில் திறந்த கொத்தாகும். இயலெண்களின் திறந்த கொத்தில் முன்சொன்ன 4 செய்முறைகளை முழுமையாய்ச் செய்ய முடியாது; கூட்டல், பெருக்கல் மட்டுமே செய்ய முடியும். கழித்தல், வகுத்தல் போன்ற செய்முறைகளை இங்கே செய்யமுடியாது.
இனி, பொருட்களைப் பரிமாறிக் கொள்வதில் கொடுக்கல் வாங்கல் என்ற இரு வேறு செயற்பாடுகள் தென்படுவதால், நம்மிடம் சேருவதைப் பொதிதல் (to posit) என்றும், அதற்கு மாறாய்க் கொடுப்பதை ”நம்மிடம் இருந்து போதல், இல்லாது போதல், இறங்கிப் போதல் (இழிந்து போதல், இழத்தல்), நொய்ந்து போதல் (L. negare) ” என உருவகப் படுத்தியும், எண்களுக்கு முன் ஆற்றுத் திசையை [direction of an action] இனங்காட்டி எண்களை அடையாளப் படுத்தல் என்பது கணிதத்தில் உண்டு. நொகையெண் (negative number) என்ற கருத்தீடு இப்படியே ஏற்பட்டது. .
மேற்சொன்ன பொதிவெண்கள் (positive numbers) என்பன நம்மிடம் இருக்கும் பொருள்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும். நொகையெண்களோ (negative numbers) நம்மிடமிருந்து வெளிச்சென்ற பொருள்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும். நம்மிடம் வந்த பணத்தைப் பொதிவு எண்களாலும், நாம் கொடுக்க வேண்டிய பணத்தை நொகையெண்களாலும் குறித்து, எல்லாவற்றையும் சேர்த்துக் கூட்டி, நிகரப் பணத்தைக் (net cash) கணக்குப் போட்டு அறியலாம். நிகரப் பணம் பொதிவாகவும் இன்றி, நொகையாகவும் இன்றி, வெறும் அற்றுப் போனதாக, இல்லாததாக, பாழாகக் கூட அமையலாம். இந்நிலையை ஓர் எண்ணாக்கி அதைச் சுழி என்பார்.
{சுழி = zero; வடக்கே போக, வாழைப்பழம் வாயப்பயம் ஆவது போல, ழகரம் யகரமாகும். சுல்> சுள்> சுழு> சுழி> சுழிவு> சுயிவு என்ற திரிவு, தமிழர்க்குக் குதிரை விற்கவந்த அரபிகளின் வழியே சுயிவு> ciypher>zero என்றானது. இந்த அரபிகள் வழியே தான் இந்தியக் கணிதம் இந்தியத் தெற்கிருந்து போயிருக்கலாம். சுழியை வடபுலத்தில் சுல்நம்> சுன்னம்> சுன்யம் என்றார்.
சுழி, சுழியம், சுன்னம், பாழ், அற்றம், புழையம் என்பன zero குறிக்கும் தமிழ்ச் சொற்களே. (புழையப் பட்டதை - துளையப் பட்டதை - பூழப் பட்டது எனலாம். இதுவே பூழம்> பூழ்யம்>பூஜ்யம் ஆனது. இன்று மூலத்தைத் தொலைத்துப் பூஜ்யத்தைப் பிடித்துக்கொண்டு நம்மவர் தொங்குகிறார், பூச்சியம் என்றும் ஆக்குகிறார். பூழமும் பாழும் ஒன்றோடொன்று தொடர்புள்ளவை.)
இத்தனை சொற்கள் இங்கிருந்தாலும், 19 ஆம் நூ. வரை சுழிக் கருத்தீட்டைத் தமிழர் அறியார் எனும் தவறான கருத்து எப்படியோ அறிவுலகில் உலவுகிறது. இத்தனைக்கும், சுழிக்கருத்து முதலில் பதிவான ”லோக விபாக” என்ற செயின ஆவணம் நம் நாட்டுக் காஞ்சிபுரத்தில் தான் கி.பி.458 -இல் எழுதப்பட்டது.
இத்தனை சொற்கள் இங்கிருந்தாலும், 19 ஆம் நூ. வரை சுழிக் கருத்தீட்டைத் தமிழர் அறியார் எனும் தவறான கருத்து எப்படியோ அறிவுலகில் உலவுகிறது. இத்தனைக்கும், சுழிக்கருத்து முதலில் பதிவான ”லோக விபாக” என்ற செயின ஆவணம் நம் நாட்டுக் காஞ்சிபுரத்தில் தான் கி.பி.458 -இல் எழுதப்பட்டது.
இருப்பினும் தமிழனுக்குச் சுழி தெரியவே தெரியாதாம் ஏனெனில் இந்நூல் தமிழன்றிப் பாகதத்தில் உள்ளதாம், :-))) என்ன செய்வது ??
முன்கூறிய Georges Ifrah வும், The universal history of numbers I, II, III என்ற தன் நூல்களில் தவறான கருத்தைப் பதிவு செய்திருப்பார். [அவரது இரண்டாம் நூலின் 123 ஆம் பக்கம்]
சுழித் தோற்றத்தில் தமிழரின் பங்கு பற்றித் தனி ஆய்வு ஒன்றை யாராவது ஒரு வரலாற்றாய்வர் செய்தால், நன்றாக இருக்கும். ஆய்வுலகில் தமிழரின் பல செய்திகள் மற்றோருக்கு என்றே மாறி எழுதியதால் இன்று குளறுபடிகள் மிகவுண்டு. தமிழர் என்றிவற்றைக் கண்டுகொள்வார்?}
முந்தைப் பொதிவெண்களுடன், புதிதாய்க் கற்பித்த நொகையெண்கள் (negative numbers), சுழியையும் (zero) சேர்த்து ஒரு பெருங்கொத்தை அமைக்க முடியும். இதைத் தொகுவெண் கொத்து (Set of integers) என்பார். கூட்டல், கழித்தல் இரண்டும் சேர்த்துத் தொகுத்தல் [summation] என்பதால், தொகுவெண் (integer) என்ற பெயர் எழுந்தது. இவற்றை அடையாளப்படுத்த, அவற்றின் செருமானியப் பெயரில் (zahlen) வைத்து Z எனப் பெயரிடுவார். இக் கொத்து [.... -11 ,-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...] என்றமையும். இதனுள் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் ஆகியவற்றைச் செய்து கிட்டும் விடைகள் கொத்தினுக்குள்ளேயே உள்ளதால், அவற்றைப் பொறுத்து இது மூடிய கொத்தாயிற்று. ஆனால், வகுத்தலின் படி, இது இன்னும் திறந்த கொத்தே.
பெருக்கல் கருத்து என்பது நம் மரபில் ”மாறுதல், பழுக்குதல் (பருக்குதலின் பேச்சு வழக்கு)” என்றும் அழைக்கப்பட்டது. [குழித்தல் என்பது விதப்பாக ஓர் எண்ணை அதே எண்ணாற் பெருக்குவதற்கும் பயன்பட்டது. பழஞ் சோழ நாட்டில் ஒரு குழி = 1 தண்டச் சதுரம் = 121 சதுரக் அடியைக் குறிக்கும். ஒரு தண்டம் = 2 கோல் என்பது இக்காலத்தின் 11 அடியைக் குறிக்கும்.]
கடைசியாக இருக்கும் வகுத்தல் முறை ஆழப் புரிந்து கொள்ள வேண்டியது ஆகும். ஓரெண்ணை இன்னொன்றால் வகுக்கையில் வகுபடும் எண் (dividend), வகுக்கும் எண் (divisor), என்போம் அல்லவா? இவற்றோடு, வகுத்துக் கிட்டும் எண்ணை வகுதி, வகிர்தம் (இதுவே திரிந்து விகிதமானது; பலரும் விகிதத்தை வடமொழி எனத் தவறாக எண்ணுகிறார்.) பகுதி, ஈவு, கூறு (quotient) என்று பலவாறாகச் சொல்வார். வகுத்த பின்னால் மீந்ததை மீதி (remainder) என்பார்.
வகுபடும் எண் = வகுக்கும் எண் * வகுதி + மீதி
என்ற இச் சமன்பாடு எல்லோருக்கும் தெரிந்தவொன்றாகும். தமிழில்
வகுத்தலை ”வகிர்தல், பகுத்தல், ஈளுதல்/ ஈழுதல் (=ஈயுதல்), கூறாக்கல், முறித்தல்” என்றும் பலவாறாய்ச் சொல்லலாம். [ஈளும் கருவியான ஈள்+தி = ஈட்டியை இங்கு நினைத்துக் கொள்ளலாம்.] வகுபடும் எண்ணை ”வகிர்/ பகு/ ஈள்/ கூறு/ முறி படும் எண்” எனலாம். வகுக்கும் எண் என்பது ”வகிர்க்கும்/ பகுக்கும்/ ஈளும்/ கூறும்/ முறிக்கும் எண்” எனலாம். “வகுதி, வகிர்தம்> விகிர்தம்> விகிதம்> வீதம்), பகுதி [இது பங்கென்றும் சொல்லப்படும்), ஈள்வு(>ஈவு), மேனி, கூறு, முறிவு” என்பவை ஒருபொருட் சொற்கள்.
இற்றைத் தமிழில் வகுத்தல், பகுத்தல், விகிதம், வீதம், ஈவு, மேனி, கூறு என்ற சொற்களே புழங்குகின்றன. வகுபடும் எண்ணை வகுக்கும் எண்ணால் வகுப்பதைக் காட்டும் வகையில்
a வகுத்தற்குறி b
என்று ஈரெண் சோடியாகவோ, அன்றி வகுபடும் எண்ணை மேலெண்ணாய்க் [numerator] காட்டி, வகுக்கும் எண்ணைக் கீழெண்ணாய்க் [denominator] காட்டி
r = a/b.
என்றோ, எழுதுவதுண்டு. r போன்ற எண்கள் ”அரிதை யெண்கள்” (rational numbers) எனப் பெறும். [அரிதல் = வகுத்தல், பிரித்தல், பிளத்தல், வெட்டுதல்.] ஒன்றின் கீழ் மற்றொன்றாய் எழுதாது, கிடைக்கும் மீதியைப் மேலும் மேலும் வகுத்துப் பதின்மங்களாக [decimals] ஆக மாற்றியும் அரிதை எண்களைக் காட்சிப் படுத்துவர். அக்காட்சியில் வியத்தகு தோற்றம் காணலாம். ஏதோ குறிப்பிட்ட தானம் (place of the digit) வரை பல்வேறு தோயங்கள் (digits) எழுந்து அதற்கு மேல் தோயத் தொகுதிகள் திருப்பி வருவதைக் காணலாம்.
11.1111111....
15.2323232323.....
7.419419419419......
4.625789946257899462578994......
இங்கே, முதலெண்ணில் 1 எனும் தோயம் திருப்பி வருகிறது. இரண்டாவதில் 23 எனும் தோயங்கள் திருப்பி வருகின்றன. மூன்றாவதில் 419 திருப்பி வருகின்றது. ஐந்தாவதில் 62578994 எனும் எட்டுத் தோயங்கள் திருப்பி வருகின்றன. இது போல, எல்லா அரிதை எண்களும் மீள வரும் தோயங்களைத் (repeating digits) தம் பதின்மப் பகுதியிற் (decimal portion) காட்டும். அரிதை யெண்களுக்கான அடிப்படைத் தோற்றம் இதுவாகும்.
இனி அரிதை எண்களின் அடர்த்தியைப் பார்ப்போம். 17/2 என்பதை வகுத்து பதின்மானத்திற் குறித்தால் 8.5 என்றாகும். அடுத்து 17/3 என்றால் 5.66666....... என்றாகும். இப்பொழுது 5.6666......ற்கும், 8.5ற்கும் இடையில் அரிதை எண்கள் உண்டா என்றால் ஏராளமுண்டு எனலாம். இப்படிக் குறிப்பிட்ட 2 எண்களுக்கு நடுவே, அடர்ந்திருப்பதால், அரிதை எண்களை அடர்ந்தவை (rational numbers are dense.) என்போம். அரிதையெண் கொத்து Q (Set of rational numbers Q) எனப்படும்.
அடுத்து, முற்றிலும் திருப்பி வாராத் தோயங்கள் கொண்ட எண்கள் உண்டா எனில் உண்டு. இது போன்ற எண்களை அரியொணா எண்கள் (irrational numbers) என்பார்.
முந்தைப் பொதிவெண்களுடன், புதிதாய்க் கற்பித்த நொகையெண்கள் (negative numbers), சுழியையும் (zero) சேர்த்து ஒரு பெருங்கொத்தை அமைக்க முடியும். இதைத் தொகுவெண் கொத்து (Set of integers) என்பார். கூட்டல், கழித்தல் இரண்டும் சேர்த்துத் தொகுத்தல் [summation] என்பதால், தொகுவெண் (integer) என்ற பெயர் எழுந்தது. இவற்றை அடையாளப்படுத்த, அவற்றின் செருமானியப் பெயரில் (zahlen) வைத்து Z எனப் பெயரிடுவார். இக் கொத்து [.... -11 ,-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...] என்றமையும். இதனுள் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் ஆகியவற்றைச் செய்து கிட்டும் விடைகள் கொத்தினுக்குள்ளேயே உள்ளதால், அவற்றைப் பொறுத்து இது மூடிய கொத்தாயிற்று. ஆனால், வகுத்தலின் படி, இது இன்னும் திறந்த கொத்தே.
பெருக்கல் கருத்து என்பது நம் மரபில் ”மாறுதல், பழுக்குதல் (பருக்குதலின் பேச்சு வழக்கு)” என்றும் அழைக்கப்பட்டது. [குழித்தல் என்பது விதப்பாக ஓர் எண்ணை அதே எண்ணாற் பெருக்குவதற்கும் பயன்பட்டது. பழஞ் சோழ நாட்டில் ஒரு குழி = 1 தண்டச் சதுரம் = 121 சதுரக் அடியைக் குறிக்கும். ஒரு தண்டம் = 2 கோல் என்பது இக்காலத்தின் 11 அடியைக் குறிக்கும்.]
கடைசியாக இருக்கும் வகுத்தல் முறை ஆழப் புரிந்து கொள்ள வேண்டியது ஆகும். ஓரெண்ணை இன்னொன்றால் வகுக்கையில் வகுபடும் எண் (dividend), வகுக்கும் எண் (divisor), என்போம் அல்லவா? இவற்றோடு, வகுத்துக் கிட்டும் எண்ணை வகுதி, வகிர்தம் (இதுவே திரிந்து விகிதமானது; பலரும் விகிதத்தை வடமொழி எனத் தவறாக எண்ணுகிறார்.) பகுதி, ஈவு, கூறு (quotient) என்று பலவாறாகச் சொல்வார். வகுத்த பின்னால் மீந்ததை மீதி (remainder) என்பார்.
வகுபடும் எண் = வகுக்கும் எண் * வகுதி + மீதி
என்ற இச் சமன்பாடு எல்லோருக்கும் தெரிந்தவொன்றாகும். தமிழில்
வகுத்தலை ”வகிர்தல், பகுத்தல், ஈளுதல்/ ஈழுதல் (=ஈயுதல்), கூறாக்கல், முறித்தல்” என்றும் பலவாறாய்ச் சொல்லலாம். [ஈளும் கருவியான ஈள்+தி = ஈட்டியை இங்கு நினைத்துக் கொள்ளலாம்.] வகுபடும் எண்ணை ”வகிர்/ பகு/ ஈள்/ கூறு/ முறி படும் எண்” எனலாம். வகுக்கும் எண் என்பது ”வகிர்க்கும்/ பகுக்கும்/ ஈளும்/ கூறும்/ முறிக்கும் எண்” எனலாம். “வகுதி, வகிர்தம்> விகிர்தம்> விகிதம்> வீதம்), பகுதி [இது பங்கென்றும் சொல்லப்படும்), ஈள்வு(>ஈவு), மேனி, கூறு, முறிவு” என்பவை ஒருபொருட் சொற்கள்.
இற்றைத் தமிழில் வகுத்தல், பகுத்தல், விகிதம், வீதம், ஈவு, மேனி, கூறு என்ற சொற்களே புழங்குகின்றன. வகுபடும் எண்ணை வகுக்கும் எண்ணால் வகுப்பதைக் காட்டும் வகையில்
a வகுத்தற்குறி b
என்று ஈரெண் சோடியாகவோ, அன்றி வகுபடும் எண்ணை மேலெண்ணாய்க் [numerator] காட்டி, வகுக்கும் எண்ணைக் கீழெண்ணாய்க் [denominator] காட்டி
r = a/b.
என்றோ, எழுதுவதுண்டு. r போன்ற எண்கள் ”அரிதை யெண்கள்” (rational numbers) எனப் பெறும். [அரிதல் = வகுத்தல், பிரித்தல், பிளத்தல், வெட்டுதல்.] ஒன்றின் கீழ் மற்றொன்றாய் எழுதாது, கிடைக்கும் மீதியைப் மேலும் மேலும் வகுத்துப் பதின்மங்களாக [decimals] ஆக மாற்றியும் அரிதை எண்களைக் காட்சிப் படுத்துவர். அக்காட்சியில் வியத்தகு தோற்றம் காணலாம். ஏதோ குறிப்பிட்ட தானம் (place of the digit) வரை பல்வேறு தோயங்கள் (digits) எழுந்து அதற்கு மேல் தோயத் தொகுதிகள் திருப்பி வருவதைக் காணலாம்.
11.1111111....
15.2323232323.....
7.419419419419......
4.625789946257899462578994......
இங்கே, முதலெண்ணில் 1 எனும் தோயம் திருப்பி வருகிறது. இரண்டாவதில் 23 எனும் தோயங்கள் திருப்பி வருகின்றன. மூன்றாவதில் 419 திருப்பி வருகின்றது. ஐந்தாவதில் 62578994 எனும் எட்டுத் தோயங்கள் திருப்பி வருகின்றன. இது போல, எல்லா அரிதை எண்களும் மீள வரும் தோயங்களைத் (repeating digits) தம் பதின்மப் பகுதியிற் (decimal portion) காட்டும். அரிதை யெண்களுக்கான அடிப்படைத் தோற்றம் இதுவாகும்.
இனி அரிதை எண்களின் அடர்த்தியைப் பார்ப்போம். 17/2 என்பதை வகுத்து பதின்மானத்திற் குறித்தால் 8.5 என்றாகும். அடுத்து 17/3 என்றால் 5.66666....... என்றாகும். இப்பொழுது 5.6666......ற்கும், 8.5ற்கும் இடையில் அரிதை எண்கள் உண்டா என்றால் ஏராளமுண்டு எனலாம். இப்படிக் குறிப்பிட்ட 2 எண்களுக்கு நடுவே, அடர்ந்திருப்பதால், அரிதை எண்களை அடர்ந்தவை (rational numbers are dense.) என்போம். அரிதையெண் கொத்து Q (Set of rational numbers Q) எனப்படும்.
அடுத்து, முற்றிலும் திருப்பி வாராத் தோயங்கள் கொண்ட எண்கள் உண்டா எனில் உண்டு. இது போன்ற எண்களை அரியொணா எண்கள் (irrational numbers) என்பார்.
அரிதை எண்களும், அரியொணா எண்களும் சேர்ந்தமையும் எண்களை உள்ளமை எண்கள் (real numbers) என்பார். உள்ளமை எண் கொத்து (Set of real numbers R) என்று அது அழைக்கப் படும்.
ஒரு கோடிழுத்து அதன் முழுப் புள்ளிகளை 1, 2, 3 என்பவற்றோடு பொருத்தினால், இவற்றின் இடையே அரிதை எண்களும் அரியொணா எண்களுமாய் கணக்கற்ற, வரம்பிலா எண்கள் இடம் பெற முடியும். இப்படி வரையப்பட்ட கோட்டை உள்ளமைக் கோடு (real line) என்பார்.
உள்ளமைக் கொத்தும் உள்ளமைக் கோடும் ஒன்றிற்கொன்று பொருந்துபவை. உள்ளக எண்கொத்தை வகுத்தற் செய்முறை கொண்டு பார்த்தாலும் அது மூடிய கொத்தே என்று புலப்படும்.
அன்புடன்,
இராம.கி.
அன்புடன்,
இராம.கி.
Sunday, April 18, 2010
எண்ணியல் - 1
Lowest Common Denominator (LCD) - யைத் தமிழில் எப்படிச் சொல்வது என்று மின்தமிழ் மடற்குழுவில் பேரா.ரெ.கார்த்திகேசு ஒருமுறை 2010 இல் கேட்டார். [lowest என்பதைக் காட்டிலும் அதற்கிணையான least என்ற புழக்கத்தையே இளமையிற் கேட்டிருக்கிறேன்.] LCD யை ஒட்டி, Highest Common factor (HCF) / Greatest Common Divisor (GCD), Least Common Multiple (LCM) என்ற இரு சொற்களும் உண்டு. 52 ஆண்டுகளுக்கு முன், உயர்நிலைப் பள்ளிப் படிப்பில் இவற்றை ”உத்தமப் பொதுக் காரணி (HCF) / உத்தமப் பொது அலகு (GCD)” என்றும், “அதமப் பொது மடங்கு (LCM)” என்றும் கூட்டுச் சொற்களால் அறிந்துள்ளேன். இவையிரண்டும் தொகுவெண்களை (integers) ஒட்டிவரும் சொற்களாகும். LCD என்பது பின்னங்களைக் கூட்டும் போது தேவைப்படும்.
அக்காலத்தில், அறிவியற் புரிதற் கூடுவதற்கு, துல்லியச் சொற்களைக் கையாளும் தேவை பற்றி யாரும் சொல்லவில்லை. அதோடு, தமிழில் ஆழ்ந்த நெருக்கமும், சிந்தனையும் இளமையில் எனக்கு இருந்ததில்லை. ”உத்தமம்” எப்படி highest/greatest-யைக் குறித்தது? அதமம் எப்படி least -யைக் குறித்தது? என்றும் எனக்குத் தெரியாது; என் ஆசிரியர் அச்சொற்களை வேதம்போற் சொல்லிக் கொடுத்தார்; நாங்களும் பொருளறியாது பயின்றோம்; [இக் காலத்தில் தமிழிற் கலைச்சொற்கள் வந்தால் ஆ, ஊ என்று கொக்கி போடுவோர் அக்கால மணிப்பவளச் சொற்களைக் கேள்வி கேட்டதில்லை. ஆசிரியர் சொல்லிக் கொடுத்தது வேதம் அல்லவா?] தேர்ச்சி பெற்றோம். நாளாக, நாளாகத் தமிழிற் சிந்தனை கூடியபோது தான், பள்ளிப்பாடக் கலைச்சொற்கள் துல்லியம் இல்லாதிருப்பது எம் மனத்தை உறுத்தியது. இப்படி முட்டாள்தனமாகச் சொற்களைக் கையாள்வது பழக்கமானால், அப்புறம் தமிழில் அறிவியல்நடை என்பதே கேள்விக்குறியாகிப் போகும் என்றும் எங்களுக்குத் தோன்றியது.
”உத்தமப் பொதுக் காரணி/அலகு”, ”அதமப் பொது மடங்கு” என்பவற்றையும், அதன்பின் நற்றமிழில் வந்த, [ஆனால் உத்தமம், அதமம் போல் தெளிவிலாத] ”மீப்பெரு பொதுச் சினை”, ”மீக்குறை பொது மடங்கு” போன்றவற்றை ஒரு தொடக்கம் அல்லது வளர்ச்சி எனக் கொண்டு, அடுத்த வேலைகளில் எம் போன்றோர் ஆழ்ந்தோம்; கல்லூரிக்குப் படிக்கவந்த பின்னரே கலைச்சொற் படைப்பில் ஈடுபடத் தொடங்கினேன். அன்றிருந்த சூழ்நிலையும் எம் போன்றோரைத் தூண்டியது.
ஆனால், அக்காலத்திற்கும் இக்காலத்திற்கும் வேறுபாடுள்ளது. அக்காலத்தில் ”தமிழில் அறிவியலைச் சரியாகச் சொல்லும் திறன் வளரவேண்டும்” என்ற விழைவு பலருக்கும் இருந்தது. தமிழுக்குப் புதிதாகச் செய்யப் போகிறோம் என்ற ஆர்வமும், போட்டியும், தமிழ்நாடெங்கும் கல்லூரி மாணவர், மற்றும் இளையோரிடம் இருந்தது. ”தமிழ் வென்றுவிடும், ஆட்சிக் கட்டிலிற் சிறப்பாக அமர்ந்துவிடும்” என எண்ணியவர் அன்று மிகுதி. [கூடவந்த அரசியல்வாதியர் தம் கொள்கையில் நீர்த்து, பணம் பண்ணுவதில் ஆழ்ந்து, ஆங்கிலத்தைக் கொணர்ந்து அரசுகட்டிலில் குடிவைப்பரென அப்போது எம்போன்றோருக்கு ஏற்பட வில்லை. மீண்டும் துபாசி வேலைக்கு ஆளாகி வெள்ளைக்காரனின் பொருளாதாரத்தை நாம் வளர்க்கப் போகிறோமென அப்போது தெரியாது. சூதானம் தெரியாது ஏமாந்துபோன கொடிவழி எம்முடையது.]
இன்றோ, தமிழ்விழைவு பரவலாய்க் குறைந்து விட்டது. [அரசியலார் நீர்த்து, பணமே கதியென்று ஆனதால், இந்நிலைக்கு வந்து சேர்ந்தோம். எங்கும் ஊழல். அதோடு, உலகமயமாக்கலெனும் 800 பவுண்டு கொரில்லாவிற்கு அடிமையாகி இருப்பதையெலாம் முற்றுமுழுதாக விற்றுக் கொண்டுள்ளார்.] ஒரு சிலரே ”தமிழில் அறிவியல் பழகவேண்டும், அதைச் சொல்லும் திறன் தமிழில் வேண்டும்” என எண்ணுகிறார். அறிவியற் செய்தி தெரிவிக்கத் தமிழிற் புதுச் சொல்லைப் பரிந்துரைத்தால் அதை நக்கலடித்து ”ஆங்கிலச் சொல்லே இருக்கட்டும், இல்லாவிடில் வடமொழி புழங்கட்டும்” என்று சொல்லும் தமிங்கிலர் நம்மிடை பெருத்துவிட்டார். [எங்கு பார்க்கினும் மடிக்குழைப் பள்ளிகள் (matriculation schools) புற்றீசலெனப் பெருகியிருந்தால் தமிங்கிலர் சேர்வது இயற்கை தானே?] நல்ல தமிழில் எதைச் சொன்னாலும் அதில் குற்றங்காண முன்வந்து நிற்கிறார்.
ஒருவேளை ”தமிழ் முடங்கிய மொழி, ஆங்கிலமோ, வடமொழியோ இன்றி அது இயங்கமுடியாது” என்று சொல்லி, மிஞ்சிக் கிடப்பவரை மேலெழுந்து அடிப்பது அவரின் விழைவு போலும். அதன்வழி ”கதைக்கும், கவிதைக்கும், துணுக்கிற்கும், களியாட்டத்திற்கும் மட்டுமே பாழாய்ப்போன தமிழ் பயன் படட்டும்” என எண்ணுகிறார் போலும். மொத்தத்தில் ”ஆங்கில பெயர்ச் சொற்களுக்கும் வினைச்சொற்களுக்கும் இடையே துணைவினை, இடைச் சொற்கள் போடவும், வேற்றுமையுருபு சேர்க்கவும், மட்டுமே தமிழ்ச்சொற்கள் வந்துபோகும் நிலையில் பிட்ச்சின் (pidgin) தமிழ்நடை இன்று வளர்வது பெருஞ் சோகம், இதற்கிடையில் செம்மொழி எனும் கூப்பாடு வேறு!.
ஆனாலும் ஆர்வலர் பலர் பெரும்பாடுபட்டு தமிழில் அறிவியல்நடை வளர்க்க முயல்கிறார்கள். அவர் முயற்சி வெல்லட்டும்.
-----------------------------------
இக்கட்டுரையில் பல்வேறு எண்கள், பின்னங்கள், .எண்ணியல் (arithmetics) ஆகியவை பற்றிப் பேச விழைகிறேன். கூடவே HCF/GCD, LCM, LCD பற்றியும் பேசுவேன்.
முகன மாந்தன் (modern man) கடந்த 70000 ஆண்டுகளில் எப்பொழுது எண்ணத் தொடங்கினான் என்பது அறியொணாததாகவே உள்ளது. ”2 விரல்கள், 2 பூனைகள், 2 பழங்கள்” என்ற அறிவை அப்பூதியாக்கி (to abstract) இரட்டுமைக் (two-ness) கருத்து எப்பொழுது அவனுக்குப் புரிந்ததோ அப்பொழுதே எண் சிந்தனை எழுந்திருக்கலாம். ஒருவேளை இற்றைக்கு 50000 / 60000 ஆண்டுகள் முன் முதல்மொழி தோன்றியபோது, மாந்தன் எண்ணினானோ என்னவோ? ”ஒன்று, இரண்டு, பல” எனப் பொருத்தும் போக்கு, சேர்க்கும் போக்கு, இள்ளும் போக்கு, இணர்க்கும் போக்கு, இணைக்கும் போக்கு, கொஞ்சங் கொஞ்சமாய் ஏற்பட்டது கூட இள்>*இண்>எண் எனுஞ் சிந்தனை வளர்ச்சிக்குக் காரணமாய் இருக்கலாம். இப்பொழுது பேசத் தொடங்கும் பிள்ளை கூட, “ஒன்று, இரண்டு, பல” என்றே முதலிற் புரிந்து கொள்வதாகவும், பின் சிறிது சிறிதாக அப்பூதி எண் (abstract number) எனும் கருத்தைப் புரிந்து கொள்வதாகக் குழவிவளர்ப்பு வல்லுநர் சொல்வர்.
பல்வேறு தொல்முது குடியினரும், பெரும்பாலும் ஒன்று, இரண்டு, இரண்டொன்று, இரண்டிரண்டு, பல என எண்ணுவதையும், இரண்டொன்றை மூன்றாகவும், இரண்டிரண்டை நாலாகவும் சொல்வது பழங்குடியினருக்குச் சரவலாய் இருப்பதையும், Georges Ifrah தனது நூலில் எடுத்துக் காட்டியிருப்பார். [The universal history of numbers I, II, III என்ற மூன்று பொத்தகங்கள், Penguin Books India, 2005, கட்டாயம் படிக்கவேண்டிய நூல்.] இதேபோல, பல்வேறு பொருட் தொகுதிகளை நம்முன் காட்டி அவற்றை எண்ணாமற் பார்த்த அளவிலேயே “எத்தனை பொருட்கள் தோற்றத்திற் தெரிகின்றன?” என்று வினவினால், நம்மில் பலரும் நாலுக்கு மேல் இனங் காட்டுவதிற் தடுமாறுவதையும் நாலுக்கு மேற்பட்டுப் பல என்பதையும் அவர் சான்று காட்டுவார்.
கைமானத்தில் (quinary) இருந்து நகர்ந்து, அடுத்த வளர்ச்சியில் இருகைமானம் (biquinary) - பதின் மானம் (decimal), இருபான் மானம் (vigesimal) அறுபான் மானம் (sexgesimal) என்று பல்வேறு மானங்களில் உலக நாகரிகங்கள் எண்ணத் தொடங்கின. முடிவில் பதின்ம எண்களுக்கே (decimal numbers) இவ்வுலகம் வந்து சேர்ந்தது. கணிதம் மேலும் வளர்ந்து, இரும (binary), எண்ம (octal), பதினறும (hexadecimal) எண்களும் படைக்கப் பட்டுள்ளன.
இப்போதைக்குப் பதின்ம எண்களை மட்டுமே வைத்து நம் செய்திகளைச் சொல்ல முற்படுவோம். [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, என்னும் பத்து அடியெண்களோடு (base numbers) இடமதிப்பு (place value) என்ற கொள்கையை உடன் சேர்த்துக் கொண்டு, கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் என்ற 4 செய்முறைகளைச் செய்தால் உருவாகும் கணித மரபை, எண்ணியல் (arithmetics) என்று சொல்கிறார். கணிதத்தில் எண்ணியல் என்பது ஒரு பகுதி.]
அன்புடன்,
இராம.கி.
அக்காலத்தில், அறிவியற் புரிதற் கூடுவதற்கு, துல்லியச் சொற்களைக் கையாளும் தேவை பற்றி யாரும் சொல்லவில்லை. அதோடு, தமிழில் ஆழ்ந்த நெருக்கமும், சிந்தனையும் இளமையில் எனக்கு இருந்ததில்லை. ”உத்தமம்” எப்படி highest/greatest-யைக் குறித்தது? அதமம் எப்படி least -யைக் குறித்தது? என்றும் எனக்குத் தெரியாது; என் ஆசிரியர் அச்சொற்களை வேதம்போற் சொல்லிக் கொடுத்தார்; நாங்களும் பொருளறியாது பயின்றோம்; [இக் காலத்தில் தமிழிற் கலைச்சொற்கள் வந்தால் ஆ, ஊ என்று கொக்கி போடுவோர் அக்கால மணிப்பவளச் சொற்களைக் கேள்வி கேட்டதில்லை. ஆசிரியர் சொல்லிக் கொடுத்தது வேதம் அல்லவா?] தேர்ச்சி பெற்றோம். நாளாக, நாளாகத் தமிழிற் சிந்தனை கூடியபோது தான், பள்ளிப்பாடக் கலைச்சொற்கள் துல்லியம் இல்லாதிருப்பது எம் மனத்தை உறுத்தியது. இப்படி முட்டாள்தனமாகச் சொற்களைக் கையாள்வது பழக்கமானால், அப்புறம் தமிழில் அறிவியல்நடை என்பதே கேள்விக்குறியாகிப் போகும் என்றும் எங்களுக்குத் தோன்றியது.
”உத்தமப் பொதுக் காரணி/அலகு”, ”அதமப் பொது மடங்கு” என்பவற்றையும், அதன்பின் நற்றமிழில் வந்த, [ஆனால் உத்தமம், அதமம் போல் தெளிவிலாத] ”மீப்பெரு பொதுச் சினை”, ”மீக்குறை பொது மடங்கு” போன்றவற்றை ஒரு தொடக்கம் அல்லது வளர்ச்சி எனக் கொண்டு, அடுத்த வேலைகளில் எம் போன்றோர் ஆழ்ந்தோம்; கல்லூரிக்குப் படிக்கவந்த பின்னரே கலைச்சொற் படைப்பில் ஈடுபடத் தொடங்கினேன். அன்றிருந்த சூழ்நிலையும் எம் போன்றோரைத் தூண்டியது.
ஆனால், அக்காலத்திற்கும் இக்காலத்திற்கும் வேறுபாடுள்ளது. அக்காலத்தில் ”தமிழில் அறிவியலைச் சரியாகச் சொல்லும் திறன் வளரவேண்டும்” என்ற விழைவு பலருக்கும் இருந்தது. தமிழுக்குப் புதிதாகச் செய்யப் போகிறோம் என்ற ஆர்வமும், போட்டியும், தமிழ்நாடெங்கும் கல்லூரி மாணவர், மற்றும் இளையோரிடம் இருந்தது. ”தமிழ் வென்றுவிடும், ஆட்சிக் கட்டிலிற் சிறப்பாக அமர்ந்துவிடும்” என எண்ணியவர் அன்று மிகுதி. [கூடவந்த அரசியல்வாதியர் தம் கொள்கையில் நீர்த்து, பணம் பண்ணுவதில் ஆழ்ந்து, ஆங்கிலத்தைக் கொணர்ந்து அரசுகட்டிலில் குடிவைப்பரென அப்போது எம்போன்றோருக்கு ஏற்பட வில்லை. மீண்டும் துபாசி வேலைக்கு ஆளாகி வெள்ளைக்காரனின் பொருளாதாரத்தை நாம் வளர்க்கப் போகிறோமென அப்போது தெரியாது. சூதானம் தெரியாது ஏமாந்துபோன கொடிவழி எம்முடையது.]
இன்றோ, தமிழ்விழைவு பரவலாய்க் குறைந்து விட்டது. [அரசியலார் நீர்த்து, பணமே கதியென்று ஆனதால், இந்நிலைக்கு வந்து சேர்ந்தோம். எங்கும் ஊழல். அதோடு, உலகமயமாக்கலெனும் 800 பவுண்டு கொரில்லாவிற்கு அடிமையாகி இருப்பதையெலாம் முற்றுமுழுதாக விற்றுக் கொண்டுள்ளார்.] ஒரு சிலரே ”தமிழில் அறிவியல் பழகவேண்டும், அதைச் சொல்லும் திறன் தமிழில் வேண்டும்” என எண்ணுகிறார். அறிவியற் செய்தி தெரிவிக்கத் தமிழிற் புதுச் சொல்லைப் பரிந்துரைத்தால் அதை நக்கலடித்து ”ஆங்கிலச் சொல்லே இருக்கட்டும், இல்லாவிடில் வடமொழி புழங்கட்டும்” என்று சொல்லும் தமிங்கிலர் நம்மிடை பெருத்துவிட்டார். [எங்கு பார்க்கினும் மடிக்குழைப் பள்ளிகள் (matriculation schools) புற்றீசலெனப் பெருகியிருந்தால் தமிங்கிலர் சேர்வது இயற்கை தானே?] நல்ல தமிழில் எதைச் சொன்னாலும் அதில் குற்றங்காண முன்வந்து நிற்கிறார்.
ஒருவேளை ”தமிழ் முடங்கிய மொழி, ஆங்கிலமோ, வடமொழியோ இன்றி அது இயங்கமுடியாது” என்று சொல்லி, மிஞ்சிக் கிடப்பவரை மேலெழுந்து அடிப்பது அவரின் விழைவு போலும். அதன்வழி ”கதைக்கும், கவிதைக்கும், துணுக்கிற்கும், களியாட்டத்திற்கும் மட்டுமே பாழாய்ப்போன தமிழ் பயன் படட்டும்” என எண்ணுகிறார் போலும். மொத்தத்தில் ”ஆங்கில பெயர்ச் சொற்களுக்கும் வினைச்சொற்களுக்கும் இடையே துணைவினை, இடைச் சொற்கள் போடவும், வேற்றுமையுருபு சேர்க்கவும், மட்டுமே தமிழ்ச்சொற்கள் வந்துபோகும் நிலையில் பிட்ச்சின் (pidgin) தமிழ்நடை இன்று வளர்வது பெருஞ் சோகம், இதற்கிடையில் செம்மொழி எனும் கூப்பாடு வேறு!.
ஆனாலும் ஆர்வலர் பலர் பெரும்பாடுபட்டு தமிழில் அறிவியல்நடை வளர்க்க முயல்கிறார்கள். அவர் முயற்சி வெல்லட்டும்.
-----------------------------------
இக்கட்டுரையில் பல்வேறு எண்கள், பின்னங்கள், .எண்ணியல் (arithmetics) ஆகியவை பற்றிப் பேச விழைகிறேன். கூடவே HCF/GCD, LCM, LCD பற்றியும் பேசுவேன்.
முகன மாந்தன் (modern man) கடந்த 70000 ஆண்டுகளில் எப்பொழுது எண்ணத் தொடங்கினான் என்பது அறியொணாததாகவே உள்ளது. ”2 விரல்கள், 2 பூனைகள், 2 பழங்கள்” என்ற அறிவை அப்பூதியாக்கி (to abstract) இரட்டுமைக் (two-ness) கருத்து எப்பொழுது அவனுக்குப் புரிந்ததோ அப்பொழுதே எண் சிந்தனை எழுந்திருக்கலாம். ஒருவேளை இற்றைக்கு 50000 / 60000 ஆண்டுகள் முன் முதல்மொழி தோன்றியபோது, மாந்தன் எண்ணினானோ என்னவோ? ”ஒன்று, இரண்டு, பல” எனப் பொருத்தும் போக்கு, சேர்க்கும் போக்கு, இள்ளும் போக்கு, இணர்க்கும் போக்கு, இணைக்கும் போக்கு, கொஞ்சங் கொஞ்சமாய் ஏற்பட்டது கூட இள்>*இண்>எண் எனுஞ் சிந்தனை வளர்ச்சிக்குக் காரணமாய் இருக்கலாம். இப்பொழுது பேசத் தொடங்கும் பிள்ளை கூட, “ஒன்று, இரண்டு, பல” என்றே முதலிற் புரிந்து கொள்வதாகவும், பின் சிறிது சிறிதாக அப்பூதி எண் (abstract number) எனும் கருத்தைப் புரிந்து கொள்வதாகக் குழவிவளர்ப்பு வல்லுநர் சொல்வர்.
பல்வேறு தொல்முது குடியினரும், பெரும்பாலும் ஒன்று, இரண்டு, இரண்டொன்று, இரண்டிரண்டு, பல என எண்ணுவதையும், இரண்டொன்றை மூன்றாகவும், இரண்டிரண்டை நாலாகவும் சொல்வது பழங்குடியினருக்குச் சரவலாய் இருப்பதையும், Georges Ifrah தனது நூலில் எடுத்துக் காட்டியிருப்பார். [The universal history of numbers I, II, III என்ற மூன்று பொத்தகங்கள், Penguin Books India, 2005, கட்டாயம் படிக்கவேண்டிய நூல்.] இதேபோல, பல்வேறு பொருட் தொகுதிகளை நம்முன் காட்டி அவற்றை எண்ணாமற் பார்த்த அளவிலேயே “எத்தனை பொருட்கள் தோற்றத்திற் தெரிகின்றன?” என்று வினவினால், நம்மில் பலரும் நாலுக்கு மேல் இனங் காட்டுவதிற் தடுமாறுவதையும் நாலுக்கு மேற்பட்டுப் பல என்பதையும் அவர் சான்று காட்டுவார்.
கைமானத்தில் (quinary) இருந்து நகர்ந்து, அடுத்த வளர்ச்சியில் இருகைமானம் (biquinary) - பதின் மானம் (decimal), இருபான் மானம் (vigesimal) அறுபான் மானம் (sexgesimal) என்று பல்வேறு மானங்களில் உலக நாகரிகங்கள் எண்ணத் தொடங்கின. முடிவில் பதின்ம எண்களுக்கே (decimal numbers) இவ்வுலகம் வந்து சேர்ந்தது. கணிதம் மேலும் வளர்ந்து, இரும (binary), எண்ம (octal), பதினறும (hexadecimal) எண்களும் படைக்கப் பட்டுள்ளன.
இப்போதைக்குப் பதின்ம எண்களை மட்டுமே வைத்து நம் செய்திகளைச் சொல்ல முற்படுவோம். [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, என்னும் பத்து அடியெண்களோடு (base numbers) இடமதிப்பு (place value) என்ற கொள்கையை உடன் சேர்த்துக் கொண்டு, கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் என்ற 4 செய்முறைகளைச் செய்தால் உருவாகும் கணித மரபை, எண்ணியல் (arithmetics) என்று சொல்கிறார். கணிதத்தில் எண்ணியல் என்பது ஒரு பகுதி.]
அன்புடன்,
இராம.கி.
Saturday, April 10, 2010
தமிழக மாணவர்களுக்கான விக்கிப்பீடியா கட்டுரைப் போட்டி
தமிழ்நாடு அரசு, 2010 சூன் 23 முதல் சூன் 27 வரை கோயம்புத்தூர் நகரில் உலகத் தமிழ்ச் செம்மொழி மாநாட்டையும் ஒன்பதாவது இணையத் தமிழ் இணைய மாநாட்டையும் நடத்துகிறது. இதனை ஒட்டித் தமிழ்நாட்டிலுள்ள பல்கலைக்கழகங்கள், அவற்றுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ள கல்லூரிகள், நிகர்நிலைப் பல்கலைக்கழகங்கள், பல்தொழில்நுட்பப் பயிலகங்கள் ஆகியவற்றில் பயிலும் மாணவர்கள் பங்கேற்பில் தமிழ் விக்கிப்பீடியாவுக்குத் தகுந்த தகவல் பக்கங்களை (கட்டுரைகள்) எழுதும் போட்டியை நடத்துகிறது.
தமிழ்நாடு அரசும் தமிழ் விக்கிப்பீடியாவும் இணைந்து நடத்தும் இப்போட்டியில் கலை, அறிவியல், பொறியியல், மருத்துவம், விளையாட்டு, வேளாண்மை, சட்டம், கல்வியியல், இயங்குனர் மருத்துவம் (பிசியோ தெரப்பி), சித்த மருத்துவம், பல் மருத்துவம், செவிலியர், கால்நடை மருத்துவம், பலதொழில்நுட்பப் பயிலகம் முதலிய துறைகளைச் சேர்ந்த மாணவர்கள் பங்கு கொள்ளலாம். ஒவ்வொரு துறையிலும் சிறந்த தகவல் பக்கங்களை எழுதுவோருக்குப் மதிப்பு மிகுந்த பரிசுகள் வழங்கப்பட உள்ளன.
இது பற்றிய மேல்விவரம்
http://ta.wikipedia.org/wiki/Wp:contest
என்ற வலைத்தளத்தில் இருக்கிறது. எல்லா வலைப்பதிவர்களும் தங்களுக்குத் தெரிந்த மாணவர்களை இந்தப் போட்டியிற் கலந்து கொள்ளுமாறு தூண்ட வேண்டுகிறேன். உங்களுடைய வலைப்பதிவிலும் இது பற்றி எழுதுங்கள். தமிழக மாணவரிடையே பங்களிப்பு விரிவாக அமைய இந்தப் பரப்புரை பயன்படும். ஆக்க வேலைகளில் சேர்ந்திருப்போம்.
தமிழுக்குப் பயனுள்ளதொரு பங்களிப்பு.
அன்புடன்,
இராம.கி.
Wednesday, March 17, 2010
கொளுவுக் கணிமை - Cloud Computing
இன்று சிங்கை நண்பர் கலைமணி cloud computing, On line [learning, resources] என்பவற்றிற்கு இணையான தமிழ்ச்சொற்களைக் கேட்டிருந்தார். அவருக்குச் சற்றுமுன்னால் மறுமொழிந்தேன். பின்னால், இந்த விதயம் பொதுவில் இருந்தாலும் பலருக்கும் பயன்படுமே என்று கருதி இங்கு தருகிறேன்.
முதலில் வருவது cloud computing. சட்டென்று இதற்கான கலைச்சொல்லைச் சொல்லாமல் விளக்கம் தந்தே சொல்கிறேன். முதன்முதலில் இது போன்ற கலைச்சொற்களைத் தரும்போது விளக்கமும் கொடுத்துச் சொற்களைத் தந்தால் நன்றாக இருக்கும். ஏதொன்றையும் தமிழில் முதலில் எழுதும் போது, புதுச் சொற்கள் பயிலவேண்டிய கட்டாயத்தில் இதுபோன்ற விளக்கமும் கொடுத்து ஆக்கத்தை எழுதினால் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
-------------------
ஒவ்வொரு கணிப்புதிரியின் (computing problem) சிக்கலான தன்மையைப் பொறுத்து அதைத் தீர்ப்பதற்கு கணித்திறன் (computing capacity) தேவைப்படும். கணித்திறன் கூடக் கூடக் கணியின் விலையும் கூடும். ஒவ்வொரு கணிப்புதிரிக்காகப் கணித்திறன் கூடிய புதுப்புதுக் கணிகளை உருவாக்கிக் கொண்டிருக்க முடியாது.
பத்து ஆண்டுகளுக்கு முன்னால் அதிகப்பட்ட கணித்திறன் தேவைப்படும், கணிப்புதிரிகளைச் சுளுவ (to solve) வேண்டும் போது, கணியாளர்கள் தங்களிடம் இருக்கும் ஒருசில குறைதிறன் கணிகளைச் சரஞ்சரமாகவோ (series), இணையாகவோ (parallel) கம்பிகளாலும் (wires), வடங்களாலும் (cables) பிணைத்து புதிரிகளின் தீர்வுகளைக் காண முயலுவார்கள்.
சரி, இது போன்ற பிணைப்புக்களால் ஓரளவுக்குப் பெரும்புதிரிகளைச் சுளுவியெடுக்க (to solve) முடியும் என்றாலும், அதிலும் சிக்கல் ஏற்படுகிறது. பலநேரங்களில் இந்தக் கணிகளை ஒரேயிடத்தில் ஒன்றுசேர்க்க முடிவதில்லை. அவை பல்வேறு இடங்களில், ஏன் பல்வேறு நாடுகளில், கூட இருக்கக் கூடும். அவற்றை ஒன்று சேர்த்து ஓரிடத்திற்குக் கொண்டுவந்து பிணைத்துக் கணிப்பது என்பது மிகப் பெருமாண்டமான செலவைக் கொண்டுவருகிறது. மாறாக இந்தக் காலத்தில் உலகெங்கும் இருக்கும் பல்வேறு கணிகளை (அவை 100, 1000, 100000 என்று எத்தனை வேண்டுமானாலும் இருக்கலாம். அவை எல்லாவற்றையும்) “இணையம்” என்ற வலையால் ஒன்றிணைக்க முடியும். பூதியல் (physical) முறையில், கம்பி, வடங்கள் வழி கணிகளை இணைப்பதற்குப் பகரி(substitute)யாக, ஒரு கணியை இணைய வலையில் (internet web) பிணைத்து எங்கெங்கோ இருக்கும் கணிகளையும், நம் கணியையும் ஒரு கூட்டுப் பொதியாக்கி, கூட்டுறவு முறையில், ஒரு கணிப் புதிரியைச் சுளுவுவதையே cloud computing என்று சொல்கிறோம்.
சரியான கணிக் கட்டுப்பாட்டு விதிமுறைகள் (computer control protocols) இருந்தால் ஒரு கணியின் இயக்கக் கட்டகம் (operating system) இந்த வலையின் மூலம் எண்ணற்ற கணிகளை இயக்க முடியும். அதே போல 4, 10 கணிகள் ஒன்று சேர்ந்து தங்களுடைய இயக்கக் கட்டகங்களை ஒருங்குறச் செயற்பட வைத்து 10000 கணிகளைக் கூடச் செயற்பட வைக்கமுடியும். பலநேரம் எந்தக் கணி கட்டுறுத்துகிறது (which is controlling), எந்தக் கணி கட்டுப்படுகிறது (which is getting controlled) என்று சொல்ல முடியாதபடி அவை மாறி, மாறிச் செயற்படலாம்.
இந்தக் கணிகளின் இணைப்பு இந்த முறையில் தான் ஏற்பட்டது என்று கணுவலை அடவுகளைக் (network design) காட்ட முடியாதபடி கணிகள் முனைகளாக (nodes) ஒருங்கிணைந்து செயற்படும். எப்படி ஒரு மேகத்தினுள் மழைக்கருக்கள் (condensation droplets) சேர்ந்து பஞ்சுபோல் உருக்கொண்டு புதுப்புது உருவம் எடுத்துச் சூழ்நிலைக்கு ஏற்ப பெருகிச் சுருங்கி விரிகின்றனவோ, அது போல இந்த கணி முனைகளும் (கணிக் கருக்களும்) தமக்குள் ஒன்றிணைந்து இயங்கி, கொடுத்திருக்கும் கணிச்சிக்கலைச் சுளுவித் தருகின்றன என்பதால் கணித் திரளைச் சுட்டுவதற்கு மேகத்தை உருவகமாக்கிக் காட்டுவார்கள்.
தமிழில் கொண்டல் என்ற சொல் மேகத்தைக் குறிக்கும் சொல். மழைக்கருக்கள் திரண்டு இருப்பதைக் கொள்ளுதல் என்று சொல்லுவார்கள். குள்>கொள்>கொண்டு>கொண்டல் என்று அந்தச் சொல் உருவாகி, மழைக்கருக்கள் பொருந்திய மேகத்தைக் குறிக்கும். கொண்டல் குளிரும் போது மழை பொழியும். குள்ளுதல் என்பது திரளுதல். குள் என்னும் வேரில் இருந்து பிறந்த கூட்டச்சொற்கள் தமிழில் ஏராளம். இங்கே கொண்டல் என்பது இயற்கையில் வலையும் இல்லை, இணைப்புமில்லை, பிணைப்புமில்லை. அது ஒரு திரள். தாமாகவே திரளும் கூட்டம்.
இப்படித் திரள்வதை agglutination என்றும் ஆங்கிலத்தில் சொல்லலாம். குள்>கொள்>கொளுவு>கொளுவதல் என்பது தமிழில் agglute என்பதைக் குறிக்கும். நம்முடைய கணித் திரளில் வலை இருக்கிறது; இணையம் இருக்கிறது. ஆனால் ஒரு புதிரியைச் சுளுவ, எந்தக் கணி எத்தனை கணிகளோடு பிணைந்தது என்பது குறிப்பிட்டுச் சொல்ல முடியாததால் அது திரள் என்றே சொல்லவேண்டியிருக்கிறது. திரளுதல் என்பதை கொளுவுதல் (agglute) என்றும் சொல்லலாம். Tamil is an agglutinative language - தமிழ் ஒரு கொளுவு நிலை மொழி என்று சொல்லுவார்கள். கொளுவுக்கும் கொண்டலுக்கும் அடியில் இருக்கும் கருத்துத் திரளுதலே. இங்கே கொண்டல் என்ற சொல்லை அப்படியே நேரடியாகப் புழங்காமல், பின்னால் ஏற்படக்கூடிய கூட்டுச் சொற்களுக்கு வாய்ப்பாகக் கொளுவு என்பதை முன்சொல்லாக்கிக் cloud computing என்பதைக் ”கொளுவுக் கணிமை” என்று சொல்லலாம். கொளுவு என்ற சொல்லிற்குள் ”திரள், எங்கெங்கோ இருக்கும் கணிகள், இணையம், பிணைப்பு” என எல்லாமே உள்ளூற அடங்கி விடும்.
--------------------
அடுத்தது On line [learning, resources] இதைச் சிறிது காலமாகவே எடுகோடு என்ற சொல்லாற் குறித்து வருகிறேன். எடுத்துக் கொள்ளும் நிலையும் இருக்கும் கோடு. He is always online = எப்பொழுதும் அவர் எடுகோட்டில் இருப்பார். [எங்கெல்லாம் ஆங்கிலத்தில் online வருகிறதோ அங்கெல்லாம் எடுகோடு என்பது சரியாகவே பொருந்துகிறது. பல்வேறு வாக்கியங்களை வைத்துப் பாருங்கள். ஏதேனும் விதிவிலக்கு இருந்தால் எனக்குச் சொல்லுங்கள்.
எடுகோட்டுப் படிப்பு = online learning. எடுகோட்டு ஊற்றுகைகள் = online resources. மூலங்கள் என்ற சொல்லை resources என்பதற்கு இணையாக நான் பயன்படுத்துவதில்லை. முளை, மூலம் என்ற சொற்கள் roots என்பதை ஒட்டிவரும் மெய்யியற் சொற்களுக்கே பயன்படுத்துகிறேன். ஊற்று/ ஊற்றுகை என்பது ஊறிவரும் நீர்ப்பொருள் என்பதால் அறிவுப் பொருளைக் குறிக்கமுடியும்.
அன்புடன்,
இராம.கி.
முதலில் வருவது cloud computing. சட்டென்று இதற்கான கலைச்சொல்லைச் சொல்லாமல் விளக்கம் தந்தே சொல்கிறேன். முதன்முதலில் இது போன்ற கலைச்சொற்களைத் தரும்போது விளக்கமும் கொடுத்துச் சொற்களைத் தந்தால் நன்றாக இருக்கும். ஏதொன்றையும் தமிழில் முதலில் எழுதும் போது, புதுச் சொற்கள் பயிலவேண்டிய கட்டாயத்தில் இதுபோன்ற விளக்கமும் கொடுத்து ஆக்கத்தை எழுதினால் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
-------------------
ஒவ்வொரு கணிப்புதிரியின் (computing problem) சிக்கலான தன்மையைப் பொறுத்து அதைத் தீர்ப்பதற்கு கணித்திறன் (computing capacity) தேவைப்படும். கணித்திறன் கூடக் கூடக் கணியின் விலையும் கூடும். ஒவ்வொரு கணிப்புதிரிக்காகப் கணித்திறன் கூடிய புதுப்புதுக் கணிகளை உருவாக்கிக் கொண்டிருக்க முடியாது.
பத்து ஆண்டுகளுக்கு முன்னால் அதிகப்பட்ட கணித்திறன் தேவைப்படும், கணிப்புதிரிகளைச் சுளுவ (to solve) வேண்டும் போது, கணியாளர்கள் தங்களிடம் இருக்கும் ஒருசில குறைதிறன் கணிகளைச் சரஞ்சரமாகவோ (series), இணையாகவோ (parallel) கம்பிகளாலும் (wires), வடங்களாலும் (cables) பிணைத்து புதிரிகளின் தீர்வுகளைக் காண முயலுவார்கள்.
சரி, இது போன்ற பிணைப்புக்களால் ஓரளவுக்குப் பெரும்புதிரிகளைச் சுளுவியெடுக்க (to solve) முடியும் என்றாலும், அதிலும் சிக்கல் ஏற்படுகிறது. பலநேரங்களில் இந்தக் கணிகளை ஒரேயிடத்தில் ஒன்றுசேர்க்க முடிவதில்லை. அவை பல்வேறு இடங்களில், ஏன் பல்வேறு நாடுகளில், கூட இருக்கக் கூடும். அவற்றை ஒன்று சேர்த்து ஓரிடத்திற்குக் கொண்டுவந்து பிணைத்துக் கணிப்பது என்பது மிகப் பெருமாண்டமான செலவைக் கொண்டுவருகிறது. மாறாக இந்தக் காலத்தில் உலகெங்கும் இருக்கும் பல்வேறு கணிகளை (அவை 100, 1000, 100000 என்று எத்தனை வேண்டுமானாலும் இருக்கலாம். அவை எல்லாவற்றையும்) “இணையம்” என்ற வலையால் ஒன்றிணைக்க முடியும். பூதியல் (physical) முறையில், கம்பி, வடங்கள் வழி கணிகளை இணைப்பதற்குப் பகரி(substitute)யாக, ஒரு கணியை இணைய வலையில் (internet web) பிணைத்து எங்கெங்கோ இருக்கும் கணிகளையும், நம் கணியையும் ஒரு கூட்டுப் பொதியாக்கி, கூட்டுறவு முறையில், ஒரு கணிப் புதிரியைச் சுளுவுவதையே cloud computing என்று சொல்கிறோம்.
சரியான கணிக் கட்டுப்பாட்டு விதிமுறைகள் (computer control protocols) இருந்தால் ஒரு கணியின் இயக்கக் கட்டகம் (operating system) இந்த வலையின் மூலம் எண்ணற்ற கணிகளை இயக்க முடியும். அதே போல 4, 10 கணிகள் ஒன்று சேர்ந்து தங்களுடைய இயக்கக் கட்டகங்களை ஒருங்குறச் செயற்பட வைத்து 10000 கணிகளைக் கூடச் செயற்பட வைக்கமுடியும். பலநேரம் எந்தக் கணி கட்டுறுத்துகிறது (which is controlling), எந்தக் கணி கட்டுப்படுகிறது (which is getting controlled) என்று சொல்ல முடியாதபடி அவை மாறி, மாறிச் செயற்படலாம்.
இந்தக் கணிகளின் இணைப்பு இந்த முறையில் தான் ஏற்பட்டது என்று கணுவலை அடவுகளைக் (network design) காட்ட முடியாதபடி கணிகள் முனைகளாக (nodes) ஒருங்கிணைந்து செயற்படும். எப்படி ஒரு மேகத்தினுள் மழைக்கருக்கள் (condensation droplets) சேர்ந்து பஞ்சுபோல் உருக்கொண்டு புதுப்புது உருவம் எடுத்துச் சூழ்நிலைக்கு ஏற்ப பெருகிச் சுருங்கி விரிகின்றனவோ, அது போல இந்த கணி முனைகளும் (கணிக் கருக்களும்) தமக்குள் ஒன்றிணைந்து இயங்கி, கொடுத்திருக்கும் கணிச்சிக்கலைச் சுளுவித் தருகின்றன என்பதால் கணித் திரளைச் சுட்டுவதற்கு மேகத்தை உருவகமாக்கிக் காட்டுவார்கள்.
தமிழில் கொண்டல் என்ற சொல் மேகத்தைக் குறிக்கும் சொல். மழைக்கருக்கள் திரண்டு இருப்பதைக் கொள்ளுதல் என்று சொல்லுவார்கள். குள்>கொள்>கொண்டு>கொண்டல் என்று அந்தச் சொல் உருவாகி, மழைக்கருக்கள் பொருந்திய மேகத்தைக் குறிக்கும். கொண்டல் குளிரும் போது மழை பொழியும். குள்ளுதல் என்பது திரளுதல். குள் என்னும் வேரில் இருந்து பிறந்த கூட்டச்சொற்கள் தமிழில் ஏராளம். இங்கே கொண்டல் என்பது இயற்கையில் வலையும் இல்லை, இணைப்புமில்லை, பிணைப்புமில்லை. அது ஒரு திரள். தாமாகவே திரளும் கூட்டம்.
இப்படித் திரள்வதை agglutination என்றும் ஆங்கிலத்தில் சொல்லலாம். குள்>கொள்>கொளுவு>கொளுவதல் என்பது தமிழில் agglute என்பதைக் குறிக்கும். நம்முடைய கணித் திரளில் வலை இருக்கிறது; இணையம் இருக்கிறது. ஆனால் ஒரு புதிரியைச் சுளுவ, எந்தக் கணி எத்தனை கணிகளோடு பிணைந்தது என்பது குறிப்பிட்டுச் சொல்ல முடியாததால் அது திரள் என்றே சொல்லவேண்டியிருக்கிறது. திரளுதல் என்பதை கொளுவுதல் (agglute) என்றும் சொல்லலாம். Tamil is an agglutinative language - தமிழ் ஒரு கொளுவு நிலை மொழி என்று சொல்லுவார்கள். கொளுவுக்கும் கொண்டலுக்கும் அடியில் இருக்கும் கருத்துத் திரளுதலே. இங்கே கொண்டல் என்ற சொல்லை அப்படியே நேரடியாகப் புழங்காமல், பின்னால் ஏற்படக்கூடிய கூட்டுச் சொற்களுக்கு வாய்ப்பாகக் கொளுவு என்பதை முன்சொல்லாக்கிக் cloud computing என்பதைக் ”கொளுவுக் கணிமை” என்று சொல்லலாம். கொளுவு என்ற சொல்லிற்குள் ”திரள், எங்கெங்கோ இருக்கும் கணிகள், இணையம், பிணைப்பு” என எல்லாமே உள்ளூற அடங்கி விடும்.
--------------------
அடுத்தது On line [learning, resources] இதைச் சிறிது காலமாகவே எடுகோடு என்ற சொல்லாற் குறித்து வருகிறேன். எடுத்துக் கொள்ளும் நிலையும் இருக்கும் கோடு. He is always online = எப்பொழுதும் அவர் எடுகோட்டில் இருப்பார். [எங்கெல்லாம் ஆங்கிலத்தில் online வருகிறதோ அங்கெல்லாம் எடுகோடு என்பது சரியாகவே பொருந்துகிறது. பல்வேறு வாக்கியங்களை வைத்துப் பாருங்கள். ஏதேனும் விதிவிலக்கு இருந்தால் எனக்குச் சொல்லுங்கள்.
எடுகோட்டுப் படிப்பு = online learning. எடுகோட்டு ஊற்றுகைகள் = online resources. மூலங்கள் என்ற சொல்லை resources என்பதற்கு இணையாக நான் பயன்படுத்துவதில்லை. முளை, மூலம் என்ற சொற்கள் roots என்பதை ஒட்டிவரும் மெய்யியற் சொற்களுக்கே பயன்படுத்துகிறேன். ஊற்று/ ஊற்றுகை என்பது ஊறிவரும் நீர்ப்பொருள் என்பதால் அறிவுப் பொருளைக் குறிக்கமுடியும்.
அன்புடன்,
இராம.கி.
Wednesday, March 03, 2010
ஒருங்குறியின் போதாமை
அண்மையில் சென்னைப் பல்கலைக்கழகத்தில் பேரா. தெய்வசுந்தரத்தின் பெருமுயற்சியில் சிறப்புற நடந்த “கணினித் தமிழ் - பன்னாட்டுக் கருத்தரங்கத்தில்” நான் பங்குபெற்று அளித்த "ஒருங்குறியின் போதாமை - Inadequacy of Unicode ” என்ற என் பரத்தீட்டைக் (presentation) கீழே ஒரு படக்கோவையாக தங்கள் பார்வைக்குக் கொடுத்திருக்கிறேன். ஏதேனும் பின்னூட்டுக்கள் இருந்தாற் தெரியப் படுத்துங்கள். என்னால் இயன்றதை விளக்குவேன்.
அன்புடன்,
இராம.கி.
வழுதை 1 (slide 1)
வழுதை 2 (தொல்காப்பியமும் குறியேற்றங்களும் - 6 என்னும் பதிவுக்குச் சென்றால் தமிழ் எழுத்து வரலாறு பற்றி மேலும் சில விவரங்கள் பெறமுடியும். அதோடு ”தொல்காப்பியமும், குறியேற்றங்களும்” என்ற முழுக்கட்டுரைத் தொடரையும் படிப்பது நல்லது.)
வழுதை 3
வழுதை 4
வழுதை 5
வழுதை 6
வழுதை 7 [ஒருங்குறித் தமிழில் உருவான ஒரு word ஆவணத்தை PDF ஆவணமாக்கிப் பின் அந்தப் PDF ஆவணத்தில் இருந்து நாலைந்து பத்திகளை வெட்டி இரண்டாவது word ஆவணத்தில் ஓட்டிப் பார்த்தால் தமிழ் ஒருங்குறி ஈ என்று இளிப்பது விளங்கும். செய்து பாருங்கள். தமிழ் எழுத்துக்கள் உடைபடுவதைத் தவிர்க்கவே முடியாது. அதாவது இன்றைக்கு இருக்கின்ற ஒருங்குறி முறையில் ஒரு PDF ஆவணத்தில் இருந்து word ஆவணத்திற்குக் cut and paste எழுத்துடையாமற் செய்யவே முடியாது.]
”அவன், அவனை, அவனொடு, அவனுடன், அவனால், அவனுக்கு, அவனின், அவனது” என்பவற்றை Microsoft Word Document இல் எழுதி தேடி மாற்றச் சொன்னால், கீழே வழுதை - 8 இல் இருப்பது போல் வெறுமே இவன் என்பதை மட்டுமே மாற்றும். ஆனால் alphabet முறையான உரோமன் குறியீட்டில் எழுதினால் எல்லா அவன்களையும் இவன்களாய் மாற்றிக் காட்டும். ஒருங்குறிக்கு மாறிப் பத்தாண்டுகள் ஆகியும், மைக்ரொசாவ்ட் நிறுவனத்தின் சொற்செயலி செய்ய மாட்டேன் என்கிறது. இது மைக்ரோசாவ்ட் நிறுவனத்தின் சிக்கலல்ல. ஒருங்குறியின் அமைப்பால் ஏற்படும் சிக்கல். இன்றைக்கு இருக்கும் பெரும்பாலான சொவ்வறைகள் alphabet குறியீடு சார்ந்தவை.
வழுதை 8
வழுதை 9
வழுதை 10
வழுதை 11
வழுதை 12
வழுதை 13
வழுதை 14
வழுதை 15
அன்புடன்,
இராம.கி.
வழுதை 1 (slide 1)
வழுதை 2 (தொல்காப்பியமும் குறியேற்றங்களும் - 6 என்னும் பதிவுக்குச் சென்றால் தமிழ் எழுத்து வரலாறு பற்றி மேலும் சில விவரங்கள் பெறமுடியும். அதோடு ”தொல்காப்பியமும், குறியேற்றங்களும்” என்ற முழுக்கட்டுரைத் தொடரையும் படிப்பது நல்லது.)
வழுதை 3
வழுதை 4
வழுதை 5
வழுதை 6
வழுதை 7 [ஒருங்குறித் தமிழில் உருவான ஒரு word ஆவணத்தை PDF ஆவணமாக்கிப் பின் அந்தப் PDF ஆவணத்தில் இருந்து நாலைந்து பத்திகளை வெட்டி இரண்டாவது word ஆவணத்தில் ஓட்டிப் பார்த்தால் தமிழ் ஒருங்குறி ஈ என்று இளிப்பது விளங்கும். செய்து பாருங்கள். தமிழ் எழுத்துக்கள் உடைபடுவதைத் தவிர்க்கவே முடியாது. அதாவது இன்றைக்கு இருக்கின்ற ஒருங்குறி முறையில் ஒரு PDF ஆவணத்தில் இருந்து word ஆவணத்திற்குக் cut and paste எழுத்துடையாமற் செய்யவே முடியாது.]
”அவன், அவனை, அவனொடு, அவனுடன், அவனால், அவனுக்கு, அவனின், அவனது” என்பவற்றை Microsoft Word Document இல் எழுதி தேடி மாற்றச் சொன்னால், கீழே வழுதை - 8 இல் இருப்பது போல் வெறுமே இவன் என்பதை மட்டுமே மாற்றும். ஆனால் alphabet முறையான உரோமன் குறியீட்டில் எழுதினால் எல்லா அவன்களையும் இவன்களாய் மாற்றிக் காட்டும். ஒருங்குறிக்கு மாறிப் பத்தாண்டுகள் ஆகியும், மைக்ரொசாவ்ட் நிறுவனத்தின் சொற்செயலி செய்ய மாட்டேன் என்கிறது. இது மைக்ரோசாவ்ட் நிறுவனத்தின் சிக்கலல்ல. ஒருங்குறியின் அமைப்பால் ஏற்படும் சிக்கல். இன்றைக்கு இருக்கும் பெரும்பாலான சொவ்வறைகள் alphabet குறியீடு சார்ந்தவை.
வழுதை 8
வழுதை 9
வழுதை 10
வழுதை 11
வழுதை 12
வழுதை 13
வழுதை 14
வழுதை 15
Subscribe to:
Posts (Atom)