Monday, May 03, 2010

எண்ணியல் - 7

எண்ணியலையொட்டி எனக்குத் தோன்றிய செய்திகளையெல்லாம் இத்தொடரிற் பேசிக் கொண்டிருந்தேன். [எண்ணியலைத் தமிழிற் சரியாகச் சொல்லாமல் பிற கணிதங்களைச் சொல்ல முடியாது. கணிதத்தில் நல்ல கலைச்சொற்களும் எழ முடியாது. உயர்கணிதம் என்றாலே ஏதோ ஆங்கிலமும், வடமொழிப் பெயர்களும் தான் நம் உதவிக்கு வரவேண்டும் என்ற பொல்லாநிலைக்கு நாம் இதுநாள்வரை ஆட்பட்டிருக்கிறோம். அதிலிருந்து வெளிவரமுடியும் என்று சொல்லவும் கூட இக்கட்டுரைத் தொடரை எழுதினேன். நல்ல தமிழில் கணிதச் சொற்கள் நம் மக்களிடை பரவ வேண்டும்; குறிப்பாகப் பள்ளி ஆசிரியர், மாணவரிடையே பரவ வேண்டும். இது ஏதோ தமிழ் வளர்வதற்காகச் செய்யும் முயற்சியல்ல. நல்ல கலைச்சொற்கள் ஆழமான சிந்தனையைத் தூண்டும் என்பதற்காகக் கணிதத்தையொட்டி எழுந்ததாகும். அதோடு நம்மூர் மரபிலிருந்தே கணித வளர்ச்சிகளை முன்னெடுக்கமுடியும் என்று நிறுவுவதற்காகவும் பழைய கணக்கதிகாரம், கணித நூல் போன்ற நூல்களில் இருந்து கணக்குப் புதிரிகளை எடுத்துத் தந்தேன்.]

இனி அரசினர் சுவடி நூலகத்தில் உள்ள (govt. Oriental Manuscripts Library Ref.no.8641, 437, 6673) கணிதநூல் என்னும் சுவடியில் வரும் ஒரு வெண்பாவைப் பார்ப்போமா?

புன மூன்றில் மேய்ந்து, வழிஐந்தில் சென்று
இனமான ஏழ்குளநீர் உண்டு - கனமான
காவொன்ப திற்சென்று காடவர்கோன் பட்டணத்தில்
போவதுவா சல்பத்திற் புக்கு.

காடவர் கோன் பட்டணம் என்பது பல்லவர் பட்டணம். இது பெரும்பாலும் காஞ்சிபுரமாய் இருக்கவே வாய்ப்புண்டு. காட்டை அழித்து நகர் எழுப்பியவர்கள் ஆதலால் பல்லவருக்குக் காடவர் என்ற பெயர் உண்டு. காஞ்சிபுரம் அந்தக் காலத்திற் கல்விக்குப் பெயர்பெற்ற கடிகைகள் (= பல்கலைக் கழகங்கள்) இருந்தவூர். புத்தரின் சீடர்களான மொக்கலனும் சாரிபுத்தனும் கல்வி பயிலக் காஞ்சிபுரம் வந்திருக்கிறார்கள். இந்த வெண்பா, கி.பி.5 ஆம் நூற்றாண்டிற்கு அப்புறம் எழுந்திருக்கவேண்டும். சரியாக எப்பொழுது எழுந்தது என்று சொல்லமுடியவில்லை.

இந்தப் பாவின் படி, யானைகளின் கூட்டம், 3 வயல்களில் மேய்ந்து, 5 பாதைகளில் நகர்ந்து, 7 குளங்களிற் குடித்து, 9 சோலைகளின்வழி சென்று, காஞ்சிபுரத்தின் 10 வாசல்களூடே புகுந்ததாம். அந்தக் கூட்டத்தில் மொத்த யானைகள் எத்தனையென்பது கணக்கில் வரும் கேள்வி. மொத்த யானைகளை x என்று வைத்துக் கொள்வோம். அவை

3 வயல்களிற் பிரிந்து மேயக் கூடுவதாய் இருக்கவேண்டும்.
5 பாதைகளிற் பிரிந்து நகரக் கூடுவதாய் இருக்கவேண்டும்.
7 குளங்களில் பிரிந்து குடிக்கக் கூடுவதாய் இருக்கவேண்டும்.
9 சோலைகளிற் பிரிந்து செல்லக் கூடுவதாய் இருக்கவேண்டும்.
10 வாசல்களிற் பிரிந்து நுழையக் கூடுவதாய் இருக்கவேண்டும்.

மேலே குறிப்பிடும் ஒவ்வொரு செயலும் ஒரு கட்டியமாகும் (condition). இந்தக் கட்டியங்கள் எல்லாமும் ஒருங்கே நிறைவு செய்யப்படவேண்டும். சரி, யானைகளாகவா பிரிந்தன? இல்லையில்லை, பாகர்கள் பிரித்திருக்கிறார்கள், இந்தப் பிரிப்புகள் மேய, நகர, குடிக்க, செல்ல, நுழையக் கூடுவதற்கு வாகாய் அமைந்திருக்கின்றன. கணிதமுறையிற் சொன்னால், யானைகள் கூட்டத்தை 3, 5, 7, 9, 10 ஆகிய வகைகளாற் பிரிக்கக் கூடுவதாய் (வகுக்கக் கூடுவதாய்) அமைந்திருக்கவேண்டும்.

x என்பது 10 ஆல் வகுபட வேண்டுமானால் அந்த எண் 0 இல் முடியவேண்டும் அல்லவா? அதோடு, பத்தால் வகுபடும் எண் 5 ஆலும் வகுபடும். அதே போல 9 ஆல் வகுபடும் எண் 3 ஆலும் வகுபடும். எனவே 10, 5, 3 ஆகியவற்றை ஒதுக்கி மீந்துள்ளவற்றைப் பார்த்தால் அவை 7 உம், 9 உம் ஆகும். இவற்றின் பெருக்கற் தொகை 63. அதைப் பத்தாற் பெருக்க அமைவது 630. இந்தத் தொகை 3, 5, 7, 9, 10 ஆகிய எண்களால் உறுதியாக வகுபடும். எனவே, குறைந்தது 630 யானைகள் இருந்தாலும், இந்தப் புதிரியிற் கொடுக்கப்படும் எல்லாக் கட்டியங்களும் நிறைவு செய்யப் படும். 630 இன் மடங்கான 1260, 1890, 2520, 3150, 3780, 4410, 5040 ........ என எதுவானாலும் இந்தப் புதிரிக்கு விடையாகத்தான் இருக்கும்.

சுவடியில் 9450 என்று விடை சொல்லியிருக்கிறார்கள் அது 630 இன் 15வது மடங்காகும் ஏன் அந்த விடையைச் சொன்னார்கள் என்று முதலில் விளங்கவில்லை. அந்த விடை வரவேண்டுமானால் பாட்டின் முதல்வரி “புனமூன்றில் மேய்ந்து, பதினைந்தில் சென்று” என்றிருக்க வேண்டும். ஏடெடுத்து எழுது போது நமக்குக் கிடைத்த எடுவிப்பில் (edition) ஒருவேளை சொற்பிழை ஏற்பட்டது, போலும். [எந்தப் பனஞ்சுவடியும் 125-150 ஆண்டுகளுக்கு மேல் வாராது. அது செல்லரித்துத் துளைபட்டுச் சிதறிப் போய்விடும். எனவே அந்தச் சுவடியை மீண்டும் புது ஏடு எடுத்து எழுத்தாணியால் எழுதி புதுச்சுவடியை எடுவிப்பார்கள். இந்த எடுவிப்புக்களில் எழுத்துப்பிழைகள், சொற்பிழைகள் வருவதற்கு வாய்ப்புண்டு. சுவடிகளைச் சரிபார்க்கவும் வேண்டும்.]

”புன மூன்றில் மேய்ந்து, வழிஐந்தில் சென்று” என்றவரியோடு பா அமைந்து, ”மீக்குறைந்த யானைகள் எத்தனை?” என்றால் 630 மட்டுமே விடையாகமுடியும். அந்த மீக்குறைந்த எண்ணைத்தான் ஆங்கிலத்தில் Least common multiple என்று சொல்லுகிறார்கள். [இது போன்ற கணக்குகள் முன்னாற் சொன்ன “கணித நூலில்” நிறையவே இருக்கின்றன.] இனி Least Common Multiple (LCM) / Least Common Denominator (LCD), Highest Common factor (HCF) / Greatest Common Divisor (GCD), போன்றவற்றைப் பார்ப்போம்.

அதற்கு முன்னால் தமிழ் போன்ற ஒட்டுநிலை மொழிக்கும் (agglutinative languages), ஆங்கிலம், சங்கதம் போன்ற உள்வளைப்பு மொழிகளுக்கும் (inflexional languages) இருக்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட வேறுபாட்டை இந்தப் புதிரியில் பயன்படுத்தும் தீர்மங்களை (terms) விளக்கும் முகமாகச் சொல்லுவது நல்லது என்று எண்ணுகிறேன்.

ஆங்கிலத்தில் (good, better, best), (smart, smarter, smartest), (......, more, most) என்று affirmative, comparative and superlative degree முவ்வேறுபாடுகள் சொல்லுவார்கள் அதுபோன்ற பழக்கம் தமிழிற் கிடையாது. எத்தனை இதற்குக் காரணம், மொழிமரபுகள் வேறுபடுவது தான். பேச்சுத் தமிழில் “ அவன் நல்லவன், ரொம்ப நல்லவன் (அல்லது மிக நல்லவன்), ரொம்பரொம்ப நல்லவன் (அல்லது மிகமிக நல்லவன்)” என்று அதிகத்தை உணர்த்தும் முன்னொட்டுக்களை ஒரு தடவையோ, இரண்டு தடவையோ போட்டுத்தான் உணர்த்த முடியும். மிகு(தி) என்ற சொல்லுக்கு மாற்றாய் உறு, தவ, நனி என்ற இன்னும் மூன்று சொற்களைத் தொல்காப்பியம் சொல்லதிகாரம் உரியியலின் 3 ஆம் நூற்பா சொல்லும். இந்தக் காலத்தில் நிரம்பவும், நிறைய, பெரு .......போன்ற சொற்களையும் இதே பொருளிற் பயில்கிறோம்.

உறு தவ நனி என வரூஉம் மூன்றும்
மிகுதி செய்யும் பொருள என்ப

மேலே சொன்ன முன்னொட்டுக்களில் ஏதோவொரு முன்னொட்டை 1, 2 தடவைகளோ போட்டுத்தான் ஒப்பீட்டு வேற்றுமைகளைத் தமிழில் உணர்த்துகிறோம். [என்னைக் கேட்டால் ஒரு தடவை போட்டாலே போதும். இரண்டுதடவை போடுவது ஆங்கில மரபை அப்படியே தமிழிற் கொண்டுவருவதாகும். தேவையில்லை. இருப்பினும் அடுத்துவரும் பத்திகளில் தமிழின் இயலுமை மட்டுமே சொல்லுகிறேன். என் பரிந்துரைகளாய் அவற்றை எடுத்துக் கொள்ளாதீர்கள். என் பரிந்துரை ஒரு முன்னொட்டுப் போதும் என்பதே.]

இப்பொழுது high என்பதை உயர் என்று சொல்லலாம். higher என்பதை மிக்குயர் என்று சொல்லிவிடலாம். அதற்கு மேல் வேண்டுமானால் உறு, தவ, நனி என்பதோடு மீ(மிகுவின் திரிவு) என ஏதோவொன்றைப் போடலாம். காட்டாக highest = நனிமிக்குயர் [இந்தக் காலத்தில் நனி என்பது சட்டென்று புரியும், மற்ற சொற்களான உறு-வும், தவ-வும் பழக்கம் இல்லாததால் சற்று சரவற் படலாம். அதனால் நனியையே இங்கு பயில்கிறேன். மீ அல்லது மிகு, மிக்கு என்பவற்றைப் பலுக்க எளிமைக்குத் தகுந்தாற்போலப் பயிலுகிறேன்.]

தாழ் = low; மிகு தாழ் = lower; நனிமிகு தாழ் = lowest
குறை = less மீக்குறை = lesser நனிமீக் குறை = least

நனிமீயுயர் பொதுப் பகுதி = Highest Common Factor
நனிமீப்பெரு பொதுப் பகுதி = Greatest common divisor
நனிமீக்குறைப் பொதுப் பெருக்கு = Lowest Common Multiple
நனிமீக்குறைப் பொதுக் கீழெண் = Lowest Common Denominator

(முன்னே சொன்னது போல் நனியைத் தவிர்த்தே ஒரு முன்னொட்டோடு நிறுத்திய கலைச்சொல்லையே நான் பரிந்துரைப்பேன்.)

அதுசரி. ”உத்தமம்” என்ற சொல் எப்படி highest/greatest-யைக் குறிக்கிறது? அதமம் என்பது எப்படி least -யைக் குறிக்கிறது?” என்று தொடரின் தொடக்கத்தில் கேட்டிருந்தேனே? நினைவிருக்கிறதா? இந்தக் கேள்விகளுக்கும் விடை தமிழிற் தான் உள்ளது. [வடமொழியில் வாராது.]

உயரம் என்ற சொல் எப்படி எழுந்தது என்று எண்ணியிருக்கிறீர்களா? உ என்னும் வேர் மேலெழுதலைக் குறிக்கும். உ>உய்>உயரம் என்று ஆகும். அதே போல உ>உல்>உறு என்பதும் மிகுத்துப் போன செயலைக் குறிக்கும். அதே உ>உல் என்னும் வேர்தான் உல்+து = உத்து> உத்தம் என்ற சொல்லையும் கொடுத்தது; உத்து என்பது உயரத்தைக் குறிக்கும்; வடமொழியில் உள்ள வழக்கம் போல் ரகரம் நுழைந்து உத்தம் உத்த்ரமாகும். மீண்டும் தமிழில் உத்திரம் என்று திரிந்து நுழையும். (தக்கணம் என்ற சொல் தக்கிக் கிடக்கும் - தாழ்ந்திருக்கும் - தெற்கைக் குறிப்பது போல, உத்தரம் என்பது வடக்கே உயர்ந்த பகுதியைக் குறிக்கும். உயர்ந்த பைதிரம் ”உத்தரப் பிரதேசம்” என்று சொல்லப்படும். உத்தமம் என்பது உத்தமப் பண்பைக் குறிக்கும். [இந்தக் காலத்தில் உத்தமம் என்பது உயர்ச்சியை மட்டும் குறிக்காது optimum என்பதையும் குறிப்பது புதுப் பயனாக்கமாகும்.]

இதே போல அல் என்னும் வேர் ஒடுங்குதலைக் குறிக்கும். அல்தல் = ஒடுங்குதல். ஒன்றுமில்லாது போதல். அல்குதல் என்றும் இது திரியும். பெண்ணுடம்பில் இடுப்பிற்குக் கீழே மேல்பாகம் ஒடுங்கிய பகுதி அல்குல் எனப்படும். அல்>அற்று>அற்றம்>அத்தம் என்பது குறைந்து போன நிலையை, அற்றநிலையைக் குறிக்கும். இந்தச் சொல்லின் நீட்டமாய் அற்றமம்>அத்தமம்>அதமம் என்பது குறைந்துபோன இயல்பைக் குறிக்கும். அதமன் என்பவன் நல்ல பண்புகள் குறைந்தவன் என்ற பொருளில் வடபுலத்திற் புழங்கும்.

உத்தமம், அதமம் ஆகிய சொற்களின் வேர் தமிழில் இருந்தாலும், வடபால் மொழிகளிற் பெரிதும் புழங்கிய சொற்களாகும்.

Highest Common Factor - உத்தமப் பொதுக் காரணி, Lowest Common Denominator - அதமப் பொதுப் பகுதி என்பவை 1950 களில் மணிப்பவளத்திற் புழங்கிய சொற்களாகும். இந்த நடையில் இருந்து மாற்றி HCF = Highest Common Factor = மீப்பெரு பொதுச் சினை, LCM = Lowest Common Multiple = மீக்குறை பொது மடங்கு, LCM = Lowest Common Denominator = மீக்குறை பொதுப் பகுதி என்றும் எழுதியிருக்கிறார்கள்.

மேலே யானைக் கணக்கில் மீக்குறை யானை எண்ணிகையைக் கண்டறிந்தோம் அல்லவா? அதைத்தாம் மீக்குறைப் பொதுப் பெருக்கு (Least Common denominator) என்று சொல்லுவார்கள். இரண்டிற்கு மேற்பட்ட பின்னங்களைக் கூட்டவேண்டும் என்றுவந்தால், பின்னங்களின் கீழெண்களை வைத்து அவற்றின் மீக்குறைப் பொதுப்பெருக்கு எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பார்கள். அந்த எண்ணை மீக்குறைப் பொதுக் கீழெண் (Least Common Denominator) என்றும் சொல்லுவார்கள். [ A common multiple of the denominator of two or more fractions, i.e., a number that each denominator divides exactly.]

காட்டாக, 1/2, 1/3, 3/7 என்ற பின்னங்களைக் கூட்டவேண்டுமானால், 2,3,7 ஆகிய கீழெண்களின் மீக்குறைப் பொதுப்பெருக்கு 42 என்றமையும். இது போக 84,126,168 என்பவையும் பொதுக் கீழெண்ணாக அமையலாம். மீக்குறை பொதுக் கீழெண்ணை வைத்துப் பின்னங்களைக் கூட்டுகிறோம். 1/2+1/3+1/7 = (21+14+6)/42 = 41/42. கொடுத்திருக்கும் எண்களின் மீக்குறை பொதுப் பெருக்கை (LCM) கண்டு பிடிக்கவேண்டுமானால், கொடுத்திருக்கும் எண்களைப் பெருமப் பகுதிகளாகப் பிரிக்க வேண்டும். [பெரும எண்கள் பற்றி முன்னாற் பார்த்தோம் அல்லவா?] காட்டாக 7,9,12,14 என்பவற்றின் மீ.பொ.பெ (LCM) கண்டுபிடிக்கவேண்டுமானால், அவற்றைக் கீழ்க்கண்டவாறு பெருமப் பகுதிகளாகப் பிரிக்க வேண்டும்.

7 = 7
9=3^2
12 = 3*2^2
14 = 7*2

இந்தப் பெருமப் பகுதிகளை ஒன்றோடொன்று பெருக்கி [ஒவ்வொரு பெருமப் பகுதியும் அதிகப்படியாக எத்தனை முறை வந்திருக்கிறதோ அதனையும் முறையெடுத்துப் பெருக்கி] மீ.பொ.பெ.யைக் கண்டு பிடித்துவிடலாம். [LCM is obtained by multiplying the prime factors together, taking each the maximum number of times it occurs in any of the numbers].
இங்கே மீ.பொ.பெ = 7*3^2*2^2 = 252

மிக்குயர் பொதுப்பகுதி (Highest Common Factor) என்பது மீ.பொ.பெ.வுக்கு அப்படியே தலைகீழானது. இது கொடுக்கப்பட்ட எண்களை மிக்குயர்ந்த முறையில் எந்த எண் வகுக்கும் என்று கண்டுபிடிக்கும் வகையாகும். [A number that divides two or more given numbers exactly] காட்டாக, 20, 70, 80 என்ற எண்களை 2, 5,10 என்ற எண்கள் வகுக்கும்.

இவற்றில் மிக்குயர் பொதுப்பகுதி Highest Common Factor (HCF), அல்லது Greatest Common Divisor (GCD). என்பது 10 என்று அறியலாம்.மீக்குயர் பொதுப்பகுதி (மீ,பொ.ப) கண்டு பிடிப்பதற்கு யூக்லிட் அல்கொரிதம் (Euclidian algorithm) என ஒன்றுண்டு. பெரும்பெரும் எண்களின் மீ.பொ.ப. கண்டுபிடிக்க அந்தச் செயல்வழியைப் பயன்படுத்தலாம். அதை இங்கு நான் விவரிக்கவில்லை. [அல்கொரிதம் என்பது கணக்குச் செயல்வழியைக் குறிக்கும், குவாரிசாமியின் பெயரில் அமைந்த சொல்லாகும்]
--------------------------------------
இந்தக் கட்டுரைத் தொடர் மூலம் முகனக் கணிதத்தின் ஒரு சில பகுதிகளைத் தமிழில் முன்கொணர முடிந்தது. படித்த உங்களுக்கும் இது ஆர்வத்தைக் கொடுத்திருக்கும் என்று நம்புகிறேன். முதலிற் சொன்ன கணித நூலில் இருந்து உரைநடையில் ஒரு கணக்கைச் சொல்லி முடிக்கிறேன். இதன் விடையை நீங்களே கண்டுபிடியுங்கள்.

”ஒரு நாட்டை ஆண்ட அரசனுக்கு 4 கோட்டைகள் இருந்தன. ஒரு நாள் அந்த அரசன் குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையுள்ள சேவகர்களை அழைத்துக் கொண்டு முதற் கோட்டைக்குச் சென்றான். அங்கு தன்னோடு வந்த படையினரில் பாதிப்பேரை நிறுத்தி வைத்தான். அதன்பின்பு, முதல் கோட்டையில் நின்றவர் போக எஞ்சியவரில் 2/3 பங்கு சேவகர்களை இரண்டாவது கோட்டையில் நிறுத்திவிட்டு, மூன்றாவது கோட்டைக்குச் சென்றான். இரண்டாவது கோட்டையில் நின்றவர் போக எஞ்சியவரில் 3/4 பங்கு சேவகர்களை மூன்றாவது கோட்டையில் நிறுத்திவிட்டு, நாலாவது கோட்டைக்குச் சென்றான். மூன்றாவது கோட்டையில் நின்றவர் போக எண்ஜ்சியவரில் 4/5 பங்கு சேவகர்களை நாலாவது கோட்டையில் நிறுத்திவிட்டு எஞ்சிய படைகளோடு மேலும் சென்றான்.

அரசன் பின்னால் இப்பொழுது வந்தவர்களில் முதலில் வந்தவனுக்கு ஒரு பணமும், இரண்டாவது வந்தவனுக்கு 2 பணமும், மூன்றாவது வந்தவனுக்கு மூன்று பணமுமாகப் பின்னால் வந்த சேவகர்களுக்கு ஒவ்வொரு பணம் அதிகமாகத் தந்தான். அரசன் சேவகர்களுக்குக் கொடுத்த பணம் முழுவதையும் கணக்கிட்டுப் பார்க்கும் பொழுது, நான்கு கோட்டையிலும் இறுத்தின சேவகர்கள் உட்பட அனைத்துச் சேவுகர்களுக்கும் ஒவ்வொரு பணம் கொடுக்கும்படி சரியாக இருந்தது என்றால்,

1. முதலி அரசனுடன் புறப்பட்ட சேவகர்கள் எத்தனை பேர்?
2. முதல், இரண்டாம், மூன்றாம், நாலாம் கோட்டைகளில் நிறுத்தின சேவுகர்கள் எத்தனைபேர்?
3. ஒவ்வொரு பணம் அதிகமாகக் அரசன் சேவுகர்களுக்குக் கொடுத்த மொத்தப்பணம் எவ்வளவு?”

இது எண்ணியலிற்குள் விதப்பாகக் கொடுக்கப்படும் ஒருவகைக் கணக்கு. இது போல நூற்றுக் கணக்கான கணக்குகள் இருக்கின்றன.

அன்புடன்,
இராம.கி.

2 comments:

Vijayakumar Subburaj said...

முதலில் அரசனுடன் புறப்பட்டவர்கள்,

x

1-வது கோட்டையில் நின்றவர்கள்,

x/2
x1

மீதி,

x - x1
y1

2-வது கோட்டையில் நின்றவர்கள்,

2y1/3
x2

மீதி,

x - (x1 + x2)
x - x1 - x2
y1 - x2
y2

3-வது கோட்டையில் நின்றவர்கள்,

3y2/4
x3

மீதி,

x - (x1 + x2 + x3)
x - x1 - x2 - x3
y2 - x3
y3

4-வது கோட்டையில் நின்றவர்கள்,

4y3/5
x4

மீதி,

x - (x1 + x2 + x3 + x4)
x - x1 - x2 - x3 - x4
y3 - x4
y4


கோட்டைகளில் நின்றவர்கள்,
x1 + x2 + x3 + x4
X

மீதி அரசனுடன் சென்றவர்கள்,
y4
Y

மொத்தம்,

X + Y

x = X + Y

x = x1 + x2 + x3 + x4 + y4

மீதி அரசனுடன் சென்றவர்கள்,

Y

y4

y3 - x4

y3 - 4y3/5

y3/5

(y2 - x3)/5

(y2 - 3y2/4)/5

(y2/4)/5

y2/20

(y1 - x2)/20

(y1 - 2y1/3)/20

(y1/3)/20

y1/60

(x - x1)/60

(x - x/2)/60

(x/2)/60

x/120


முதலில் வந்தவர்களுள், 120 ல் ஒருவர் மட்டுமே இப்போது அரசருடன் இருக்கிறார்.

முதலில் வந்தவர்கள் = உடன் இருப்பவர்கள் + கோட்டையில் இருப்பவர்கள்

உடன் இருப்பவர்களுக்குக் கொடுத்த பணம் = (Y * (Y + 1))/2

இவ்வளவு பணத்தை ஆளுக்கொரு பணமாக கொடுக்கலாம் எனவே, இதுவே மொத்த நபர்கள்.

( முதலில் வந்தவர்கள் - கோட்டையில் இருப்பவர்கள் - உடன் இருப்பவர்கள் - உடன் இருப்பவர்களுக்குக் கொடுத்த பணம்)

120 - 1 - 119 - 1
240 - 2 - 238 - 3
360 - 3 - 357 - 6
480 - 4 - 476 - 10
600 - 5 - 595 - 15

இப்படியாக போனால்,

28680 - 239 - 28441 - 28680


1. முதலில் அரசனுடன் புறப்பட்டவர்கள்,
28680 (239 + 28441)


2. கோட்டைகளில் தங்கியவர்கள்,
28441

கடைசியில் அரசனுடன் இருந்தவர்கள்,
239

முதல் கோட்டையில்,
x1
x/2
28680/2
14340

இரண்டாவது கோட்டையில்,
x2
2y1/3
2(x - x1)/3
2(28680 - 14340)/3
9560

மூன்றாவது கோட்டையில்,
x3
3y2/4
3(y1 - x2)/4
3(x - x1 - x2)/4
3585

நான்காவது கோட்டையில்,
x4
4y3/5
4(y2 - x3)/5
4(y1 - x2 - x3)/5
4(x - x1 - x2 - x3)/5
4(1195)/5
956


3. கடைசியில் தன்னுடன் இருந்தவர்களுக்கு அரசன் கொடுத்த பணம்,
28680

இராம.கி said...

அருமை, விஜயகுமார் சுப்புராஜ். உடனே போட்டுவிட்டீர்கள்.

இது போன்ற நூற்றுக்கணக்கான கணக்குகள் அந்தக் கணித நூலில் உள்ளன. கணித நூலின் காலம் கி.பி.1693. கருவூர் (கொங்குக் கருவூர் தான்) நஞ்சையன் என்பவர் வெளியிட்ட சுவடி. இதை Institute of Asian Studies, Chemmancherry, Chennai 600119 நிறுவனத்தினர் பொத்தகமாக வெளியிட்டிருக்கின்றனர். படித்துப் பாருங்கள். 17 ஆம் நூற்றாண்டுக் கணக்குகள் எண்ணியலிலும், பொருத்தியலிலும் எப்படி விரவிக் கிடக்கின்றன என்பது ஆர்வமுடன் அறியவேண்டிய ஒன்று.

இது போன்ற நம்மூர்க் கணக்குகளை நம் பிள்ளைகளுக்குச் சொல்லிக் கொடுத்தால் நம் மரபு விளங்கும். எல்லாமே ஆங்கிலம், வடமொழி வழி அறியும் போக்கு கொஞ்சமாவது குறையும்.

அன்புடன்,
இராம.கி