Tuesday, April 20, 2010

எண்ணியல் - 3

இயலெண்களைச் சொல்லும் போது இன்னொரு வகையைச் சொல்லாது விட்டேன். அது 1,2,3,4,5,6,7........என்ற இயலெண்களில், எந்த எண்ணையும், அதைக் காட்டிலும் மதிப்புக் குறைந்த எண்களின் பெருக்கல் விளைவாகக் காட்டும் செய்முறை பற்றியதாகும். காட்டாக 1, 2, 3, என்ற எண்கள் அந்தந்த எண்களாலும், ஒன்று என்ற எண்ணாலும், மட்டுமே வகுபடும். அவற்றிற்கு அடுத்து 4 என்பதை இரண்டின் மடக்காய்ச் (exponentiation) சொல்ல முடியும், 5 என்பது 1,2,3 போன்றது. 5 -ஆலும் ஒன்றாலும் மட்டுமே வகுபடக் கூடியது. 6 ஐ 2*3 என்ற பெருக்கற் தொகையாகக் காட்டலாம். 7 என்பதும் ஒன்றாலும், ஏழாலும் மட்டுமே வகுக்க முடியும். 8 என்பதை 2ன் மும்மடக்காகவும் (2^3), 9 என்பதை 3^2 என்றும், 10 என்பது 2*5 என்றும் சொல்லிவிடமுடியும்,

இதுவரை பார்த்தவற்றில் 1,2,3,5,7 போன்றவை தவிர மற்ற எண்களைத் தங்களுக்குக் கீழுள்ள எண்களின் பெருக்கல் விளைவாகக் காட்ட முடியும். இப்படி முடியாது தனிப்பெருமையோடு அண்ணாந்து நிற்கும் தகைமையுடைய எண்கள் பெருமெண்கள் (Prime numbers) என்று சொல்லப்பெறும். வகுபட முடியாத அவைகளுக்கு நிகர் எதுவும் கிடையாது என்ற பெருமை அவைகளுக்கு உண்டு. பெருமை (primality) என்பது கணிதத்திற் கூர்ந்து கவனிக்க வேண்டிய பண்பு. காட்டாக 1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,....... போன்றவை 30 - ற்குக் கீழுள்ள பெருமெண்களாகும். மற்ற எல்லாவற்றையும் அந்தப் பெரும எண்களில் இருந்து பெருக்கல் மூலம் பெற்றுவிட முடியும். அதனால் அவற்றைப் பெருமையுறா எண்கள் (non-primal numbers) என்று சொல்லுவார்கள். பெருமெண்களை ஒட்டி பல்வேறு கணிதத் தேற்றங்கள் உண்டு.

இனி அடுத்துப் பலக்கெண் (complex number) பற்றிப் பார்ப்போம். முந்தைய இடுகையில் 4 செய்முறைகளைப் பார்த்தோம் அல்லவா? அவைபோக இன்னொரு செய்முறையாக மூலங்கள் (roots) காணும் செயற்பாடு உண்டு. பரப்பளவு, கன அளவு ஆகியவற்றைக் கொடுத்துப் பக்கங்களைக் கண்டுபிடிக்கச் சொல்லும் கணக்குகள் நம்முடைய அன்றாட வழக்கங்களில் இருக்கின்றன. ஒரு சதுரத்தின் அளவு a என்றால் அதன் பரப்பளவு a^2 என்று சொல்லுவது நமக்கெல்லாம் மிக எளிது [முன்னே சொன்னது போல், இதைக் குழிமாற்று என்று அந்தக் காலத்திற் சொல்லுவார்கள். குழித்தல் என்றாலே to square என்று தமிழிற் பொருளுண்டு. மல்(க்)குதல், பெருக்குதல், பருக்குதல், மா(ற்)றுதல் போன்ற மற்ற சொற்கள் பொதுவான multiplication ஐக் குறிக்கும்.] இதையே, தலைகீழ் கணக்காய்ச் செய்வதிற் தான் பலருக்கும் தடுமாற்றங்கள் உண்டு. ஏதேனும் ஓரெண் கொடுத்து அதை அப்படியே சதுரப் பரப்பாகக் கொண்டு, சதுரத்தின் பக்கம் என்ன என்று காணுவது தலைகீழ்க் கணக்காகும். இப்பொழுது 121 என்று பரப்பளவு கொடுக்கப் பட்டால் வாய்ப்பாடு தெரிந்தவரையில், அதன் பக்கம் 11 என்று சட்டென்று சொல்லிவிடுவோம்..இன்னுஞ் சில எண்களுக்குச் சற்று நேரமாகலாம். ஆனால், பொதுவாக எந்த உள்ளமைப் பொதிவெண்ணின் சதுர மூலத்தையும் வழிமுறை தெரிந்தாற் காணமுடியும்.

[கலம் என்ற சொல் தமிழிற் கலகலத்துக் கிடப்பதையும் பெருத்துக் கிடப்பதையும் குறிக்கும். இது வடமொழித் திரிவில் கலநம்>கல்நம்>கன்னம்>கனம் என்றாகும். அதே பொழுது, கனம் என்ற இன்னொரு தமிழ்ச்சொல்லிற்கு weight என்ற பொருளும் உண்டு. [அந்த மூட்டை ரொம்பக் கனமாக இருக்கிறது.] எடை/நிறை என்ற சொற்களை மட்டுமே weight என்பதற்கு வைத்துக் கனம் என்ற சொல்லைச் சில நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்னால் பெருக்கத்தைக் குறிக்கும் விதமாய்ப் புழங்கத் தொடங்கியிருக்கிறார்கள். [குழப்பம் வந்த இடத்தில் ஏவல், பொருள் பார்த்துப் புரிந்துகொள்ள வேண்டும்.] அதற்கு முன்னால் அப்படியில்லை. cube. என்பதற்குக் கனச்சதுரம் என்று எங்களுக்கு அந்தக் காலத்திற் சொல்லிக் கொடுத்தார்கள். volume என்பதை ghanaphala, vimdaphala என்று வடமொழியிற் சொல்லுவார்கள்.

துல்லியம் பார்த்தால் கனம் என்ற சொல்வடிவு volume/cube என்பதற்குச் சற்றும் சரிவராது; weight என்பதற்கே சரிவரும். இருப்பினும், காலகாலமாய்ப் பழகிப் போன காரணத்தால், தவறாக இருந்தாலும், கனம் என்ற சொல்லைத் தயக்கத்தோடு cube என்பதற்கிணையாகப் புழங்குகிறேன். அதைக் கலம் என்று ஊற்று வேர்வழி அறிந்து மாற்றினால் கூட ”எடை” என்ற பொருள் வராது நன்றாக இருக்கும் என்று தோன்றுகிறது. ஏனென்றால், இது போன்ற சொற்களில் தவறான புரிதல் ஏற்பட்டால் அப்புறம் துல்லியமான தமிழ் அறிவியல்நடை நம்மிடம் வாராது. அதேபொழுது, இது போன்ற அடிப்படை மாற்றங்களுக்குப் பெரும்பாலான தமிழர்கள் தயங்கலாம் என்றும் எண்ணுகிறேன். volume என்பதை வெள்ளம் என்றே சில ஆண்டுகளாய் நான் சொல்லிவருகிறேன். (வெள்>வெளியை - space - நிறைப்பது வெள்ளம்),”ஆறு வெள்ளமாய்ப் பெருகியது; ஏரியிற் தண்ணீர் வெள்ளமாய்க் கிடக்கிறது.” பெருக்கம் (to expand; பெருகுவது பெருக்கம்) என்பதும் இதற்குப் பொருந்தும். [வெள்ளம் என்பது ஒரு விளவுக் கருத்தீடல்ல (flow concept). முப்பரிமானத்து அகற்சிக் கருத்தீடாகும். (three dimensional expanse concept).]

ஒரு கனச்சதுரத்தின் வெள்ளத்தைக் கொடுத்து அதன் பக்கத்தைக் கண்டுபிடிப்பது கனமூலம் ஆகும். எந்த எண்ணுக்கும் சட்டென்று கனமூலம் காண்பது அவ்வளவு எளிதன்று. கனமூலங்களை சதுர மூலத்தோடு தொடர்புறுத்த பல வாய்ப்பாடுகள் உண்டு. இதே முறையில் பல்வேறு வருக்க மூலங்களையும் சதுர மூலத்தோடு உறவுகாட்டித் தொடர்புறுத்துவார்கள். அதனால், பல்வேறு வாய்ப்பாடுகள் மூலம், மற்ற வருக்க மூலங்களையும் (n th roots) கண்டுபிடிக்க முடியும். ஆனால் இவையெல்லாமே பொதிவெண்களுக்கு மட்டுமே செய்யமுடியும். வருக்க மூலம் கண்டுபிடிக்கும் செய்கையை நொகையெண்களுக்கும் செய்ய வேண்டுமானால், முன்னாற் செய்தது போல இன்னும் ஒரேயொரு செயற்கை எண்ணை உள்ளமை எண் கொத்தோடு சேர்க்க வேண்டும். ”i” என்பதை (-1) என்பதன் சதுர மூலம் என்று கற்பிதமாய் (imaginary) எடுத்துக் கொண்டு அதன்வழி மற்ற எல்லா நொகையெண்களுக்கும் square.root of (-4) = 2i ; sq.r (-9) = 3i; sq.r. (-13) = (sq.r.of 13)*i = (3.605551.....)i. என்று சொல்ல முடியும்.

இயலெண்களையும் கற்பித எண்களையும் நேரடிக் கூட்டலாய் இழுனை (linear) முறையிற் ஒன்றுசேர்த்து a + b*i என்ற வகையிற் எழுதுவார்கள். 2i ; 5+3i; 29.45-3.605551i போன்றவை இப்படி எழுதப்பட்ட எண்கள் தான். இவற்றைப் பலக்கெண்கள் (complex numbers) என்று சொல்லுவார்கள். இந்த எண்கள் கொண்ட கொத்தைப் பலக்கெண் கொத்து C (Complex numbers C) என்று சொல்லுவார்கள். இந்தப் பலக்கெண்கள் உயர்கணிதத்திற் பெரிதும் பயன்கொண்டவை. சில பலக்கெண்கள் கீழ்வருமாறு அமையும்.

(2i) + (5+3i) = 5+5i
(5+3i) - (29.45-3.605551i) = -24.45+6.605551i
(5-3i)*(7-9i) = (5*7 +3*9-5*9i -3*7i) = 35+27-45i-21i = 62 -66i

மேலே உள்ள பெருக்கலைச் சரியான படி செய்ய வேண்டுமானால், plus, minus என்னும் குறிகளின் பெருக்கல் எப்படி என்று தெரியவேண்டும். [plus, minus என்ற சொற்களுக்குச் சரியான இணை தமிழில் இல்லாது பலரும் அப்படியே ஆங்கிலச் சொல்லைப் புழங்குவார்கள். Plus: 1579, the oral rendering of the arithmetical sign +, from L. plus "more" (comparative of multus "much"), altered by influence of minus from *pleos, from PIE *ple- "full" (see plenary). Placed after a whole number to indicate "and a little more," it is attested from 1902. As a conj., "and," it is Amer.Eng. colloquial, attested from 1968. Plus fours (1921) were four inches longer in the leg than standard knickerbockers, to produce an overhang, originally a style assoc. with golfers. The plus-sign itself has been well-known since at least 1489 and is perhaps an abbreviation of L. et (see etc.). என்னைக் கேட்டால், Plus, minus என்றவற்றிற்கு இணையாய் நல்ல குறுஞ்சொற்களைப் பரிந்துரைக்க முடியும். பல்குதல் என்ற வினைக்குக் கூட்டுதல் என்ற பொருளுண்டு. அந்த வினையால் விளையும் பெயர்ச்சொல் பலை = plus; அதே போல் நொகுதலில் (கழித்தலில்) விளையும் பெயர்ச்சொல் நொகை = minus, negative]. இப்பொழுது, குறிப்பெருக்கல் வாய்ப்பாடு

பலையைக் பலையாற் பெருக்கப் பலை கிடைக்கும்
பலையைக் நொகையாற் பெருக்க நொகை கிடைக்கும்
நொகையைக் பலையாற் பெருக்க நொகை கிடைக்கும்
நொகையைக் நொகையாற் பெருக்கப் பலை கிடைக்கும்

என்று அமையும்.. [பலை*பலை = பலை, பலை*நொகை = நொகை, நொகை*பலை = நொகை, நொகை*நொகை = பலை]

மேலும் பலக்கெண்களைப் பற்றிச் சொல்லத் தொடங்கினால் பெரிதும் சொல்லலாம். இரண்டு முகன்மைச் செய்திகளை மட்டும் இங்கு சொல்கிறேன்.

1. கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் மூலங்காணுதல் என்று ஐந்து செய்முறைகளின் வழிப்படி பார்த்தால், கணக்குச் செய்வதற்கு உகந்த முழுமையான மூடிய கொத்து என்பது பலக்கெண் கொத்துத் தான்.

2. உள்ளமை எண்களைக் காட்சிப் படுத்தும் போது உள்ளமைக் கோட்டைப் (real line) பயன்படுத்தினோம் அல்லவா? அது போல, பலக்கெண்களைக் காட்சிப் படுத்த வேண்டுமானால் நமக்கு ஒரு தளப் பரப்பு (plane surface) வேண்டும். அந்தத் தளத்தின் நடுவில் கிடையாக (horizontal) ஓரச்சும், நெட்டாக (vertical) இன்னோர் அச்சும் போட்டு எந்தவொரு பலக்கெண்ணையும் நாம் காட்சிப் படுத்த முடியும். கிடையச்சை உள்ளக அச்சு (real axis) என்றும், நெட்டச்சைக் கற்பித அச்சு (imaginary axix) என்றும் சொல்லலாம். பலக்கெண்ணின் இருபகுதிகளில் முதலில் உள்ளது உள்ளக அலகாகும் (real unit). அடுத்து i எண்ணும் குறியீட்டிற்கு முன்னால் உள்ளது கற்பித அலகாகும் (imaginary unit). உள்ளக அச்சில் உள்ளக அலகை அளந்து அதிலிருந்து ஒரு குத்துக்கோடு (perpendicular) போட்டு, அதே போலக் கற்பித அச்சில் இருந்து கற்பித அலகை அளந்து அங்கிருந்து ஒரு குத்துக்கோடு போட்டு, இரு குத்துக்கோடுகளும் வெட்டும் புள்ளியை ஊற்றுப் புள்ளியோடு (origin) இணைத்தால் கிடைக்கும் கோடு நாம் சொல்லவிழையும் பலக்குப் புள்ளியையைக் காட்சிப் படுத்தும். அதே போல இந்தக் கோட்டின் ஊற்றுப் புள்ளியல்லாத இன்னொரு முனை பலக்குப் புள்ளியை நேரடியாகக் குறிக்கும். பலக்குத் தளம் (complex plane) முழுதும் எண்ணிறந்த பலக்குப் புள்ளிகள் விரவிக் கிடக்கின்றன என்பது நினைவில் வைத்துக் கொள்ளவேண்டிய செய்தியாகும்..

மேற்கொண்டு கலப்பெண்கள் பற்றிச் சொல்லாமல், மற்றவகை எண்கள் பற்றிக் கீழே சொல்ல முற்படுகிறேன்.[இது போன்றதோர் அடிப்படைத் தொடரில் பலக்கெண்ணிற்குரிய மற்ற செய்திகளைத் தவிர்க்கிறேன்.]

மற்றவகை எண்களில் முதலிற் சொல்ல முற்படுவது random number என்பதாகும். 6 முகங் கொண்ட ஒரு பகடைக்காயை வீசி எறிகிறோம், 4 என்ற எண் மேலே தெரியும் முகத்திற் தெரிகிறது. 12 சோழிகளைத் மேலே தூக்கி எறிகிறோம். 7 முகங்கள் மல்லாக்கவும், 5 முகங்கள் குப்புறவும் விழுகின்றன. (ஏழையோ, ஐந்தையோ, எல்லோரும் ஒப்பும் முறை வைத்து விழுந்த எண்ணாக எடுத்துக் கொள்ளுகிறோம்.) இன்னதென்று சொல்ல முடியாதபடி சட்டென்று, விருட்டென்று வந்து விழும் இந்த எண்களை விருட்டெண்கள் (random numbers) என்று கணிதத்தில் அழைப்பார்கள். ["having no definite aim or purpose," 1650s, from at random (1560s), "at great speed" (thus, "carelessly, haphazardly"), alteration of M.E. randon "impetuosity, speed" (c.1300), from O.Fr. randon "rush, disorder, force, impetuosity," from randir "to run fast," from Frankish *rant "a running," from P.Gmc. *randa (cf. O.H.G. rennen "to run," O.E. rinnan "to flow, to run"). In 1980s college student slang, it began to acquire a sense of "inferior, undesirable." Random access in ref. to computer memory is recorded from 1953.]

இந்த விருட்டெண்கள் அப்படியொன்றும் கையாள முடியாதவையல்ல. பகடைக்காயை நெடுநேரம் தூக்கிப் போட்டால், 1 இல் இருந்து 6 வரை எல்லாமே வந்து விழக்கூடியதைக் கூர்ந்து நோக்கலாம். அதே போல சோழி வீழ்ச்சியிலும் ஒன்றிலிருந்து 12 ஆம் எண்வரை எதுவெண்டுமானாலும் நெடுநேரம் விளையாண்டாற் கிடைக்கும். இது போல அடுத்தடுத்து வீழும் எண்கள் அல்லது தோயங்களில், எல்லாத் தோயங்களுக்கும் (digits), எண்களுக்கும் (numbers) ஒரேமாதிரி விழும் வாய்ப்பு இருக்குமானால், அப்படி விழும்போது முதலில் விழுந்த எண்/தோயம் அடுத்து விழும் எண்/தோயம் அமைவதற்கு எந்த வகையிலும் வழிகாட்டுவதில்லை என்றால், அந்த எண்கள்/தோயங்களை விருட்டெண்கள் அல்லது விருட்டுத் தோயங்கள் என்று சொல்லுவார்கள். [random numbers = a sequence of digits or numbers with the property that, in the long run, all digits or numbers in the sequence will occur equally often, and in which the occurrence of any one digit or number in a particular position in the sequence is no guide to the occurrence of earlier or later members of the sequence.] விருட்டெண்கள் கிடைக்கப் பகடை, சோழி என்ற இருமுறைகள் மட்டுமல்ல, நூற்றுக் கணக்கான முறைகள் உண்டு.

இன்னும் பல்வேறு எண்களும் பின்னங்களும் இருக்கின்றன. அவற்றை அடுத்துப் பார்ப்போம்.

அன்புடன்,
இராம.கி.

7 comments:

திகழ் said...

க‌ணித‌த்தை முறையாக‌ விரிவாக‌த் த‌மிழில் க‌ற்றும் வாய்ப்பு கிடைக்க‌ப் பெற்றோம் அய்யா

Anonymous said...

ஐயா, நாங்கள் இலங்கையில் "Plus", "Minus", "Equal" என்பதை இவ்வாறு குறிப்போம். சக (+), சய (-), தர (*), அரன (/) சமன் (=). இவை தமிழ் சொற்கள் தானா?

தாஜூதீன் said...

ஐயா வணக்கம்,

கணிதத்தை முறையாக தமிழில் கற்றுத்தந்துள்ளீர்கள். மிக்க நன்றி.

யூனிகோட் உமர் பற்றிய செய்தியை என் வலைப்பூவில் பதிவாகி உள்ளது.

இராம.கி said...

அன்பிற்குரிய திகழ்,தாஜூதீன்,

வருகைக்கும், கனிவான சொற்களுக்கும் நன்றி. முயன்றால் நல்ல தமிழில் கணிதத்தைக் கற்றுக் கொடுக்க முடியும். செய்வதற்குத் தான் ஆட்களைக் காணோம். எல்லாமே ஆங்கிலம், வடமொழி கலந்த மணிப்பவளம் என்று ஆகிப்போயிற்று. என்று மாறுவோமோ தெரியவில்லை?

அன்புடைய பெயரில்லாதவருக்கு, சக (+), சய(-) என்பவை முற்றிலும் வடசொற்கள். சக என்பது உடன் என்ற பொருள் காட்டும். உடன் பிறந்தான் சக உதரன் = சகோதரன் என்று சொல்லப் படுகிறான் அல்லவா? உடுதல் என்பது சேர்தல் என்ற பொருள் காட்டும். அது அடுதல் என்றும் திரியும். அதற்கும் சேர்தல் என்ற பொருள் உண்டு.

அதே போல க்ஷய என்பது குறைத்தல் என்ற பொருள் கொடுக்கும் வடமொழிச்சொல் க்ஷயரோகம் என்ற நோயில் உடல் அழுகிக் குறை ஏற்படுகிறது அல்லவா? அந்த க்ஷய என்பதைத் தற்பவப் படுத்திச் சய என்று சொல்லுகிறார்கள். ஈழத்தில் பல வடமொழிச் சொற்கள் தற்பவப்படுத்திப் பயன்பட்டிருக்கின்றன. தமிழிய நோக்கம் கொண்டவர்கள் இது போல தற்பவச் சொற்களையும் முடிந்தவரை தவிர்க்கிறோம். நல்ல தமிழையே நாடுகிறோம்.

தர(*) என்பது எப்படி வந்தது என்று புரியவில்லை. அதனுள் அமைந்திருக்கும் வினைச்சொல் என்னவென்று நீங்கள் தான் (அல்லது வேறு யாரோ ஒரு ஈழத்தார் தான் சொல்லவேண்டும்.)

அரன (/) என்பது ஒருவேளை அர என்பதில் இருந்து வந்ததாய் இருக்கலாம். அரத்தல் என்பது அரித்தல் என்பதோடு தொடர்புற்றது. அரிதை (rational) என்று சொல்லியிருந்தேன் அல்லவா? அரம் என்றாலும் அரக்கின்ற கருவியைக் குறிக்கும். அரம் கொண்டு மரத்தை அறுக்கிறோம்.

ஒருவேளை அர>அரன்>அரனுதல் என்ற வினையெழுந்ததோ, என்னவோ? முற்றிலும் தெளிந்தேனில்லை.

ஓர்ந்து பார்த்தால் அரனுதல் என்பது தமிழாய் இருக்க வாய்ப்புண்டு.

சமன் நல்ல தமிழ்.

நான் முன்னே கட்டுரையில் சொன்ன பலை, நொகை என்ற சொற்களையே பயன்படுத்த வேண்டும் என்று ஒருநாளும் சொல்ல மாட்டேன். உடன், கழி என்று கூடச் சொல்லலாம்.

தர என்ற சொல்லை விளக்குவது உங்கள் கையில் இருக்கிறது.

அன்பீர்குரிய தாஜுதீன்,

உமர் பற்றிய செய்தி படித்தேன். அவருக்குச் சிறப்புச் செய்ய வேண்டியது நம்மெல்லோரின் கடமை. முயலுவோம்.

அன்புடன்,
இராம.கி

Raj said...

volume - பருமன். இவ்வாறு தமிழ் நாட்டு கலைச்சொல் பேரகராதியில் உள்ளது. கலம், கனம் என்ற சொல்லிற்கு பதிலாக இதனை பயன்படுத்தாலாமா ?

இராம.கி said...

பருமன் என்ற சொல்லும் கனம் என்பதற்கு இணையாக வரும். பயன்படுத்தலாம். என்னுடைய வேறு ஏதோவொரு கட்டுரையில் இதுபற்றிச் சொன்ன நினைவு. சட்டென்று சுட்டிக் காட்டமுடியவில்லை.

அன்புடன்,
இராம.கி.

K. Sethu | கா. சேது said...

//தர(*) என்பது எப்படி வந்தது என்று புரியவில்லை. அதனுள் அமைந்திருக்கும் வினைச்சொல் என்னவென்று நீங்கள் தான் (அல்லது வேறு யாரோ ஒரு ஈழத்தார் தான் சொல்லவேண்டும்.)
//

பெயர்ச்சொல் "தரம்" என்பதற்கு தடவை எனவும் பொருள் உண்டல்லவா. (காட்டாக ஏலம் கூவுகையில் "ஒரு தரம்", "இரண்டு தரம்"..) அதிலிருந்து "தர' வந்திருக்கலாம்தானே?