இப்பகுதியில் முகனக் கணித (modern mathematics) வழி கொத்துக்களின் வகைகள் பற்றியும், கொத்துத் தேற்று (set theory) பற்றியும் ஒருசில பார்த்து விட்டுச் ”சில்லும் சிறிசுமாகச்” சில எண்கள் பின்னங்களைச் சொல்லப் போகிறேன்.
இக்காலத்தில் எண்ணியற் படிப்பில் எல்லாவற்றையும் கொத்துத் தேற்றின் (set theory) அடிப்படையிலே சொல்லிக் கொடுக்கிறார். கொத்து என்பது ஒரு தொகுதி. ”கொத்தின் உள்ளுமங்கள் (elements of the set) எவை? உள்ளுமங்கள் இடையிருக்கும் பிணைப்புறவு (combining relation) என்ன? இக்கொத்தை இன்னொன்றாய் உருமாற்ற முடியுமா? அதற்கான முகப்பு (map) என்ன? இக் கொத்தை (வேறு கொத்தை நோக்கிச் செலுத்தாமல்) இதன் மேலேயே செலுத்துமாப் போல முகக்க (to map) முடியுமா? கொத்தினுள் ஒற்றுள்ளுமம் (identity element) எது? கொத்தின் உள்ளுமங்களுக்கு (elements) எதிருள்ளுமம் (inverse element) உண்டா?” என்ற கேள்விகளை இத்தேற்றில் எழுப்புகிறார். இக் கேள்விகளுக்கு விடைகள் தேடுவதால் கொத்தின் இயல்புகள் கற்போருக்குத் தெள்ளத் தெரிவாகத் தெரிகின்றன. பின் அந்த இயல்புகளை வைத்து, புதுப் புதுப் புதிரிகளைப் (problems) போடுகிறார். அப்புதிரிகளைத் தீர்க்கும் போது ”பொருளுள்ள தன்மையும் (meaningful character) , ஒத்திசைவும் (consistency) தெரிகின்றனவா?” என்று பார்க்கிறார்.
இப்படிப் பார்க்கும் கொத்திற்குள் ஒரு பிணைப்புறவு மட்டுமே அமைய வேண்டும் என்றில்லை. 2,3 பிணைப்புறவுகள் இருக்கலாம் அதேபோல ஒரேயொரு ஒற்றமே (identity) இருக்க வேண்டும் என்பதில்லை. உள்ளக எண் (Real numer) கொத்தில் இருப்பது போல், கூட்டல், பெருக்கல் என்று 2 பிணைப்பு உறவுகளும், ஒரு பிணைப்புறவிற்கு ஒன்றாய் 0,1 என்று இரு ஒற்றங்களும் இருக்கலாம். இத்தனையாண்டுக் காலக் கணிதவளர்ச்சியில் விதவிதமான கொத்துகளை அடையாளம் கண்டுள்ளார். குழுக்கள் (groups), வலயங்கள் (rings), புலங்கள் (fields), வேயர் வெளிகள் (vector spaces), பொருத்துகள் (algebras) என்று பல்வேறு கட்டுக்கூறுகள் (categories) அடுத்தடுத்து எழுந்துள்ளன. இக் கட்டுக்கூறுகளின் முழு விவரிப்பும் சொல்லப் புகின் அது பெரிதாய் விரியும்.
ஒரு கொத்திற்கடியில் இன்னொரு கொத்துக்கூடப் பின்புலத்தில் இருக்கலாம். காட்டாக வேயர் வெளியின் பின்புலமாய் ”உள்ளக அளவர்ப் புலம் (real scalar field)” அமைந்திருக்கும். [வேயர் வெளியின் அமைப்பு ஒன்றின் மேல் இன்னொன்றாய், மாடிவீடு கட்டினாற் போல் அமையலாம்.] இற்றைப் பூதியலில் (physics), குறிப்பாக மாகனவியலிலும் (mechanics), கணுத்த மாகனவியலிலும் (continuum mechanics), விளவ மாகனவியலிலும் (fluid mechanics), வேயர் வெளிகள் (vector spaces), தந்தர்ப் புலங்கள் (tensor fields) போன்றவை வெகுவாகப் பயன்படுகின்றன. இவற்றை அறியாமல் பூதியலில் எந்த வேலையும் இனிச் செய்ய முடியாத நிலைக்கு நாம் வந்துவிட்டோம். அதே போல மடிக்கைகள் (matrices), தீர்மானன்கள் (determinants) அறியாமல் கணிதத்தில் பலவற்றையும் செய்யமுடியாது என்ற நிலை ஆகிவிட்டது.
{தந்தர் என்ற சொல்லின் விளக்கத்தின் சுருங்க இங்கு சொல்லவேண்டும் என்பதால் சற்று இடைவிலகுகிறேன். தந்து என்ற சொல் தமிழில் நூலையும், மெல்லிய கயிற்றையும் குறிக்கும். தந்தின் நீட்சியான தந்தி என்பது மாழைக் கம்பியைக் (metal wire) குறிக்கும். தந்தித்தல் என்ற வினை நூல் நூற்றலைக் குறிக்கும். நூற்பது என்பது நாம் கொடுக்கும் இழுவிசையால் (drawing force) ஏற்படும் செய்கையாகும். இழுவிசை என்ற சொல் நாம் கொடுக்கும் விசையைப் பொதுவாய்க் குறிக்க, தந்த விசை என்பது தந்தின் உள்ளே துலங்கும் விதப்பான tensile force ஐக் (தந்தில் இருக்கும் விசையைக்) குறிக்கும். சுருக்கமாய் tension என்பதைத் தந்தம் என்றே சொல்லலாம். தந்தர்(tensor) என்பது இழுக்கும் நிகழ்வையொட்டி நாருக்குள்/இழைக்குள் (filament) நடக்கும் எதிர்விளைத் தகைகளை (stresses) உணர்த்தும் சொல்லாகும்.
வேயம் என்ற சொல் vector -யை எப்படிக் குறிக்கிறதென்று இங்கு முழுதும் சொல்ல முற்படவில்லை. அதற்கும் wagon, carry, means of transport, vehicle போன்ற சொற்களுக்கும் உள்ள உறவை நம் பழைய பழக்கங்களை வைத்து இன்னொரு கட்டுரையில் விவரித்துச் சொல்லுவேன். இங்கு ஓரளவு குறிப்பு மட்டுமே காட்டுகிறேன். அவ்வளவு தான்.
தென்பாண்டி நாட்டில் அக்காலத்தில் திறந்துகிடக்கும் (மாட்டு)வண்டிகள் பாரம் தூக்குவதற்கும், (மாடு அல்லது குதிரை இழுக்கும்) கூட்டு வண்டிகள் ஆட்களைக் கொண்டுசெல்வதற்கும் பயனாகும். பெருந்தனக்காரர் வீடுகளில் 60/70 ஆண்டுகளுக்கு முன் கூட்டுவண்டி இலாத வீடே இருக்காது. கூட்டு வண்டியையே ஆங்கிலத்தில் wagon என்றார். மூங்கிற் கூரை கொண்டு வேயப்பட்ட வண்டி. ”கூட்டுவண்டி, வேய்ச்சகடு, வேய்வண்டி” என்று நம் மரபிற் சொல்லப் பெறும். பல நாட்டுப்புற வீடுகளில் வண்டியில் இருந்து கூட்டைக் கழற்றிப் பண்ணையிற் போட்டு வைத்திருப்பார். தேவைப்படும் போது, திறந்த வண்டியில் மூங்கிற் கூரையை எளிதாக மாட்டி ஆட்களைக் கொண்டுசெல்லும் வகையில் மாற்றலாம். ஆட்களைக் கொண்டுசெல்வது (to carry) என்றாலே வேய்தல் வினை உடன் வந்துவிடும். வேய்ச் சகட்டிற்குத் தேவையான மூங்கிலின் குச்சி, அம்பிற்கும் பயன்படும். இங்கு சொன்ன இருவேறு கருத்துக்களுக்கும் துணை நிற்பது மூங்கிலைக் குறிக்கும் வேய் எனும் சொல்லாகும். அதோடு எச் சகட்டுப் பயணமும் (வண்டிப் பயணமும்) ஒரு திசையை நோக்கியே அமையும். திசை, தொலைவு, கூடுகை என்ற மூன்று தன்மைகளையும் உணர்த்தும் சொல் வேய்> வேயர் என்றாகும் தொடர்புள்ள ஆங்கில விளக்கத்தைக் கீழே தருகிறேன்.
[ vector = "quantity having magnitude and direction," 1704, from L. vectophysics) r "one who carries or conveys, carrier," from pp. stem of vehere "carry, convey" (see vehicle) - vehicle 1612, "a medium through which a drug or medicine is administered," 1615 in the sense of "any means of conveying or transmitting," from Fr. véhicule, from L. vehiculum "means of transport, a vehicle," from vehere "to carry," from PIE *wegh- "to go, transport in a vehicle" (cf. O.E. wegan "to carry;" O.N. vegr, O.H.G. weg "way;" M.Du. wagen "wagon;" see wagon). Sense of "cart or other conveyance" first recorded 1656.]}
கொத்துத் தேற்று (set theory) கற்ற பின்னால் படிப்படியாக எண்ணியலும் (arithmetics), பொருத்தியலும் (algebra), வடிவியலும் (geometry), வகைப்புக் கலனம் (differential calculus), தொகைப்புக் கலனம் (integral calculus) அடங்கிய பகுப்பு அலசலும் (analysis), இடப்பியலும் (topology) முகனக் கணிதத்திற் கற்பிக்கப் படுகின்றன. இன்னும் உயர்நிலைக் கணிதமாய் பொருத்து வடிவியல் (algebraic geometry), வகைப்பு இடப்பியல் (differential topology), வகைப்பு வடிவியல் (differential geometry) என்று மேலும் விரிகின்றன. ஆர்வம் மட்டும் நமக்கிருந்தால், முகனக் கணிதம் நம்மை பெரிதும் ஈர்த்திழுக்கும் படிப்பேயாகும்.
--------------------------------------------------
இனிச் சில உதிரியெண்களையும் பின்னங்களையும் பார்ப்போம்.
முதலாவதாகப் பார்க்கப் போவது குவையெண்ணாகும் (cardinal number). ஒவ்வொரு கொத்திலும் இருக்கும் மொத்த உள்ளுமங்கள் (elements) எத்தனை என்று கூட்டிச் சொல்லக் கூடிய எண்ணை குவையெண் [cardinal number = a number that indicates the number of elements in a set] என்பார்.
அடுத்தது வரிசையெண். 10 உள்ளுமங்கள் ஒரு கொத்தில் உள்ளன. அவற்றில் எது முதலாவது, எது இரண்டாவது என வரிசைப்படுத்திச் சொன்னால் அந்த எண்ணிற்கு வரிசையெண் (ordinal number) என்று பெயர். ஒரு கொத்தில் (2, 4, 6, 8, 10.........) என்று இருக்கிறது. இதில் 2 என்று உள்ளுமத்தின் வரிசையெண் 1. 4 இன் வரிசையெண் 2, ...... இப்படி வரிசையாய்ப் போய்க்கொண்டிருக்கும். எல்லாக் கொத்திற்குள்ளும் வரிசையெண் சொல்லும் தேவையில்லை. வரிசையெண்களே இல்லாதும் ஒரு கொத்து இருக்கலாம். [ordinal mumber = a number denoting the position in a sequence e.g. first, second, third]
அடுத்தது கூட்டெண். நம் கண் முன்னே பல்வேறு பொருட்கள் இருக்கின்றன. அவற்றின் மொத்தத் தொகையைக் கூட்டியறிய வேண்டும். காட்டாகச் சில வாக்கியங்களைப் பார்ப்போம்.
i) 24 பொருட்கள் இருக்கின்றன.
ii) 437 உள்ளுமங்கள் இந்தக் கொத்தில் உள்ளன.
iii) எண்ணற்ற எண்கள் இயலெண் கொத்தில் உள்ளன.
இப்படிக் கொத்தின் உள்ளிருக்கும் பொருள்களைக் கூட்டிச் சொல்வதை கூட்டெண்கள் என்பார். கூட்டெண்கள் முதலாம் எண்ணிற் தொடங்கிப் போய்க் கொண்டிருக்குமே ஒழிய, சுழி (zero), நொகையெண்கள் (negative numbers) ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்காது. (counting number = A number used in counting objects, one of the set of positive integers.)
நாலாம் வகையெண்கள் கூட்டுப்பொதியெண்கள் எனப்பெறும். முன்னால் பெருமெண்கள் (prime numbers) பற்றிச் சொன்னோம் அல்லவா? பெருமெண்கள் அல்லாத தொகுவெண்கள் (integers) எல்லாம் கூட்டுப்பொதியெண்கள் எனப் பெறும். (composite number = A number that is not prime.)
ஐந்தாம் வகையெண்கள் முற்றகையெண்கள் (absolute numbers) ஆகும். பொருத்தியல் பற்றிச் சொல்லும் போது x, y, z என்று பொருத்திக் கொண்டு அவற்றை மற்ற எண்களைப் போலவே கையாண்டு கூட்டல், பெருக்கல், கழித்தல், வகுத்தல், மூலங்காணல் என்று பல்வேறு செய்முறைகளைச் செய்தோம் அல்லவா? அந்த x, y, z போன்ற எண்களுக்கு ஒரு மதிப்புத் தான் உள்ளதா எனில் அப்படிச் சொல்ல முடியாதென்றே சொல்லவேண்டும். குழி மாற்றுச் சமன்பாடுகளில் (quadratic equations) x ற்கு இரண்டு மதிப்பு இருந்தது. கனவச் சமன்பாடுகளில் (cubic equations) மூன்று மதிப்பும், நாலவச் சமன் பாடுகளில் (quartic equation) 4 மதிப்பும், கைவகச் சமன்பாடுகளில் (quintic equation) 5 மதிப்பும் எனக் கூடிப்போகும். ஆனால், -7, 29, - 638,1115, 47/23, பை, 3+4.789i ,....... போன்ற எண்களுக்கு எல்லா இடத்திலும் ஒரே மதிப்பு மட்டுமே உண்டு. இது போன்ற பலக்கிய (complex) எண்களை, ஒரே மதிப்புக் கொண்ட முற்றகை எண்கள் என்பார். (absolute numbers = numbers with single value). x,y,z போன்றவை பல்மதிப்புக் கொண்டவை.
ஆறாம் வகை எண்கள் முழுமை எண்களாகும் (perfect numbers). ஒரு இயல் எண்ணை எடுத்துக் கொண்டு, ஏதெல்லாம் அதை வகுக்குமென்று பார்த்தும் அந்த வகுபடும் எண்களைக் கூட்டினால் எடுத்துக் கொண்ட இயலெண் வருமானால், கொடுக்கப் பட்ட இயலெண் முழுமை எண்ணாகும். காட்டாக 6 என்பதை எடுப்போம். இதை 1, 2, 3 ஆகியவை வகுக்கும். அதோடு, 1+2+3 = 6 என்றும் அமையும். எனவே 6 என்பது தான் முதல் முழுமையெண். அடுத்த முழுமையெண் 28. இதை 1,2,4, 7, 14 ஆகியவை வகுக்கும். தவிர, 1+2+4+7+14 = 28; மூன்றாவது முழுமையெண் 496. இதை 1, 2, 4, 8,16, 31, 62, 124, 248 ஆகியவை வகுக்கும். இவற்றைக் கூட்டினால், 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496 என்றாகும். நாலாவது முழுமையெண் 8128 ஆகும். (perfect number). = a natural number that is equal to the sum of its proper divisors) இது போல சிறப்பு எண்கள் பலவும் இயலெண்களில் உள்ளன. அவற்றைக் கண்டுபிடிப்பதே ஒரு விறுவிறுப்பான பொழுதுபோக்கு.
இனிப் பின்னங்களுக்கு வருவோம். பின்னப்படுவது பின்னம். பின்னல் = பிளத்தல், அதாவது வகுத்தல், உடைத்தல் பொருட்பாடுகளைக் கொண்டது. பின்னம் என்பது ஓரெண்ணை இன்னொரு எண்ணால் மீதமின்றி முற்றிலும் வகுத்துக்கொண்டே போனால் கிடைக்கும் எண்ணாகும் [fraction is a quotient of one number by another with no remainder.]. மேலெண்ணும் (numerator) , கீழெண்ணும் (denominator) தொகுவெண்ணாக (integer) இருந்தால் வகுத்துக் கிட்டும் எண்ணைப் பொதுகைப் பின்னம் என்பார். (common fraction) = both numerator and denominator are integers)
அடுத்த பின்னம் பலக்கிய பின்னம் (complex fraction). இதில் மேலெண்ணும், கீழெண்ணுமே கூடப் பின்னங்களாய் இருக்கலாம் [(1/2)/(11/29) = [(1*29)/(2*11)] = [29/22] {complex fraction = the numerator and denominator are themselves fraction]
அடுத்தது ஒழுங்குப் பின்னம் (proper fraction). கீழெண்ணைக் காட்டிலும் மேலெண் சிறியதாய் இருக்கவேண்டும். (the numerator is less than the denominator).
நாலாவது ஒழுங்கிலாப் பின்னம் (improper fraction) கீழெண்ணைக் காட்டிலும் மேலெண் பெரிதானது. (the numerator is larger than denominator)
ஐந்தாவது கலவைப் பின்னம் (mixed fraction) ஒரு தொகுவெண்ணும் ஒழுங்குப் பின்னமும் சேர்ந்தது (an integer together with a proper fraction)
ஆறாவது பகுதிப் பின்னங்கள் (partial fraction): இப்பின்னங்களைப் பொருத்தியல் முறையிற் கூட்டி, அதன் விளைவால் கொடுக்கப்பட்ட பின்னம் கிடைக்குமானால், முதலில் எடுத்தவற்றைப் பகுதிப் பின்னங்கள் என்று அழைக்கலாம் (fractions whose algebraic sum is a given fraction) காட்டாக (1/2+3/4) = 5/4 = 1 1/4. 1/2 யும் 3/4 உம் 5/4 இன் பகுதிப் பின்னங்களாகும்.பகுதிப் பின்னங்களின் தலைக்கீழ்க் கருத்தீட்டை பின்ன உடைப்பு (decomposition of a fraction) என்பார். 5/4 எனும் பின்னத்தின் உடைப்பு 1/2, 3/4 ஆகியவையாகும்.
ஏழாவது தொடர் பின்னம் (continued fraction) எனப்படும். இது ஒன்றின் கீழ் ஒன்றாக தொடர்ந்து கொண்டே போகும் பின்னமாகும் (1+(1+(1+(1+((((((.....................x))))))).........) கணித மேதை இராமானுசன் தொடர் பின்னங்களில் புகுந்து விளையாடியுள்ளார். அவற்றைப் படித்து அவர் அறிவை வியக்காது இருக்கமுடியாது.
அடுத்த பகுதியில் LCM, HCF போன்றவற்றிற்கு வருவோம்.
அன்புடன்,
இராம.கி.
இக்காலத்தில் எண்ணியற் படிப்பில் எல்லாவற்றையும் கொத்துத் தேற்றின் (set theory) அடிப்படையிலே சொல்லிக் கொடுக்கிறார். கொத்து என்பது ஒரு தொகுதி. ”கொத்தின் உள்ளுமங்கள் (elements of the set) எவை? உள்ளுமங்கள் இடையிருக்கும் பிணைப்புறவு (combining relation) என்ன? இக்கொத்தை இன்னொன்றாய் உருமாற்ற முடியுமா? அதற்கான முகப்பு (map) என்ன? இக் கொத்தை (வேறு கொத்தை நோக்கிச் செலுத்தாமல்) இதன் மேலேயே செலுத்துமாப் போல முகக்க (to map) முடியுமா? கொத்தினுள் ஒற்றுள்ளுமம் (identity element) எது? கொத்தின் உள்ளுமங்களுக்கு (elements) எதிருள்ளுமம் (inverse element) உண்டா?” என்ற கேள்விகளை இத்தேற்றில் எழுப்புகிறார். இக் கேள்விகளுக்கு விடைகள் தேடுவதால் கொத்தின் இயல்புகள் கற்போருக்குத் தெள்ளத் தெரிவாகத் தெரிகின்றன. பின் அந்த இயல்புகளை வைத்து, புதுப் புதுப் புதிரிகளைப் (problems) போடுகிறார். அப்புதிரிகளைத் தீர்க்கும் போது ”பொருளுள்ள தன்மையும் (meaningful character) , ஒத்திசைவும் (consistency) தெரிகின்றனவா?” என்று பார்க்கிறார்.
இப்படிப் பார்க்கும் கொத்திற்குள் ஒரு பிணைப்புறவு மட்டுமே அமைய வேண்டும் என்றில்லை. 2,3 பிணைப்புறவுகள் இருக்கலாம் அதேபோல ஒரேயொரு ஒற்றமே (identity) இருக்க வேண்டும் என்பதில்லை. உள்ளக எண் (Real numer) கொத்தில் இருப்பது போல், கூட்டல், பெருக்கல் என்று 2 பிணைப்பு உறவுகளும், ஒரு பிணைப்புறவிற்கு ஒன்றாய் 0,1 என்று இரு ஒற்றங்களும் இருக்கலாம். இத்தனையாண்டுக் காலக் கணிதவளர்ச்சியில் விதவிதமான கொத்துகளை அடையாளம் கண்டுள்ளார். குழுக்கள் (groups), வலயங்கள் (rings), புலங்கள் (fields), வேயர் வெளிகள் (vector spaces), பொருத்துகள் (algebras) என்று பல்வேறு கட்டுக்கூறுகள் (categories) அடுத்தடுத்து எழுந்துள்ளன. இக் கட்டுக்கூறுகளின் முழு விவரிப்பும் சொல்லப் புகின் அது பெரிதாய் விரியும்.
ஒரு கொத்திற்கடியில் இன்னொரு கொத்துக்கூடப் பின்புலத்தில் இருக்கலாம். காட்டாக வேயர் வெளியின் பின்புலமாய் ”உள்ளக அளவர்ப் புலம் (real scalar field)” அமைந்திருக்கும். [வேயர் வெளியின் அமைப்பு ஒன்றின் மேல் இன்னொன்றாய், மாடிவீடு கட்டினாற் போல் அமையலாம்.] இற்றைப் பூதியலில் (physics), குறிப்பாக மாகனவியலிலும் (mechanics), கணுத்த மாகனவியலிலும் (continuum mechanics), விளவ மாகனவியலிலும் (fluid mechanics), வேயர் வெளிகள் (vector spaces), தந்தர்ப் புலங்கள் (tensor fields) போன்றவை வெகுவாகப் பயன்படுகின்றன. இவற்றை அறியாமல் பூதியலில் எந்த வேலையும் இனிச் செய்ய முடியாத நிலைக்கு நாம் வந்துவிட்டோம். அதே போல மடிக்கைகள் (matrices), தீர்மானன்கள் (determinants) அறியாமல் கணிதத்தில் பலவற்றையும் செய்யமுடியாது என்ற நிலை ஆகிவிட்டது.
{தந்தர் என்ற சொல்லின் விளக்கத்தின் சுருங்க இங்கு சொல்லவேண்டும் என்பதால் சற்று இடைவிலகுகிறேன். தந்து என்ற சொல் தமிழில் நூலையும், மெல்லிய கயிற்றையும் குறிக்கும். தந்தின் நீட்சியான தந்தி என்பது மாழைக் கம்பியைக் (metal wire) குறிக்கும். தந்தித்தல் என்ற வினை நூல் நூற்றலைக் குறிக்கும். நூற்பது என்பது நாம் கொடுக்கும் இழுவிசையால் (drawing force) ஏற்படும் செய்கையாகும். இழுவிசை என்ற சொல் நாம் கொடுக்கும் விசையைப் பொதுவாய்க் குறிக்க, தந்த விசை என்பது தந்தின் உள்ளே துலங்கும் விதப்பான tensile force ஐக் (தந்தில் இருக்கும் விசையைக்) குறிக்கும். சுருக்கமாய் tension என்பதைத் தந்தம் என்றே சொல்லலாம். தந்தர்(tensor) என்பது இழுக்கும் நிகழ்வையொட்டி நாருக்குள்/இழைக்குள் (filament) நடக்கும் எதிர்விளைத் தகைகளை (stresses) உணர்த்தும் சொல்லாகும்.
வேயம் என்ற சொல் vector -யை எப்படிக் குறிக்கிறதென்று இங்கு முழுதும் சொல்ல முற்படவில்லை. அதற்கும் wagon, carry, means of transport, vehicle போன்ற சொற்களுக்கும் உள்ள உறவை நம் பழைய பழக்கங்களை வைத்து இன்னொரு கட்டுரையில் விவரித்துச் சொல்லுவேன். இங்கு ஓரளவு குறிப்பு மட்டுமே காட்டுகிறேன். அவ்வளவு தான்.
தென்பாண்டி நாட்டில் அக்காலத்தில் திறந்துகிடக்கும் (மாட்டு)வண்டிகள் பாரம் தூக்குவதற்கும், (மாடு அல்லது குதிரை இழுக்கும்) கூட்டு வண்டிகள் ஆட்களைக் கொண்டுசெல்வதற்கும் பயனாகும். பெருந்தனக்காரர் வீடுகளில் 60/70 ஆண்டுகளுக்கு முன் கூட்டுவண்டி இலாத வீடே இருக்காது. கூட்டு வண்டியையே ஆங்கிலத்தில் wagon என்றார். மூங்கிற் கூரை கொண்டு வேயப்பட்ட வண்டி. ”கூட்டுவண்டி, வேய்ச்சகடு, வேய்வண்டி” என்று நம் மரபிற் சொல்லப் பெறும். பல நாட்டுப்புற வீடுகளில் வண்டியில் இருந்து கூட்டைக் கழற்றிப் பண்ணையிற் போட்டு வைத்திருப்பார். தேவைப்படும் போது, திறந்த வண்டியில் மூங்கிற் கூரையை எளிதாக மாட்டி ஆட்களைக் கொண்டுசெல்லும் வகையில் மாற்றலாம். ஆட்களைக் கொண்டுசெல்வது (to carry) என்றாலே வேய்தல் வினை உடன் வந்துவிடும். வேய்ச் சகட்டிற்குத் தேவையான மூங்கிலின் குச்சி, அம்பிற்கும் பயன்படும். இங்கு சொன்ன இருவேறு கருத்துக்களுக்கும் துணை நிற்பது மூங்கிலைக் குறிக்கும் வேய் எனும் சொல்லாகும். அதோடு எச் சகட்டுப் பயணமும் (வண்டிப் பயணமும்) ஒரு திசையை நோக்கியே அமையும். திசை, தொலைவு, கூடுகை என்ற மூன்று தன்மைகளையும் உணர்த்தும் சொல் வேய்> வேயர் என்றாகும் தொடர்புள்ள ஆங்கில விளக்கத்தைக் கீழே தருகிறேன்.
[ vector = "quantity having magnitude and direction," 1704, from L. vectophysics) r "one who carries or conveys, carrier," from pp. stem of vehere "carry, convey" (see vehicle) - vehicle 1612, "a medium through which a drug or medicine is administered," 1615 in the sense of "any means of conveying or transmitting," from Fr. véhicule, from L. vehiculum "means of transport, a vehicle," from vehere "to carry," from PIE *wegh- "to go, transport in a vehicle" (cf. O.E. wegan "to carry;" O.N. vegr, O.H.G. weg "way;" M.Du. wagen "wagon;" see wagon). Sense of "cart or other conveyance" first recorded 1656.]}
கொத்துத் தேற்று (set theory) கற்ற பின்னால் படிப்படியாக எண்ணியலும் (arithmetics), பொருத்தியலும் (algebra), வடிவியலும் (geometry), வகைப்புக் கலனம் (differential calculus), தொகைப்புக் கலனம் (integral calculus) அடங்கிய பகுப்பு அலசலும் (analysis), இடப்பியலும் (topology) முகனக் கணிதத்திற் கற்பிக்கப் படுகின்றன. இன்னும் உயர்நிலைக் கணிதமாய் பொருத்து வடிவியல் (algebraic geometry), வகைப்பு இடப்பியல் (differential topology), வகைப்பு வடிவியல் (differential geometry) என்று மேலும் விரிகின்றன. ஆர்வம் மட்டும் நமக்கிருந்தால், முகனக் கணிதம் நம்மை பெரிதும் ஈர்த்திழுக்கும் படிப்பேயாகும்.
--------------------------------------------------
இனிச் சில உதிரியெண்களையும் பின்னங்களையும் பார்ப்போம்.
முதலாவதாகப் பார்க்கப் போவது குவையெண்ணாகும் (cardinal number). ஒவ்வொரு கொத்திலும் இருக்கும் மொத்த உள்ளுமங்கள் (elements) எத்தனை என்று கூட்டிச் சொல்லக் கூடிய எண்ணை குவையெண் [cardinal number = a number that indicates the number of elements in a set] என்பார்.
அடுத்தது வரிசையெண். 10 உள்ளுமங்கள் ஒரு கொத்தில் உள்ளன. அவற்றில் எது முதலாவது, எது இரண்டாவது என வரிசைப்படுத்திச் சொன்னால் அந்த எண்ணிற்கு வரிசையெண் (ordinal number) என்று பெயர். ஒரு கொத்தில் (2, 4, 6, 8, 10.........) என்று இருக்கிறது. இதில் 2 என்று உள்ளுமத்தின் வரிசையெண் 1. 4 இன் வரிசையெண் 2, ...... இப்படி வரிசையாய்ப் போய்க்கொண்டிருக்கும். எல்லாக் கொத்திற்குள்ளும் வரிசையெண் சொல்லும் தேவையில்லை. வரிசையெண்களே இல்லாதும் ஒரு கொத்து இருக்கலாம். [ordinal mumber = a number denoting the position in a sequence e.g. first, second, third]
அடுத்தது கூட்டெண். நம் கண் முன்னே பல்வேறு பொருட்கள் இருக்கின்றன. அவற்றின் மொத்தத் தொகையைக் கூட்டியறிய வேண்டும். காட்டாகச் சில வாக்கியங்களைப் பார்ப்போம்.
i) 24 பொருட்கள் இருக்கின்றன.
ii) 437 உள்ளுமங்கள் இந்தக் கொத்தில் உள்ளன.
iii) எண்ணற்ற எண்கள் இயலெண் கொத்தில் உள்ளன.
இப்படிக் கொத்தின் உள்ளிருக்கும் பொருள்களைக் கூட்டிச் சொல்வதை கூட்டெண்கள் என்பார். கூட்டெண்கள் முதலாம் எண்ணிற் தொடங்கிப் போய்க் கொண்டிருக்குமே ஒழிய, சுழி (zero), நொகையெண்கள் (negative numbers) ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்காது. (counting number = A number used in counting objects, one of the set of positive integers.)
நாலாம் வகையெண்கள் கூட்டுப்பொதியெண்கள் எனப்பெறும். முன்னால் பெருமெண்கள் (prime numbers) பற்றிச் சொன்னோம் அல்லவா? பெருமெண்கள் அல்லாத தொகுவெண்கள் (integers) எல்லாம் கூட்டுப்பொதியெண்கள் எனப் பெறும். (composite number = A number that is not prime.)
ஐந்தாம் வகையெண்கள் முற்றகையெண்கள் (absolute numbers) ஆகும். பொருத்தியல் பற்றிச் சொல்லும் போது x, y, z என்று பொருத்திக் கொண்டு அவற்றை மற்ற எண்களைப் போலவே கையாண்டு கூட்டல், பெருக்கல், கழித்தல், வகுத்தல், மூலங்காணல் என்று பல்வேறு செய்முறைகளைச் செய்தோம் அல்லவா? அந்த x, y, z போன்ற எண்களுக்கு ஒரு மதிப்புத் தான் உள்ளதா எனில் அப்படிச் சொல்ல முடியாதென்றே சொல்லவேண்டும். குழி மாற்றுச் சமன்பாடுகளில் (quadratic equations) x ற்கு இரண்டு மதிப்பு இருந்தது. கனவச் சமன்பாடுகளில் (cubic equations) மூன்று மதிப்பும், நாலவச் சமன் பாடுகளில் (quartic equation) 4 மதிப்பும், கைவகச் சமன்பாடுகளில் (quintic equation) 5 மதிப்பும் எனக் கூடிப்போகும். ஆனால், -7, 29, - 638,1115, 47/23, பை, 3+4.789i ,....... போன்ற எண்களுக்கு எல்லா இடத்திலும் ஒரே மதிப்பு மட்டுமே உண்டு. இது போன்ற பலக்கிய (complex) எண்களை, ஒரே மதிப்புக் கொண்ட முற்றகை எண்கள் என்பார். (absolute numbers = numbers with single value). x,y,z போன்றவை பல்மதிப்புக் கொண்டவை.
ஆறாம் வகை எண்கள் முழுமை எண்களாகும் (perfect numbers). ஒரு இயல் எண்ணை எடுத்துக் கொண்டு, ஏதெல்லாம் அதை வகுக்குமென்று பார்த்தும் அந்த வகுபடும் எண்களைக் கூட்டினால் எடுத்துக் கொண்ட இயலெண் வருமானால், கொடுக்கப் பட்ட இயலெண் முழுமை எண்ணாகும். காட்டாக 6 என்பதை எடுப்போம். இதை 1, 2, 3 ஆகியவை வகுக்கும். அதோடு, 1+2+3 = 6 என்றும் அமையும். எனவே 6 என்பது தான் முதல் முழுமையெண். அடுத்த முழுமையெண் 28. இதை 1,2,4, 7, 14 ஆகியவை வகுக்கும். தவிர, 1+2+4+7+14 = 28; மூன்றாவது முழுமையெண் 496. இதை 1, 2, 4, 8,16, 31, 62, 124, 248 ஆகியவை வகுக்கும். இவற்றைக் கூட்டினால், 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496 என்றாகும். நாலாவது முழுமையெண் 8128 ஆகும். (perfect number). = a natural number that is equal to the sum of its proper divisors) இது போல சிறப்பு எண்கள் பலவும் இயலெண்களில் உள்ளன. அவற்றைக் கண்டுபிடிப்பதே ஒரு விறுவிறுப்பான பொழுதுபோக்கு.
இனிப் பின்னங்களுக்கு வருவோம். பின்னப்படுவது பின்னம். பின்னல் = பிளத்தல், அதாவது வகுத்தல், உடைத்தல் பொருட்பாடுகளைக் கொண்டது. பின்னம் என்பது ஓரெண்ணை இன்னொரு எண்ணால் மீதமின்றி முற்றிலும் வகுத்துக்கொண்டே போனால் கிடைக்கும் எண்ணாகும் [fraction is a quotient of one number by another with no remainder.]. மேலெண்ணும் (numerator) , கீழெண்ணும் (denominator) தொகுவெண்ணாக (integer) இருந்தால் வகுத்துக் கிட்டும் எண்ணைப் பொதுகைப் பின்னம் என்பார். (common fraction) = both numerator and denominator are integers)
அடுத்த பின்னம் பலக்கிய பின்னம் (complex fraction). இதில் மேலெண்ணும், கீழெண்ணுமே கூடப் பின்னங்களாய் இருக்கலாம் [(1/2)/(11/29) = [(1*29)/(2*11)] = [29/22] {complex fraction = the numerator and denominator are themselves fraction]
அடுத்தது ஒழுங்குப் பின்னம் (proper fraction). கீழெண்ணைக் காட்டிலும் மேலெண் சிறியதாய் இருக்கவேண்டும். (the numerator is less than the denominator).
நாலாவது ஒழுங்கிலாப் பின்னம் (improper fraction) கீழெண்ணைக் காட்டிலும் மேலெண் பெரிதானது. (the numerator is larger than denominator)
ஐந்தாவது கலவைப் பின்னம் (mixed fraction) ஒரு தொகுவெண்ணும் ஒழுங்குப் பின்னமும் சேர்ந்தது (an integer together with a proper fraction)
ஆறாவது பகுதிப் பின்னங்கள் (partial fraction): இப்பின்னங்களைப் பொருத்தியல் முறையிற் கூட்டி, அதன் விளைவால் கொடுக்கப்பட்ட பின்னம் கிடைக்குமானால், முதலில் எடுத்தவற்றைப் பகுதிப் பின்னங்கள் என்று அழைக்கலாம் (fractions whose algebraic sum is a given fraction) காட்டாக (1/2+3/4) = 5/4 = 1 1/4. 1/2 யும் 3/4 உம் 5/4 இன் பகுதிப் பின்னங்களாகும்.பகுதிப் பின்னங்களின் தலைக்கீழ்க் கருத்தீட்டை பின்ன உடைப்பு (decomposition of a fraction) என்பார். 5/4 எனும் பின்னத்தின் உடைப்பு 1/2, 3/4 ஆகியவையாகும்.
ஏழாவது தொடர் பின்னம் (continued fraction) எனப்படும். இது ஒன்றின் கீழ் ஒன்றாக தொடர்ந்து கொண்டே போகும் பின்னமாகும் (1+(1+(1+(1+((((((.....................x))))))).........) கணித மேதை இராமானுசன் தொடர் பின்னங்களில் புகுந்து விளையாடியுள்ளார். அவற்றைப் படித்து அவர் அறிவை வியக்காது இருக்கமுடியாது.
அடுத்த பகுதியில் LCM, HCF போன்றவற்றிற்கு வருவோம்.
அன்புடன்,
இராம.கி.
No comments:
Post a Comment