Monday, May 03, 2010

எண்ணியல் - 6

இந்தப் பகுதியில் முகனக் கணிதத்தின் (modern mathematics) வழி கொத்துக்களின் வகைகள் பற்றியும், கொத்துத் தேற்று (set theory) பற்றியும் ஒருசில பார்த்துவிட்டுச் ”சில்லும் சிறிசுமாகப்” ஒரு சில எண்களையும் பின்னங்களையும் பற்றிச் சொல்லப் போகிறேன்.

இந்தக் காலத்தில் எண்ணியற் படிப்பில் எல்லாவற்றையும் கொத்துத் தேற்றின் (set theory) அடிப்படையிலேயே சொல்லிக் கொடுக்கிறார்கள். கொத்து என்பது ஒரு தொகுதி. ”கொத்தின் உள்ளுமங்கள் (elements of the set) எத்தனை? உள்ளுமங்களிடை இருக்கும் பிணைப்புறவு (combining relation) என்ன? இந்தக் கொத்தை இன்னொன்றாய் உருமாற்ற முடியுமா? அதற்கான முகப்பு (map) என்ன? இந்தக் கொத்தை (வேறு கொத்தை நோக்கிச் செலுத்தாமல்) இதன் மேலேயே செலுத்துமாப் போல முகக்க (to map) முடியுமா? கொத்தினுள் ஒற்றுள்ளுமம் (identity element) எது? கொத்தின் உள்ளுமங்களுக்கு (elements) எதிருள்ளுமம் (inverse element) உண்டா?” என்ற கேள்விகளை இந்தத் தேற்றில் எழுப்புகிறார்கள். இந்தக் கேள்விகளுக்கு விடைகள் தேடுவதன் மூலம் கொத்தின் இயல்புகள் கற்போருக்குத் தெள்ளத் தெரிவாகத் தெரிகின்றன. பின் அந்த இயல்புகளை வைத்துக் கொண்டு, புதுப்புதுப் புதிரிகளைப் (problems) போடுகிறார்கள். அந்தப் புதிரிகளைத் தீர்க்கும் போது ”பொருளுள்ள தன்மையும் (meaningful character) , ஒத்திசைவும் (consistency) தெரிகின்றனவா?” என்று பார்க்கிறார்கள்.

இப்படிப் பார்க்கும் கொத்திற்குள் ஒரேயொரு பிணைப்புறவு தான் அமைந்திருக்கவேண்டும் என்றில்லை. அதே போல ஒரேயொரு ஒற்றம் (identity) தான் இருக்கவேண்டும் என்பதில்லை. உள்ளக எண் (Real numer) கொத்தில் இருப்பது போல், கூட்டல், பெருக்கல் என்று இரண்டு பிணைப்புறவுகளும், ஒரு பிணைப்புறவிற்கு ஒரு ஒற்றமாய் 0,1 என்று இரு ஒற்றங்களும் இருக்கலாம். இத்தனையாண்டுக் காலக் கணித வளர்ச்சியில் விதம் விதமான கொத்துகளை அடையாளம் கண்டிருக்கிறார்கள். குழுக்கள் (groups), வலயங்கள் (rings), புலங்கள் (fields), வேயர் வெளிகள் (vector spaces), பொருத்துகள் (algebras) என்று பல்வேறு கட்டுக்கூறுகள் (categories) அடுத்தடுத்து எழுந்துள்ளன. இந்தக் கட்டுக்கூறுகளின் முழு விவரிப்பையும் சொல்லப் புகுந்தாற் பெரிதாய் விரியும்.

ஒரு கொத்திற்கு அடியில் இன்னொரு கொத்துக்கூடப் பின்புலத்தில் இருக்கலாம். காட்டாக வேயர் வெளியின் பின்புலமாய் ”உள்ளக அளவர்ப் புலம் (real scalar field)” அமைந்திருக்கும். [வேயர் வெளியின் அமைப்பு ஒன்றிற்கு மேல் இன்னொன்றாய், மாடிவீடு போல அமையலாம்.] இற்றைப் பூதியலில் (physics), குறிப்பாக மாகனவியலிலும் (mechanics), கணுத்த மாகனவியலிலும் (continuum mechanics), விளவ மாகனவியலிலும் (fluid mechanics), வேயர் வெளிகள் (vector spaces), தந்தர்ப் புலங்கள் (tensor fields) போன்றவை வெகுவாகப் பயன்படுகின்றன. இவற்றையறியாமல் பூதியலில் எந்த வேலையும் செய்யமுடியாத நிலைக்கு நாம் வந்து சேர்ந்துவிட்டோம். அதே போல மடிக்கைகள் (matrices), தீர்மானன்கள் (determinants) அறியாமல் கணிதத்தில் பலவற்றையும் செய்யமுடியாது என்ற நிலை ஆகிவிட்டது.

{தந்தர் என்ற சொல்லின் விளக்கத்தைச் சுருக்கமாகவாவது இங்கு சொல்லவேண்டும் என்பதால் சற்று இடைவிலகுகிறேன். தந்து என்ற சொல் தமிழில் நூலையும், மெல்லிய கயிற்றையும் குறிக்கும். தந்தின் நீட்சியான தந்தி என்பது மாழைக் கம்பியைக் (metal wire) குறிக்கும். தந்தித்தல் என்ற வினை நூல் நூற்றலைக் குறிக்கும். நூற்பது என்பது நாம் கொடுக்கும் இழுவிசையால் (drawing force) ஏற்படும் செய்கையாகும். இழுவிசை என்ற சொல் நாம் கொடுக்கும் விசையைப் பொதுவாய்க் குறிக்க, தந்த விசை என்பது தந்தின் உள்ளே துலங்கும் விதப்பான tensile force ஐக் (தந்தில் இருக்கும் விசையைக்) குறிக்கும். சுருக்கமாய் tension என்பதைத் தந்தம் என்றே சொல்லலாம். தந்தர்(tensor) என்பது இழுக்கும் நிகழ்வையொட்டி நாருக்குள்/இழைக்குள் (filement) நடக்கும் எதிர்விளைத் தகைகளை (stresses) உணர்த்தும் சொல்லாகும்.

வேயம் என்ற சொல் vector -யை எப்படிக் குறிக்கிறது என்று இங்கு முழுதும் சொல்ல முற்படவில்லை. அதற்கும் wagon, carry, means of transport, vehilcle போன்ற சொற்களுக்கும் உள்ள உறவை நம்முடைய பழைய பழக்கங்களை வைத்து இன்னொரு கட்டுரையில் இன்னும் விவரித்துச் சொல்லுவேன். இங்கு ஓரளவு குறிப்பு மட்டுமே காட்டுகிறேன். அவ்வளவுதான்.

தென்பாண்டி நாட்டில் அந்தக் காலத்தில் திறந்து கிடக்கும் (மாட்டு)வண்டிகள் பாரம் தூக்குவதற்கும், (மாடு அல்லது குதிரை இழுக்கும்) கூட்டு வண்டிகள் ஆட்களைக் கொண்டுசெல்வதற்கும் பயன்படும். பெருந்தனக்காரர் வீடுகளில் 60/70 ஆண்டுகளுக்கு முன்னால் கூட்டுவண்டி இல்லாத வீடு இருக்காது. கூட்டு வண்டியைத் தான் ஆங்கிலத்தில் wagon என்று சொன்னார்கள். மூங்கிற் கூரை கொண்டு வேயப்பட்ட வண்டி ”கூட்டுவண்டி, வேய்ச்சகடு, வேய்வண்டி” என்று நம் மரபிற் சொல்லப் பெறும். பல நாட்டுப்புற வீடுகளில் வண்டியில் இருந்து கூட்டைக் கழற்றிப் பண்ணையிற் போட்டு வைத்திருப்பார்கள். தேவைப்படும் போது, திறந்த வண்டியில் மூங்கிற் கூரையை எளிதாக மாட்டி ஆட்களைக் கொண்டுசெல்லும் வகையில் மாற்றிவிட முடியும். ஆட்களைக் கொண்டுசெல்வது (to carry) என்றாலே வேய்தல் வினை உடனே வந்துவிடும். வேய்ச்சகட்டிற்குத் தேவையான மூங்கிலின் குச்சி அம்பிற்கும் பயன்படும். இங்கு சொன்ன இருவேறு கருத்துக்களுக்கும் துணை நிற்பது மூங்கிலைக் குறிக்கும் வேய் என்ற சொல்லாகும். அதோடு எந்தச் சகட்டுப் பயணமும் (வண்டிப் பயணமும்) ஒரு திசையை நோக்கியே அமையும். திசை, தொலைவு, கூடுகை என்ற மூன்று தன்மைகளையும் உணர்த்தும் சொல் வேய்>வேயர் என்றாகும் தொடர்புள்ள ஆங்கில விளக்கத்தைக் கீழே தருகிறேன்.

[ vector = "quantity having magnitude and direction," 1704, from L. vectophysics) r "one who carries or conveys, carrier," from pp. stem of vehere "carry, convey" (see vehicle) - vehicle 1612, "a medium through which a drug or medicine is administered," 1615 in the sense of "any means of conveying or transmitting," from Fr. véhicule, from L. vehiculum "means of transport, a vehicle," from vehere "to carry," from PIE *wegh- "to go, transport in a vehicle" (cf. O.E. wegan "to carry;" O.N. vegr, O.H.G. weg "way;" M.Du. wagen "wagon;" see wagon). Sense of "cart or other conveyance" first recorded 1656.]}

கொத்துத்தேற்று (set theory) கற்றபின்னால் படிப்படியாக எண்ணியலும் (arithmetics), பொருத்தியலும் (algebra), வடிவியலும் (geometry), வகைப்புக் கலனம் (differential calculus), தொகைப்புக் கலனம் (integral calculus) அடங்கிய பகுப்பலசலும் (analysis), இடப்பியலும் (topology) முகனக் கணிதத்திற் கற்பிக்கப் படுகின்றன. இன்னும் உயர்நிலைக் கணிதமாய் பொருத்து வடிவியல் (algebraic geometry), வகைப்பு இடப்பியல் (differential topology), வகைப்பு வடிவியல் (differential geometry) என்று விரிகின்றன. ஆர்வம் மட்டும் நமக்கிருந்தால், முகனக் கணிதம் நம்மை பெரிதும் ஈர்த்திழுக்கும் படிப்பாகும்.

--------------------------------------------------
இனிச் சில உதிரியெண்களையும் பின்னங்களையும் பார்ப்போம்.

முதலாவதாகப் பார்க்கப் போவது குவையெண்ணாகும் (cardinal number). ஒவ்வொரு கொத்திலும் இருக்கும் மொத்த உள்ளுமங்கள் (elements) எத்தனை என்று கூட்டிச் சொல்லக் கூடிய எண்ணை குவையெண் [cardinal number = a number that indicates the number of elements in a set] என்று சொல்லுவார்கள்.

அடுத்தது வரிசையெண். 10 உள்ளுமங்கள் ஒரு கொத்தில் இருக்கின்றன. அவற்றில் எது முதலாவது, எது இரண்டாவது என்று வரிசைப்படுத்திச் சொன்னால் அந்த எண்ணிற்கு வரிசையெண் (ordinal number) என்று பெயர். ஒரு கொத்தில் (2, 4, 6, 8, 10.........) என்று இருக்கிறது. இதில் 2 என்று உள்ளுமத்தின் வரிசையெண் 1. 4 இன் வரிசையெண் 2, ...... இப்படியே வரிசையாய்ப் போய்க்கொண்டிருக்கும். எல்லாக் கொத்திற்குள்ளும் வரிசையெண் சொல்லவேண்டிய தேவையில்லை. வரிசையெண்களே இல்லாது ஒரு கொத்தும் இருக்கலாம். [ordinal mumber = a number denoting the position in a sequence e.g. first, second, third]

அடுத்தது கூட்டெண். நம் கண் முன்னே பல்வேறு பொருட்கள் இருக்கின்றன. அவற்றின் மொத்தத் தொகையைக் கூட்டி அறியவேண்டும். காட்டாகச் சில வாக்கியங்களைப் பார்ப்போம்.
i) 24 பொருட்கள் இருக்கின்றன.
ii) 437 உள்ளுமங்கள் இந்தக் கொத்தில் உள்ளன.
iii)எண்ணற்ற எண்கள் இயலெண் கொத்தில் உள்ளன.
இப்படிக் கொத்தின் உள்ளே யிருக்கும் பொருள்களைக் கூட்டிச் சொல்லுவதை கூட்டெண்கள் என்று சொல்லுவார்கள். கூட்டெண்கள் ஒன்றாம் எண்ணிற் தொடங்கிப் போய்க் கொண்டிருக்குமேயொழிய, சுழி (zero), நொகையெண்கள் (negative numbers) ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்காது. (counting number = A number used in counting objects, one of the set of positive integers.)

நாலாம் வகையெண்கள் கூட்டுப்பொதியெண்கள் என்று சொல்லப்பெறும். முன்னால் பெருமெண்கள் (prime numbers) பற்றிச் சொன்னோம் அல்லவா? பெருமெண்கள் அல்லாத தொகுவெண்கள் (intergers) எல்லாம் கூட்டுப்பொதியெண்கள் என்று சொல்லப்பெறும். (composite number = A number that is not prime.)

ஐந்தாம் வகையெண்கள் முற்றகையெண்கள் (absolute numbers) ஆகும். பொருத்தியல் பற்றிச் சொல்லும் போது x, y, z என்று பொருத்திக் கொண்டு அவற்றை மற்ற எண்களைப் போலவே கையாண்டு கூட்டல், பெருக்கல், கழித்தல், வகுத்தல், மூலங்காணுதல் என்று பல்வேறு செய்முறைகளைச் செய்துகொண்டிருந்தோம் அல்லவா? அந்த x, y, z போன்ற எண்களுக்கு ஒரு மதிப்புத்தான் உள்ளதா என்றால் அப்படிச் சொல்ல முடியாது என்றே சொல்லவேண்டும். குழிமாற்றுச் சமன்பாடுகளில் (quadratic equations) x ற்கு இரண்டு மதிப்பு இருந்தது. கனவச் சமன்பாடுகளில் (cubic equations) மூன்று மதிப்பும், நாலவச் சமன்பாடுகளில் (quartic equation) 4 மதிப்பும், கைவகச் சமன்பாடுகளில் (quintic equation) 5 மதிப்பும் எனக் கூடிக் கொண்டே போகும். ஆனால், -7, 29, - 638,1115, 47/23, பை, 3+4.789i ,....... போன்ற எண்களுக்கு எல்லா இடத்திலும் ஒரே மதிப்பு மட்டுமேயுண்டு. இது போன்ற பலக்கிய (complex) எண்களை, ஒரே மதிப்புக் கொண்ட முற்றகை எண்கள் என்று சொல்லுவார்கள் (absolute numbers = numbers with single value). x,y,z போன்றவை பல்மதிப்புக் கொண்டவை.

ஆறாம் வகை எண்கள் முழுமையெண்களாகும் (perfect numbers). ஒரு இயலெண்ணை எடுத்துக் கொண்டு அதை ஏதெல்லாம் வகுக்கும் என்று பார்த்தும் அந்த வகுபடும் எண்களைக் கூட்டினால் எடுத்துக் கொண்ட இயலெண் வருமானால், கொடுக்கப் பட்ட இயலெண் முழுமையெண்ணாகும். காட்டாக 6 என்பதை எடுப்போம். இதை 1, 2, 3 ஆகியவை வகுக்கும். அதோடு, 1+2+3 = 6 என்றும் அமையும். எனவே 6 என்பதுதான் முதல் முழுமையெண். அடுத்த முழுமையெண் 28. இதை 1,2,4, 7, 14 ஆகியவை வகுக்கும். தவிர, 1+2+4+7+14 = 28; மூன்றாவது முழுமையெண் 496. இதை 1, 2, 4, 8,16, 31, 62, 124, 248 ஆகியவை வகுக்கும். இவற்றைக் கூட்டினால், 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496 என்றாகும். நாலாவது முழுமையெண் 8128 ஆகும். (perfect number). = a natural number that is equal to the sum of its proper divisors) இது போல சிறப்பு எண்கள் பலவும் இயலெண்களில் உள்ளன. அவற்றைக் கண்டுபிடிப்பதே ஒரு விறுவிறுப்பான பொழுதுபோக்கு.

இனிப் பின்னங்களுக்கு வருவோம். பின்னப்படுவது பின்னம். இங்கே பின்னுதல் என்பது பிளத்தல், அதாவது வகுத்தல், உடைத்தல் என்ற பொருட்பாடுகளைக் கொண்டது.

பின்னம் என்பது ஓரெண்ணை இன்னொரு எண்ணால் மீதமின்றி முற்றிலும் வகுத்துக் கொண்டே போனால் கிடைக்கும் எண்ணாகும் [fraction is a quotient of one number by another with no remainder.].

மேலெண்ணும் (numerator) , கீழெண்ணும் (denominator) தொகுவெண்ணாக (integer) இருந்தால் வகுத்துக் கிடைக்கும் எண்ணைப் பொதுகைப் பின்னம் என்று சொல்வார்கள். (common fraction) = both numerator and denominator are integers)

அடுத்த பின்னம் பலக்கிய பின்னம் (complex fraction). இதில் மேலெண்ணும், கீழெண்ணுமே பின்னங்களாய் இருக்கலாம் [(1/2)/(11/29) = [(1*29)/(2*11)] = [29/22] {complex fraction = the numerator and denominator are thamselves fraction]

அடுத்தது ஒழுங்குப் பின்னம் (proper fraction). கீழெண்ணைக் காட்டிலும் மேலெண் சிறியதாய் இருக்கவேண்டும். (the numerator is less than the denominator).

நாலாவது ஒழுங்கிலாப் பின்னம் (improper fraction) கீழெண்ணைக் காட்டிலும் மேலெண் பெரிதானது. (the numerator is larger than denominator)

ஐந்தாவது கலவைப் பின்னம் (mized fraction) ஒரு தொகுவெண்ணும் ஒழுங்குப் பின்னமும் சேர்ந்தது (an integer together with a proper fraction)

ஆறாவது பகுதிப் பின்னங்கள் (partial fraction): இந்தப் பின்னங்களைப் பொருத்தியல் முறையிற் கூட்டிக் கொடுக்கப்பட்ட பின்னம் கிடைக்குமானால், இவற்றைப் பகுதிப் பின்னங்கள் என்றழைக்கலாம் (fractions whose algebraic sum is a given fraction) காட்டாக (1/2+3/4) = 5/4 = 1 1/4. 1/2 யும் 3/4 உம் 5/4 இன் பகுதிப் பின்னங்களாகும்.பகுதிப் பின்னங்களின் தலைக்கீழ்க் கருத்தீட்டை பின்ன உடைப்பு (decomposition of a fraction) என்று சொல்லுவார்கள். 5/4 என்னும் பின்னத்தின் உடைப்பு 1/2, 3/4 ஆகியவையாகும்.

ஏழாவது தொடர் பின்னம் (continued fraction) என்று சொல்லப்படும். இது ஒன்றின் கீழ் ஒன்றாக தொடர்ந்து கொண்டே போகும் பின்னமாகும் (1+(1+(1+(1+((((((.....................x))))))).........) நம்முடைய கணித மேதை இராமானுசன் இந்தத் தொடர்பின்னங்களில் புகுந்து விளையாடியிருக்கிறார். அவற்றைப் படித்து அவர் அறிவை வியக்காது இருக்கமுடியாது.

அடுத்த பகுதியில் LCM, HCF போன்றவற்றிற்கு வருவோம்.

அன்புடன்,
இராம.கி.

No comments: