எண்ணியல் - 3

இயலெண்களைச் சொல்லும் போது இன்னொரு வகை சொல்லாது விட்டேன். அது 1,2,3,4,5,6,7....என்ற இயலெண்களில், எந்த எண்ணையும், அதைக் காட்டிலும் மதிப்புக் குறைந்த எண்களின் பெருக்கல் விளைவாகக் காட்டுவது பற்றியதாகும். காட்டாக 1, 2, 3, என்ற எண்கள் அந்தந்த எண்களாலும், ஒன்று என்ற எண்ணாலும், மட்டுமே வகுபடும். அவற்றிற்கு அடுத்து 4ஐ இரண்டின் மடக்காய்ச் (exponentiation) சொல்லலாம், 5 என்பது 1,2,3 போன்றது. 5 -ஆலும் ஒன்றாலும் மட்டுமே வகுபடக் கூடும். 6 ஐ 2*3 என்ற பெருக்கற் தொகையாகக் காட்டலாம். 7 உம் ஒன்றாலும், ஏழாலும் மட்டுமே வகுக்க முடியும். 8 ஐ 2ன் மும்மடக்காகவும் (2^3), 9 ஐ 3^2 என்றும், 10 ஐ 2*5 என்றும் சொல்லிவிடலாம்,

இதுவரை பார்த்தவற்றில் 1,2,3,5,7 போன்றவை தவிர மற்ற எண்களைத் தங்களுக்குக் கீழுள்ள எண்களின் பெருக்கல் விளைவாகக் காட்ட முடியும். இப்படி முடியாது தனிப் பெருமையோடு அண்ணாந்து நிற்கும் தகையுடைய எண்கள் பெரும எண்கள் (Prime numbers) எனப் பெறும். வகுபட முடியாத அவைகளுக்கு நிகர் எதுவும் கிடையாது என்ற பெருமை அவைகளுக்குண்டு. பெருமை (primality) என்பது கணிதத்திற் கூர்ந்து கவனிக்க வேண்டிய பண்பு. காட்டாக 1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,....... போன்றவை 30 - ற்குக் கீழுள்ள பெரும எண்களாகும். மற்ற எல்லாவற்றையும் இப் பெரும எண்களில் இருந்து பெருக்கல் மூலமே பெற்றுவிடலாம். அதனால் அவற்றைப் பெருமையுறா எண்கள் (non-primal numbers) என்பார். பெரும எண்களை ஒட்டி பல்வேறு கணிதத் தேற்றங்கள் உண்டு.

இனி அடுத்துப் பலக்கெண் (complex number) பற்றிப் பார்ப்போம். முந்தை இடுகையில் 4 செய்முறைகளைப் பார்த்தோம் அல்லவா? அவை போக இன்னொரு செய்முறையாக மூலங்கள் (roots) காணும் செயற்பாடுண்டு. பரப்பளவு, கன அளவு ஆகியவற்றைக் கொடுத்துப் பக்கங்களைக் கண்டு பிடிக்கச் சொல்லும் கணக்குகள் நம் அன்றாட வழக்கில் இருக்கின்றன. ஒரு சதுர அளவு a என்றால் அதன் பரப்பளவு a^2 என்பது நமக்கெலாம் மிக எளிது [முன்சொன்னது போல், இதைக் குழிமாற்று என்று அக்காலஞ் சொல்வார். குழித்தல் என்றாலே to square என்றும் தமிழிற் பொருளுண்டு. மல்(க்)குதல், பெருக்குதல், பருக்குதல், மா(ற்)றுதல் போன்ற சொற்கள் பொதுவான multiplication ஐக் குறிக்கும்.] இதையே, தலைகீழ் கணக்காய்ச் செய்வதிற்றான் பலருக்கும் தடுமாற்றங்கள் உண்டு. ஏதேனும் ஓரெண் கொடுத்து அதைச் சதுரப் பரப்பாகக் கொண்டு, சதுரப்பக்கம் காணுவது தலைகீழ்க் கணக்கு ஆகும். இப்பொழுது 121 என்று பரப்பளவு தந்தால் வாய்ப்பாடு தெரிந்த வரை, அதன் பக்கம் 11 என்று சொல்வோம். இன்னுஞ் சில எண்களுக்குச் சற்று நேரமாகலாம். ஆனால், பொதுவாக எந்த உள்ளமைப் பொதிவெண்ணின் சதுர மூலத்தையும் வழிமுறை தெரிந்தால் மட்டுமே காணமுடியும்.

[கலம் என்பது தமிழிற் கலகலத்துக் கிடப்பதையும் பெருத்துக் கிடப்பதையும் குறிக்கும். இது வடமொழித் திரிவில் கலநம்>கல்நம்>கன்னம்>கனம் ஆகும். அதேபொழுது, கனமென்ற இன்னொரு தமிழ்ச்சொல்லிற்கு weight  பொருளுமுண்டு. [அந்த மூட்டை ரொம்பக் கனமாக இருக்கிறது.] எடை/நிறை என்ற சொற்களை மட்டுமே weight இற்கு வைத்துக் கனமென்ற சொல்லைப் பெருக்கலைக் குறிக்கும் விதமாய்ச் சில நூற்றாண்டுகள் முன் புழங்கத் தொடங்கினார். [குழப்பம் வந்த இடத்தில் ஏவல், பொருள் பார்த்துப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.] அதற்குமுன் அப்படியில்லை. cube. இற்குக் கனச்சதுரம் என்றே எமக்கு அக்காலம் சொல்லிக் கொடுத்தார். volume என்பதை ghanaphala, vimdaphala என்று வடமொழியிற் சொல்வார்.

துல்லியம் பார்த்தால் கனம் என்ற சொல்வடிவு volume/cube இற்குச் சற்றும் சரி வராது; weight இற்கே சரிவரும். இருப்பினும், காலகாலமாய்ப் பழகிப் போன காரணத்தால், தவறாக இருந்தாலும், கனம் என்ற சொல்லைத் தயக்கத்தோடு cube இற்கு இணையாகப் புழங்குகிறேன். அதைக் கலம் என்று ஊற்று வேர்வழி அறிந்து மாற்றினால் கூட ”எடைப்” பொருள் வராது நன்றாக இருக்கும் என்று தோன்றுகிறது. ஏனென்றால், இது போன்ற சொற்களில் தவறான புரிதல் ஏற்பட்டால் அப்புறம் துல்லியத் தமிழ் அறிவியல்நடை நம்மிடம் வாராது. அதே பொழுது, இது போன்ற அடிப்படை மாற்றங்களுக்குப் பெரும்பாலான தமிழர் தயங்கலாம். volume ஐ வெள்ளமென்றே சில ஆண்டுகளாய்ச் சொல்கிறேன். (வெள்> வெளியை - space - நிறைப்பது வெள்ளம்),”ஆறு வெள்ளமாய்ப் பெருகியது; ஏரியில் நீர் வெள்ளமாய்க் கிடக்கிறது.” பெருக்கம் (to expand; பெருகுவது பெருக்கம்) என்பதும் இதற்குப் பொருந்தும். [வெள்ளம் என்பது விளவுக் கருத்தீடல்ல (flow concept). முப்பரிமான அகற்சிக் கருத்தீடு ஆகும். (three dimensional expanse concept).]

ஒரு கனச்சதுரத்தின் வெள்ளங்கொடுத்து அதன் பக்கத்தைக் கண்டு பிடிப்பது கனமூலமாகும். எவ்வெண்ணுக்கும் சட்டெனக் கனமூலம் காண்பது அவ்வளவு எளிதன்று. கனமூலங்களை சதுரமூலத்தோடு தொடர்புறுத்த பல வாய்ப் பாடுகள் உண்டு. இதேமுறையில் பல்வேறு வருக்க மூலங்களையும் சதுர மூலத்தோடு உறவுகாட்டித் தொடர்புறுத்துவார். அதனால், பல்வேறு வாய்ப் பாடுகள் மூலம், மற்ற வருக்க மூலங்களையும் (n th roots) கண்டுபிடிக்கலாம்.  ஆனால் இவையெல்லாம் பொதிவெண்களுக்கு மட்டுமே செய்ய முடியும். வருக்க மூலம் காண்பதை நொகையெண்களுக்கும் செய்ய வேண்டுமெனில், முன்செய்தது போல் இன்னும் ஒரு செயற்கை எண்ணை உள்ளமை எண் கொத்தோடு சேர்க்க வேண்டும். ”i” ஐ (-1) இன் சதுர மூலமெனக் கற்பிதமாய்க் (imaginary) கொண்டு அதன்வழி மற்ற எல்லா நொகையெண்களுக்கும் square.root of (-4) = 2i ; sq.r (-9) = 3i; sq.r. (-13) = (sq.r.of 13)*i = (3.605551.....)i. சொல்ல முடியும்.

இயலெண்களையும் கற்பித எண்களையும் நேரடிக் கூட்டலாய் இழுனை (linear) முறையிற் ஒன்றுசேர்த்து a + b*i என்ற வகையிற் எழுதுவார். 2i ; 5+3i; 29.45-3.605551i போன்றவை இப்படி எழுதப்பட்ட எண்களே. இவற்றைப் பலக்கெண்கள் (complex numbers) என்பார். இவ் எண்கள் கொண்ட கொத்தைப் பலக்கெண் கொத்து C (Complex numbers C) என்பார். இப் பலக்கெண்கள் உயர் கணிதத்திற் பெரிதும் பயன்கொண்டவை. சில பலக்கெண்கள் கீழ்வருமாறு:

(2i) + (5+3i) = 5+5i
(5+3i) - (29.45-3.605551i) = -24.45+6.605551i
(5-3i)*(7-9i) = (5*7 +3*9-5*9i -3*7i) = 35+27-45i-21i = 62 -66i

மேலுள்ள பெருக்கலைச் சரியானபடி செய்ய வேண்டுமெனில், plus, minus எனும் குறிகளின் பெருக்கல் எப்படி என்று தெரியவேண்டும். [plus, minus என்ற சொற்களுக்குச் சரியான இணைகள் தமிழிலின்றிப் பலரும் அப்படியே ஆங்கிலச் சொல் புழங்குவார்.

Plus: 1579, the oral rendering of the arithmetical sign +, from L. plus "more" (comparative of multus "much"), altered by influence of minus from *pleos, from PIE *ple- "full" (see plenary). Placed after a whole number to indicate "and a little more," it is attested from 1902. As a conj., "and," it is Amer.Eng. colloquial, attested from 1968. Plus fours (1921) were four inches longer in the leg than standard knickerbockers, to produce an overhang, originally a style assoc. with golfers. The plus-sign itself has been well-known since at least 1489 and is perhaps an abbreviation of L. et (see etc.).

என்னைக் கேட்டால், Plus, minus இற்கு இணையாய் நல்ல குறுஞ்சொற்களைப் பரிந்துரைக்கலாம். பல்குதல் வினைக்குக் கூட்டுதல் பொருளுண்டு. அவ் வினையால் விளையும் பெயர்ச்சொல் பலை = plus; அதேபோல் நுல்கு> நுள்கு> நொகுதலில் (கழித்தலில்) விளையும் பெயர்ச்சொல் நுணை = minus, negative]. இப்பொழுது, குறிப்பெருக்கல் வாய்ப்பாடு

பலையைக் பலையாற் பெருக்கப் பலை கிடைக்கும்
பலையைக் நுணையாற் பெருக்க நுணை கிடைக்கும்
நுணையைக் பலையாற் பெருக்க நுணை கிடைக்கும்
நுணையை நுணையாற் பெருக்கப் பலை கிடைக்கும்

என்று அமையும்.. [பலை*பலை = பலை, பலை*நுணை = நுணை, நுணை*பலை = நுணை, நுணை*நுணை = பலை] இங்கு கலைச்சொல் விளக்கம் ஒன்று தரவேண்டும். பொதிவெண்கள் = பலை (எண்கள்) = + எண்கள்;  நொகையெண்கள் = நுணை (எண்கள்) = - எண்கள் 

மேலும் பலக்கெண்களைப் பற்றிச் சொல்லத் தொடங்கினால் பெரிதும் சொல்லலாம். இரு முகன்மைச் செய்திகளை மட்டும் இங்கு சொல்கிறேன்.

1. கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல், மூலங்காணல் என்று 5 செய்முறைகளின் வழி பார்த்தால், கணக்குச் செய்ய உகந்த முழுமையான மூடிய கொத்து, பலக்கெண் கொத்தே.

2. உள்ளமை எண்களைக் காட்சிப்படுத்தும் போது உள்ளமைக் கோட்டைப் (real line) பயன்படுத்தினோம் அல்லவா? அது போல், பலக்கெண்களைக் காட்சிப் படுத்த, நமக்கு ஒரு தளப் பரப்பு (plane surface) வேண்டும். தளத்தின் நடுவில் கிடையாக (horizontal) ஓரச்சும், நெட்டாக (vertical) இன்னோர் அச்சும் போட்டு எந்தவொரு பலக்கெண்ணையும் காட்சிப் படுத்தலாம்.  கிடையச்சை உள்ளக அச்சென்றும் (real axis), நெட்டச்சைக் கற்பித அச்சென்றும் (imaginary axix)  சொல்வர். பலக்கெண்ணின் 2 பகுதிகளில் முதலில் உள்ளது உள்ளக அலகு (real unit). அடுத்து i எண்ணும் குறியீட்டிற்கு முன் உள்ளது கற்பித அலகு (imaginary unit). உள்ளக அச்சில் உள்ளக அலகை அளந்து அதிலிருந்து ஒரு குத்துக்கோடு (perpendicular) இட்டு, கற்பித அச்சிலிருந்து கற்பித அலகை அளந்து அங்கிருந்து குத்துக்கோடு இட்டு, 2 குத்துக்கோடுகளும் வெட்டும் புள்ளியை ஊற்றுப் புள்ளியோடு (origin) இணைத்தால் கிடைக்கும் கோடு நாம் சொல்ல விழையும் பலக்குப் புள்ளியையைக் காட்சிப் படுத்தும். அதேபோல இக்கோட்டின் ஊற்றுப் புள்ளியல்லா இன்னொரு முனை பலக்குப் புள்ளியை நேரடியாய்க் குறிக்கும். பலக்குத் தளம் (complex plane) முழுதும் இப்படி எண் இறந்த பலக்குப் புள்ளிகள் விரவியுள்ளன என்பது நினைவில் வைக்க வேண்டிய செய்தியாகும்..

மேற்கொண்டு பலக்கெண்கள் பற்றிச் சொல்லாமல், மற்ற எண்கள் பற்றிக் கீழே சொல்ல முற்படுகிறேன்.[இது போன்றதோர் அடிப்படைத் தொடரில் பலக்கெண்ணிற்குரிய மற்ற செய்திகளைத் தவிர்க்கிறேன்.]

மற்ற எண்களில், முதலிற் சொல்ல முற்படுவது random number என்பதாகும். 6 முகங்கொண்ட பகடைக்காயை கீழே வீசி எறிகிறோம் என்று வையுங்கள், 4 என்ற எண் மேலே தெரியும் முகத்திற் தெரிகிறது என்றும் வையுங்கள். 4 என்ற எண் கிடைத்ததாய்க் கொள்வோம். இதே போல் 12 சோழிகளைத் மேலே தூக்கி எறிகிறோம். 7 முகங்கள் மல்லாக்கவும், 5 முகங்கள் குப்புறவும் விழுகின்றன. (ஏழையோ, ஐந்தையோ, எல்லோரும் ஒப்பும் முறையில் வைத்து, விழுந்த எண்ணாக எடுத்துக் கொள்கிறோம்.) இன்னதென்று சொல்ல முடியாதபடி சட்டென, விருட்டென வந்துவிழும் இவற்றை விருட்டெண்கள் (random numbers) எனக் கணிதத்தில் அழைப்பார். ["having no definite aim or purpose," 1650s, from at random (1560s), "at great speed" (thus, "carelessly, haphazardly"), alteration of M.E. randon "impetuosity, speed" (c.1300), from O.Fr. randon "rush, disorder, force, impetuosity," from randir "to run fast," from Frankish *rant "a running," from P.Gmc. *randa (cf. O.H.G. rennen "to run," O.E. rinnan "to flow, to run"). In 1980s college student slang, it began to acquire a sense of "inferior, undesirable." Random access in ref. to computer memory is recorded from 1953.]

விருட்டெண்கள் அப்படியொன்றும் கையாள முடியாதவையல்ல. பகடைக் காயை நெடுநேரம் தூக்கிப் போட்டால், 1 இல் இருந்து 6 வரை எல்லாமே வந்து விழக் கூடியதைக் கூர்ந்து நோக்கலாம். அதே போல சோழி வீழ்ச்சியிலும் ஒன்றிலிருந்து 12 ஆம் எண்வரை எதுவெண்டுமானாலும் நெடுநேரம் விளையாண்டாற் கிடைக்கும். இது போல அடுத்தடுத்து வீழும் எண்கள் அல்லது தோயங்களில், எல்லாத் தோயங்களுக்கும் (digits), எண்களுக்கும் (numbers) ஒரே மாதிரி விழும் வாய்ப்பு இருக்குமானால், அப்படி விழும் போது முதலில் விழுந்த எண்/தோயம் அடுத்து விழும் எண்/தோயம் அமைவதற்கு எந்த வகையிலும் வழிகாட்டுவதில்லை என்றால், அந்த எண்கள்/தோயங்களை விருட்டெண்கள் அல்லது விருட்டுத் தோயங்கள் என்பார். [random numbers = a sequence of digits or numbers with the property that, in the long run, all digits or numbers in the sequence will occur equally often, and in which the occurrence of any one digit or number in a particular position in the sequence is no guide to the occurrence of earlier or later members of the sequence.] விருட்டெண்கள் கிடைக்கப் பகடை, சோழி என்ற 2 முறைகள் மட்டுமல்ல, நூற்றுக் கணக்கான முறைகள் உண்டு.

இன்னும் பல்வேறு எண்களும் பின்னங்களும் இருக்கின்றன. அவற்றை அடுத்து அடுத்துப் பார்ப்போம்.

அன்புடன்,
இராம.கி.