Tuesday, April 27, 2010

எண்ணியல் - 4

அடுத்தவகை எண்களைப் பார்ப்பதற்குமுன் பொருத்தியற் (algebra) கணிதம் பற்றிச் சொல்லவேண்டும். தொடக்க காலத்தில் கணிதம் என்றால், எண்ணியல் (Arithmetics), வடிவியல் (Geometry) என்று மட்டுமே பலரும் புரிந்து வைத்திருந்தனர். ஆனால் நாகரிகம் பெரிதும் உயர்ந்த மக்களிடம், அன்றாடக் கணக்காய்ச் சில புதிரிகள் (problems) கொஞ்சங் கொஞ்சமாய் புழங்கத் தொடங்கி, வேறொரு கணிதத்தை உணர்த்தின. ”ஏதோவோர் அறியா எண்ணைக் (unknown number) கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் போன்ற பல்வேறு செய்முறைகளுக்கு உட்படுத்தி, அதன் விளைவாய்க் கிடைத்கும் ஒரு வெளிப்பாட்டை (expression) இன்னொரு எண்ணுக்குச் சமப்படுத்தி, முன்னாற் குறியிட்ட அந்த அறியா எண் யாது?” என்று கேட்கும் புதிரிகள் ஏராளம் உண்டு. இது போன்ற புதிரிகளைச் சொல்லும் போது, இந்தக் காலமுறையில் அறியா எண்ணை x என்று எடுத்துக் கொண்டு ஒரு வெளிப்படையான சமன்பாடாக மாற்றிப் பின் அதைச் சுளுவியெடுக்கப் (to solve) போய்விடுவோம். அந்தக் காலத்தில் இப்படிச் செய்தவர்கள் மிகமிக அரிது. அந்தக் காலத்துக் கணக்குகள் எல்லாமே ”சொற்கள், வாக்கியங்கள்........மீண்டும் சொற்கள், வாக்கியங்கள்.........” என்றே சலிக்காமல் அமைந்திருந்தன. எங்குமே பொளிகளை (symbols) வைத்துக் சுருக்கென்று கணக்குச் செய்வது கிடையாது. [ஒரேயொரு புறனடை: எகிப்தில் இருந்த கிரேக்கரான தைவாண்டசு (Diphantus). இவர் ஒருவர் தான் பொளிகளை வைத்து மாற்றியெழுதிக் கணக்கைப் போட முயன்றவர். இதனாலேயே அவரைப் பொருத்தியற் தந்தை என்று சொல்வார் உண்டு.]

பொருத்தியற் கணக்கிற்குக் காட்டாக, பாபிலோனிய அரசன் அமுராபி காலத்தில் (கிட்டத்தட்ட கி.மு.1790) சுடுமண் தட்டங்களில் ஆப்பெழுத்துக்களில் எழுதிய ஒரு கணக்கு வருகிறது. “[The igib]um exceeded the igum by 7. What are [the igum and] and the igibum?" இங்கே igibum என்பது அக்கேடியன் மொழியில் எண்ணையும். igum என்பது அதன் எதிரெண்ணையும் குறிக்கும் சொற்களாகும். எதிரெண் என்பது இந்தக் கால முறையில் 1/x என்று சொல்லுவது போல் அமையாது. அது 1/x, 60/x, 3600/x என்று பல்வேறு எண்களைக் குறிக்கலாம். இடம், பொருள், ஏவல் பார்த்து புரிந்து கொள்ளவேண்டும். [மறந்து விடாதீர்கள், அந்தக் காலச் சுமேரிய, பாபிலோனிய நாகரிகங்கள் அறுபான்மான அடிப்படை எண்களைக் கொண்டவை. அதன் மிச்ச சொச்சத்தை இன்றும் நாம் காலத்தை அளக்கும் போது பயில்கிறோம். 60 நொடி (seconds) = 1 நுணுத்தம் (minute); 60 நுணுத்தம் = 1 மணி (hour) . 360 நாள் = ஒரு ஆண்டு (பின்னால் இது சற்று துல்லியமாகி 365.25 நாளுக்கு வந்தது வேறு கதை.) சுமேரியர்களை மறந்து இந்தக் கால அறிவியலை நாம் பேசிவிடமுடியாது.]

இந்த இடத்தில் அவர்கள் சொல்லியிருக்கும் செய்முறையை வைத்துப் பார்க்கும் போது எதிரெண் என்பது 60/x என்பதைக் குறித்திருக்கலாம் என்று தோன்றுகிறது. சரி, கணக்கிற்கு வருவோம். இதை அந்தக் காலமுறையில் எப்படிச் சொற்கள், வாக்கியங்கள் மூலம் சுளுவினார்கள் என்று சொன்னால், அது நமக்கு விளங்காமலேயே போகலாம். எனவே இந்தக் கால முறையில் அதை எழுதிக் காட்டுகிறேன்.

x-60/x = 7

மேலேயுள்ள சமன்பாட்டின் எங்கணும் x - ஆல் பெருக்கிப் பின் எல்லாத் தீர்மங்களையும் (terms) ஒரே பக்கத்திற்குக் கொண்டுவந்தால், x^2 -7x -60 = 0 என்றமையும். இது ஒரு குழியேற்றச் (quadratic) சமன்பாடு. இதன் தீர்வு காண்பதற்கான வாய்ப்பாட்டை நம் உயர்நிலைப் பள்ளிக்கூடத்திற் சொல்லிக் கொடுத்திருப்பார்கள். அதை மேலும் விளக்காமல் அப்படியே அந்த வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் கொள்கிறேன்.

x = [7 +- (7^2 +4*60)^(1/2)]/2 = [7+- (49+240)^(1/2)]/2 = [7+-17]/2 = (12) or (-5)

ஆக., அந்த அறியா எண் என்பது 12 ஆகவோ, -5 ஆகவோ இருக்கலாம். அந்தக் காலத்தில் நொகையெண்கள் என்ற கருத்தீடு சுற்றரவாகக் கிடையாது. எனவே பாபிலோனியர்களுக்கு விடை 12 மட்டும் தான். இதை அடையும் முறை அந்த சுடுமண் தட்டத்தில் (இற்றைக்கு 3800 ஆண்டுகளுக்கு முன்) பல்வேறு வரிகளின் மூலம் படிப்படியாகச் சொல்லப் பட்டிருக்கிறது. ஆக நாம் அறிந்தவரை, மாந்தனின் முதற் பொருத்தியற் புதிரி (first algebraic problem) 3800 ஆண்டுகளுக்கும் முந்தியது.

”எந்த அறியா எண்கள் கொடுத்த கணக்கில் பொருந்தும்? அல்லது இயலும்?” என்ற கேள்வியை வைத்தே இயல்கணிதம் என்ற சொல்லை algebra - விற்கு இணையாகச் சிலர் பரிந்துரைத்தார்கள். ஆனால் அதை அப்படியே தொடர நான் விரும்பவில்லை, ஏனென்றால், இயல் எண்கள் என்று natural numbers யை விளிப்பதனாலும், இயற்கை, இயல்பு என்று தொடர்புச் சொற்கள் வேறு கருத்தை நமக்கு உணர்த்துவதாலும், இயலுதலைக் காட்டிலும் “பொருத்துதல்” என்ற வினையைப் பயன்படுத்தி பொருத்தியல் என்று இங்கு நான் சொல்லுகிறேன். ஒவ்வொரு பொருத்தும் ஒரு match என்பதை உணர்த்துவதால், பொருத்தியல் என்ற சொல் பொருந்தும் என்றே எண்ணுகிறேன்.

பொருத்தியலின் தாக்கம் பலநாடுகளில் இருந்தது. இந்தியா, சீனா, பெர்சியா போன்றநாடுகளின் தாக்கம் இடைக்காலத்தில் அரபு அறிவியல் நடைமுறையில் பெரிதும் இருந்தது. Algebra என்ற சொல்லும் கூட இடைக்காலத்தில் அரபி மொழியில் தான் முதலில் எழுந்தது. பாக்தாதில் இருந்த புகழ்பெற்ற ஏழாவது கலீவா (Seventh Abbasid Caliph) அல் மமூன் அல்ரசீத் (al -Mamoun al-Rashid) காலத்தில் வாழ்ந்த அல் குவாரிசுமி (al-Khwarizmi) எழுதிய al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabbala (A Handbook of calculation by completion and Reduction) என்ற பொத்தகத்தில் தான் முதன்முதலில் பொருத்தியல் பேசப்பட்டது. ”நிறைத்து வெளித்தல்” என்று அரபியிற் சொல்லும் கூட்டுவினையைத் தான் பொருத்துதல் என்ற தனி வினை மூலம் சொல்ல முயலுகிறேன்.

இது போன்ற கணக்குகள் பாபிலோனியரிடம் மட்டும் இல்லை, அவருக்கு மேற்கில் இருந்த எகுப்தியரிடமும் இருந்திருக்கின்றன. கிழக்கில் இருந்த சிந்து சமவெளியிலும் இருந்திருக்கவேண்டும். [இன்னும் சிந்து சமவெளிக் குறியீடுகளை ஒழுங்காகப் படிக்கமுடியாது இருக்கிறோம்.] தமிழராகிய நம்மிடமும் இருந்திருக்கின்றன. ”ஒரு குளத்தில் இருந்த தாமரை மலர்களில் ஒரு மலருக்கு ஒரு புறா உட்கார்ந்தால் 5 புறாக்களுக்கு இடமில்லை. ஒரு பூவில் இரண்டிரண்டு புறாக்களாய் அமர்ந்தால் 5 பூக்கள் மிஞ்சும் . மொத்தம் எத்தனை புறாக்களும் பூக்களும் குளத்தில் இருந்தன? “ என்ற கணக்கை என் இளமைப் பருவத்திற் கேட்டிருக்கிறேன். அதுபோல பல கணக்குகளை நம்மூர்க் காரிநாயனாரின் “கணக்கதிகாரம்” சொல்லும். கூட்டுத்தொகைக் கணக்குகள், பின்னப்பங்குக் கணக்குகள், பங்கிடுதற் கணக்குகள், சரிக்குச்சரி கணக்குகள், பூக்கள் கணக்குகள், சந்தைக் கணக்குகள், பிரித்துக் கொடுத்தற் கணக்குகள், சக்கரக் கணக்குகள், கூட்டுவிலை காணற் கணக்குகள், தனித்த கணக்குகள், தொகைக் கணக்குகள், கணக்குப் பாடல்கள் என்று பன்னிருவகைக் கணக்குகளை அது பாடவடிவிற் சொல்லும். மாதிரிக்கு ஒரு நீளக் கணக்கை மட்டும் இங்கு சொல்லுகிறேன்.

தென்னவன் அனைய கோமான் தேவிமார் மூன்று பெண்கள்
பொன்னகர் காவில் ஏகிப் பூவது பறிக்கச் சென்றார்
அன்னவர் தனித்த னிய்யாய் அதிகமும் மூன்று பூவாய்த்
தன்னிலே பறித்து மீண்டும் சரிவரப் பங்கு வைத்தார்

வைத்ததோர் ஒருத்தி பங்கில் மாதேவர் தமக்குப் பாதி
சிற்றிடை வள்ளி பங்கர் செந்திலார்க்கு ஐந்தில் ஒன்று
நற்றமிழ்க் கணப திக்கு நாலிலே யொன்று போக
மற்றதோர் பூவுங் கொண்டு மனையது தன்னில் வந்தாள்

வந்தபின் தந்தை யர்க்கு வாகுடன் பாதி யீந்தாள்
சுந்தர வடிவின் நல்லாள் தோழியர்க்கு ஐந்தில் ஒன்று
விந்தைசேர் கணவ னுக்கு விரும்பியே பத்தில் ஒன்று
தந்திர மாக ஈய்ந்து தான்சில பூவை வைத்தாள்

வைத்ததோர் பூவு தன்னில் வளம்பெற நாலைம் பூவை
உத்தம தானம் ஈய்ந்தாள் ஒளிபெற ஒன்பது பூவைப்
பெற்றதோர் பிள்ளைக்கு ஈந்தாள் பேதையும் ஒருபூ வைத்தாள்
முத்தமிழ்க் கணக்கர் எல்லாம் மோசமில் லாமற் செய்வீர்

இந்த நாலு பாடலின் வழி மூன்று வேறிகளால் [variables] ஆன சமகால இழுனைச் சமன்பாடுகள் [Simultaneous Linear Equations] சொல்லப் படுகின்றன. முத்தமிழ்க் கணக்கராகிய நாம் மோசமில்லாது செய்வோமா?

மூன்று தேவிகளும் பறித்த பூக்கள் x,y,z என்று பொருத்திக் கொள்ளுவோம்.

முதல் பாட்டின் மூன்றாம் வரி மூலம் y = x+3, z = y+3 என்று இரு சமன்பாடுகளை அறிகிறோம்.

அடுத்து முதற்பாட்டின் நாலாவது வரிமூலம் ஒரு தேவிக்குக் கிடைத்த பூக்கள் = (x+y+z)/3 என்று அறிகிறோம்.

இரண்டாவது பாட்டின் முதல் வரி மூலம், மாதேவருக்கு இட்ட பூக்கள் = [(x+y+z)/3]/2 என்று அறிகிறோம்.
இரண்டாவது பாட்டின் இரண்டாம் வரி மூலம் முருகருக்கு இட்ட பூக்கள் = [(x+y+z)/3]/5 என்று அறிகிறோம்.
இரண்டாம் பாட்டின் மூன்றாம் வரியின் மூலம் பிள்ளையாருக்கு இட்ட பூக்கள் = [(x+y+z)/3]/4 என்று அறிகிறோம்.
எனவே கோயிலிற் கொடுத்தது போக,
ஒரு தேவி வீட்டிற்குக் கொண்டுவந்தது = (x+y+z)/3 - [(x+y+z)/3]/2 - [(x+y+z)/3]/5 -[(x+y+z)/3]/4 = (x+y+z)/3[1-1/2- 1/5 - 1/4] = [(x+y+z)/3]*(1/20)
= (x+y+z)/60
இனி வீட்டில்,
தந்தைக்குக் கொடுத்தது = [(x+y+z)/60]/2
தோழிக்குக் கொடுத்தது = [(x+y+z)/60]/5
கணவனுக்குக் கொடுதது = {(x+y+z)/60]/10
அவளிடம் மிஞ்சியது = [(x+y+z)/60]*[1-1/2-1/5-1/10] = (x+y+z)/60]*(1/5) = (x+y+z)/300

அடுத்துத்
தானம் கொடுத்தது = 4*5 = 20
பிள்ளைக்குக் கொடுத்தது = 9
தன்னிடம் கடைசியாய் இருந்தது = 1
ஆக அவளிடம் எஞ்சியது = 20+9+1 = 30

மேலே உள்ளதை மீண்டும் யோசித்தால் (x+y+z)/300 என்பது 30 ற்குச் சமமாக அமைந்து மூன்றாவது சமன்பாட்டைக் கொடுக்கும்.
எனவே (x+y+z) = 300*30 = 9000 பூக்கள் ஆகும்.
இது போக, இன்னும் இரு சமன்பாடுகள் நமக்கு ஏற்கனவே தெரியும் அவை y = x+3, z= y+3

மேலேயுள்ள மூன்று சமன்பாடுகளையும் ஒருங்குசேரச் சுளுவியெடுத்தால், (y-3)+y+(y+3) = 9000; y = 3000; x = 2997; z = 3003 என்ற விடைகள் கிடைக்கும்.

இதுபோல நூற்றுக்கணக்கான புதிரிகள் கணக்கதிகாரத்தில் இருக்கின்றன. வடபுலத்திலும் உண்டு. மற்ற நாகரிகங்களிலும் எழுந்தன. இந்தக் கணக்குத் தொகுதிகளில் 4, 5 வேறிகளைக் கொண்டு சமகால இழுனைச் சமன்பாடுகளாய் இருப்பது ஒருவிதக் கணக்காகும். இன்னொரு வகை முன்னே சொன்ன பாபிலோனியக் கணக்குப் போல் உயர்பாகை இழுனாச் சமன்பாடுகளாய் (Higher degree non-linear equations) அமைவது வேறுவிதக் கணக்காகும். இனி அல்-குவாரிசுமி காட்டிய கணக்கிற்கு வருவோம்.

“ஒரு மூலச் சதுரமும் பத்து மடங்கு மூலமும் சேர்ந்து 39 திர்காமுக்கு விலைபெறும் என்றால் மூலத்தின் அலகு என்ன?”

நாம் அறியா எண் (the unknown number) என்பதை மூலம் (root) என்றே அந்தக் காலத்தில் பயின்றிருக்கிறார்கள். இப்பொழுது வருக்க மூலம் என்ற சொல் வேறு பொருள் தருவதால், மூலம் என்ற பயில்வு கணிதத்தில் இந்த அலகைக் குறிப்பதில்லை.

(square of the unknown plus ten times the unknown equals 39)
i.e. x^2+10*x = 39;
x^2+10x-39 = 0

இதை அல்குவாரிசுமியின் பொத்தகத்தில் எப்படிச் சுளுவியெடுக்கிறார்கள் என்று சொல்லாமல் நேரடியாக குழியேற்ற வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி விடையை நாம் எழுதிவிடலாம்

x = [-10 +- (10^2 +4*39)^(1/2)]/2 = [-10+- (100+156)^(1/2)]/2 = [-10+-16]/2 = (3) or (-13)

பாபிலோனியக் கணக்கிலும், அல்குவாரிசுமிக் கணக்கிலும் வரும் சமன்பாடுகளை இந்தக் காலக் கணிதத்தில் தொகுவெண் கெழுக்கள் (integer coefficients) கொண்ட பலனச் சமன்பாடுகள் (polynomial equation) என்று சொல்லுவார்கள்.

குழியேற்றச் சமன்பாடுகள் (quadratic equations),
கனவச் சமன்பாடுகள் (cubic equation),
நாலவச் சமன்பாடுகள் (quartic equation),
கைவகச் சமன்பாடுகள் (quintic equation)

என்று பல்வேறு சமன்பாடுகள் எழமுடியும். இந்தச் சமன்பாடுகளின் தீர்வு ஓர் உள்ளக எண்ணாகவோ (real number), பலக்கிய எண்ணாகவோ (complex number) அமையும். இத்தகைய தீர்வெண்களைப் பொருத்தெண்கள் (algebraic numbers) என்று எண்ணியலிற் சொல்வார்கள்.

பொருத்தெண் = algebraic number = a number, real or complex, that is the root of a polynomial equation with integer coefficients.

மேலே உள்ளதைப் படித்தால் எல்லாவிதமான உள்ளக எண்களும், பலக்கிய எண்களும் பொருத்தெண்கள் தானே? பொருத்தெண்கள் அல்லாது வேறுவகை எண்கள் உண்டா? - என்ற கேள்வி எழலாம். அடுத்த பகுதியில் பொருத்தெண்ணுக்கு மாற்றாக இன்னொரு வகை எண்ணைப் பார்ப்போம்.

அன்புடன்,
இராம.கி.

2 comments:

Arun said...

nalla thagavalgal ulla pathivu. nandrigal.

இராம.கி said...

அன்பிற்குரிய அருண்,

வருகைக்கும் கனிவிற்கும் நன்றி.

அன்புடன்,
இராம.கி.