Wednesday, April 28, 2010

எண்ணியல் - 5

குழிமாற்றுக் கணக்குகளில் (அதாவது, பரப்பைக் கண்டுபிடிக்கும் கணக்குகளில்) சதுரம், செவ்வகம் ஆகியவற்றின் பக்கங்களைக் கொடுத்துப் பரப்புக் காணவும், பரப்பைக் கொடுத்து நீள, அகலங்களுக்கிடையே ஓர் உறவையும் கொடுத்து, பக்கங்களைக் காணச் சொல்வதும் பழங்கணிதத்தில் ஒரு பழக்கமாகும். இந்தப் புதிரிகளில் விதம்விதமாகக் கடுமையைக் கூட்டிக் கொண்டே போவார்கள். ஒரு விறுவிறுப்பும் இருக்கும். சதுரம், செவ்வகம் போக, நாற்கோட்டம் (quadrilateral), நாற்பதியம் (trapezium) என்று வடிவங்கள் விரிந்து கொண்டே போகும். இத்தனை வடிவங்களும் நிலவரிக் கணிப்பின் தொடர்பாற் கணிதத்துள் வந்தன. இவை போக வட்ட நிலங்கள், அரைவட்ட, கால்வட்ட, வில்வட்ட நிலங்கள் என்றும் பல்வேறு நிலங்களும் உண்டு. பேரரசுச் சோழர் காலக் கல்வெட்டுக்களைப் படித்தால் நிலங்களின் வகை கண்டு வியந்து போவோம். கணக்கில் திறனில்லையென்றால் இத்தனையும் எப்படிச் சரிபார்ப்பது? அதோடு, ஆறில் ஒரு போக விளைச்சலை அரசன் இறையாக எடுத்துக் கொள்ளவேண்டுமே? எண்ணியலும், வடிவியலும், பொருத்தியலும் குறைந்தது பேரரசுச் சோழர்காலத்தில் பெரிதும் வளர்ந்திருக்கவேண்டும். [இந்த அறிவில்லாமல் ஒரு பேரரசின் பொருளியல் இருந்திருக்கமுடியுமா?]

[எண்ணியலில் வரும் மற்ற எண்களைச் சொல்லும் முன், இவ்விடத்தில் ஓர் இடைவிலகல் செய்யாது என்னால் இருக்கமுடியவில்லை. பொறுத்துக் கொள்ளுங்கள். செவ்வகம், சதுரம் போன்ற சொற்கள் எப்படியெழுந்தன தெரியுமோ?

செவ்வஃகம்>செவ்வகம்; அஃகம் = கூர், முனை. கூராதல் என்னும் போது முனைகளில் இருந்து எழும் கதிர்களின் கோணத்தையும் குறிக்கும். ”அஃகி அகன்ற அறிவென்னாம்” என்பது குறள் 175. கூர்ந்து அகன்ற விரிவு என்பது விரிந்த கோணத்தைக் குறிக்காமல் வேறு எதைக் குறிக்கும்? கூர்ந்து அகன்ற விரிவு இங்கு அறிவுக்கு இயல்பாய்ச் சுட்டப்பெறுகிறது. செவ்வையான அஃகம் = செவ்வையான கோணம். அதாவது 90 பாகையில் இருப்பது புலப்படுகிறது. செங்கோணம் என்று பள்ளிப்பாடத்திற் சொல்லிக் கொடுக்கிறார்கள் அல்லவா? ஒவ்வொரு அஃகமும் செங்கோணத்தில் இருக்கவேண்டுமானால், அந்த நாலு கோணங்களும் 90 பாகையாகத்தான் இருக்கமுடியும். யுக்லீடின் வடிவியலில் வேறுவழியில்லை. ஆகச் செவ்வஃகம் என்று பெயர் சூட்டியதே ஓர் அழகு தெரியுமோ? வடமொழியிலும் சமகோணம் என்று செவ்வஃகத்தை பெயரிடுவார்கள்.

அதே போலச் சதுரம் என்ற சொல்லின் தோற்றத்தையும் அறிவது நல்லது. ”கரம், சிரம், புறம் நீட்டாதீர்கள்” என்ற வாசகத்தைத் தமிழகத்தின் தெற்குப் பக்கத்துப் பேருந்துகளில் எழுதிப் போட்டிருப்பார்கள். கரம் என்பது கைக்கு இன்னொரு பெயர். கருமம் செய்வது கை. கருத்தல் / கருமுதல் என்பது கரத்திற்கான வினைச்சொல். கருப்பது கரம். கரத்தை வடமொழிச்சொல் என்றே பலரும் நினைத்துக் கொண்டிருக்கிறார்கள். சாதிக்கவும் செய்கிறார்கள். இதன் தமிழ்மையை எழுதப் புகுந்தால் பக்கங்கள் நீளும். கரத்தில் விளையும் செயல் காரம் அது வடமொழியிற் போய் கார்யம் என்று திரியும். மீண்டும் தமிழுக்குக் காரியம் என்று வந்துசேரும். (நாமும் அதைப் பயன்படுத்திக் கொண்டிருக்கிறோம். காரியத்தின் பின்னிருப்பது காரணம். அதை நல்லதமிழிற் கரணியம் என்றும் சொல்லுவர்.) காரம்/கருமம் செய்பவன் காரன் ஆவான். [காரம் என்ற சொல் நம்மூரில் ஒருசில இடங்கள் தவிர்த்துப் பிற இடங்களில் வழக்கற்றுப் போனது] ”காரன்” என்று முடியும் சொற்கள் தமிழிற் கணக்கில. வேலைக்காரன் போன்ற சொற்களும் எண்ணற்றவை. ”காரன்” என்று முடிவதெல்லாம் வடமொழிச்சொற்கள் அல்ல.

நாலு கை உள்ளது சதுகரம். இதைப் பலுக்கும் போது, உள்ளே வரும் ககரம் சற்றே மெலிந்து ஒலிக்கும். அதுதான் சரியான தமிழ்முறைப் பலுக்கலின் இயற்கை. முடிவில் ககரம் ஒலிபடாமலே போய், சதுகரம் சதுரமாயிற்று. முன்னால் வரும் சதுவிற்கு என்னபொருள் ? - என்பது அடுத்த கேள்வி.

ஒன்று, இரண்டு, மூன்று....... என்று பல்வேறு எண்ணுச் சொற்கள் பிறந்த கதையை இங்கு சொல்லப் புகுந்தால் வேறு பக்கம் இழுத்துக் கொண்டு போகும். (அதை வேறொரு நாள் எழுதுவேன். இப்பொழுது விடுக்கிறேன்.) அடுத்த எண்ணாகக் கை என்னும் சொல் தான் பிறந்தது. இவற்றிற்கு இடையில் உள்ள எண்ணைக் குறிக்கும் வகையில், கைக்கு முன்னொட்டுச் சேர்த்து நலிந்த கை, நால்கை>நால்ங்கை யாயிற்று. அதாவது குறைந்த கை என்ற பொருள் கொண்டது. நால்கை>நாலுகை என்றும் பலுக்கப் படும். நான்கு என்பது நால்ங்கின் மீத்திருத்தம். நால் என்ற குறுவடிவும் வழக்கில் வரும். ”கை” என்னும் கருவி உள்ளார்ந்து புரியப்பட்டதால் ”நாலு” என்னும் சொல்லே நாளடைவில் 4 ஐக் குறித்தது. மொத்தத்தில் நலிந்தது நாலாயிற்று. உரோமன் குறியீட்டில் கைக்கு முன்னால் ஒன்றைப் போட்டு மதிப்புக் குறைவதைக் (=கழிப்பதைக்) காட்டுவார்கள். (IV)

இனி நலிதலைக் குறிக்கும் இன்னொரு வினைச்சொல்லிற்கு வருவோம்.
நலிதற் பொருளின் இன்னொரு வெளிப்பாடான சொள்ளல் என்னும் வினைச்சொல் decay என்பதைக் குறிக்கும்;
சொள்ளை என்பதும் உள்ளீடற்றதைக் குறிக்கும்;
சொள்ம்பியது>சூம்பியதாகும்; சூம்பிய விரல் = குறைப்பட்டுப் போன விரல்; வளர்ச்சியடையாத விரல்.
”சொளு சொளு” என்று கிடக்கிறது= குறைப்பட்டுக் கிடக்கிறது. [சோறு தன் திண்மையை இழந்து குழைந்து போனதையும், கூழ்போல் ஆனதையும் குறிக்கும்]
சொளையம் ஆதல் = திருடு போதல் = குறைப்பட்டுப் போதல்
சொள்ந்தது சொட்டு>சொட்டையாகும் ; பின் சொத்தையும் ஆகும்;
சொட்டுதல் = குறைத்தல், கொத்துதல்;
சொட்டு = இகழ்ச்சி, குற்றம்;
சொட்டை = குழிவு. ( dent) பள்ளம் (cavity) , வழுக்கை.
சொட்டை சொள்ளை = குற்றங்குறை (நெல்லை வழக்கு)
சொட்டைத்தலை = வழுக்கை விழுந்த தலை;
சொண்டு = குழிவு (dent);
சொண்டு = சொத்தை மிளகாய்
சொத்தலி = கொட்டையில்லாத பனங்காய்;
சொத்தி = உறுப்புக்குறை, நொண்டி
சொத்தை = சீர்கேடு.
சொத்தைப்பல் = கெட்டுப்போன பல்; சொத்தைக் காய்.
சொள்நங்கி, சோள்நங்கியாவான்; மேலும் புணர்ந்து சோணங்கியாவான்.
செயப்பாட்டு வினையில் சொள்தல் என்பது சொது படும் = குறைபடும் என்றாகும்.
சொது சொதுவென்று கிடப்பதும் நலிந்து கிடப்பது தான்.
சொதுக்குவது பேச்சுத் திரிவில் சதுக்கும்.
சொதுக்கை சதுக்கையாகும்.
சதுக்கம் என்பது நாற்பக்க இடத்தைக் குறிக்கும். [square]
சதுத்தல் என்பதும் குறைதல் பொருளை உணர்த்த முடியும்.
சதுக்கை என்பது நாலுகைக்கு இணையாகவும் சது என்பது நாலுக்கு இணையாகவும் ஆகும். எவ்வளவு முக்கி முணகினாலும் (சதுக் கை = நலிந்த கை = குறைந்த கை என்னும்) பொருள் வடமொழியில் வாராது. ஆனாலும் சதுரம் என்ற சொல்லை வடமொழிச்சொல் என்றே சாதிப்பவர் பலர்.
முன்னால் சொன்னது போல், சதுகரம்>சதுரம் = நாலுகரம்

பொதுவாய்ச் செவ்வஃகம் என்பது நாலு சம கோணங்கள் கொண்டது. சதுகரம் என்பது நாலு சம பக்கங்களைக் கொண்டது. ”சம சதுர் புஜம், சம சதுர் அஸ்ரம்” என்ற வடசொற்கள் சதுரத்தைக் குறிப்பதாய் இதே கருத்தையொட்டி அமையும்.

இது போன்ற குறைப்படும் வினை ஒன்பதிலும் உண்டு. தொள்ளுவது = துளைபட்டது என்னுஞ் சொல் அங்கு குறைதலைக் குறிக்கும். பத்தில் இருந்தும் தொள்ந்தது (துளைபட்டது) தொண்டாயிற்று. தொள்ந்தது = குறைந்தது; தொள்பட்டது என்பது செயப்பாட்டு வினை. தொண்டு என்பது செய்வினை. (தொண்டன் = குறைபட்டவன், எனவே ஊழியம் செய்பவன். தொண்டு = குறைபட்டுச் செய்யும் வேலை. ) தொள்ந்ததும் தொள்பட்டதும் ஒரே பொருளைத்தான் குறிக்கின்றன. அதே போல் தொள்பதும் (தொண்பதும்) தொண்டும் ஒரே பொருள் தான். தொள்ளுவதிற் தகரம் தொலைந்தால் அது ஒள்படும். ஒள்பத்தாகும், ஒண்பத்தாகும் இன்னும் மெலிந்து ஒன்பத்தாகவும் ஆகும். அதன் பொருள் குறைந்த பத்து என்பது தான். ஒன்பதும் தொண்டும் ஒரே பொருள் கொண்டவை தான் (ஒரு சொல் செயப்பாட்டுவினையிற் பிறந்தது ; இன்னொரு சொல் செய்வினையிற் பிறந்தது). அதை விளக்கினால் நீளும்.]

முன்னால் சொன்ன இடைவிலகலில் இருந்து எண்ணியலுக்கு மீண்டு வருவோம். பழங் கணிதத்தில் பக்கங்களைப் பெருக்கினால் சதுகரம், செவ்வஃகம் போன்றவற்றின் பரப்புக் கிடைப்பதைச் சரியாகப் பதிவு செய்திருப்பார்கள். ஆனால் வட்டமான நிலங்கள், வில் போன்ற நிலங்கள் இருந்தால் அதன் பரப்பைக் கண்டுபிடிப்பதில் தடுமாறியிருப்பார்கள்.

ஒரு வட்டம் என்பது ஒரு முளையை நட்டு அதில் இருந்து ஒரு கயிறு கட்டி கயிற்றின் இன்னொரு முனையில் வேறொரு முளை கட்டி, இரண்டாவது முளையால் சுற்றிவரக் கீறிப் பெறும் நிலமாகும். கயிற்றின் நீளத்திற்குத் தக்க வட்டம் பெரியதோ, சிறியதோ ஆகும். கயிற்றின் நீளத்தை ஆரம் என்று சொல்லுவார்கள். இரு மடங்கு ஆரத்தை விட்டம் என்று சொல்லுவார்கள். விட்டத்தில் இருந்து வட்டத்தின் பரப்பைக் காணுவதற்கு முதலில் பக்கமடையான (approximate) விடைகளையே அந்தக் காலத்திற் தெரிந்து வைத்திருந்தனர்.

விட்டத்தில் இருந்து மட்டும் கணக்குப் போடாமல் ஆரத்தோடு அரைச் சுற்றளவைப் பெருக்கினால் வட்டத்தின் பரப்பு துல்லியமாகக் கிடைப்பதையும் அறிந்து வைத்திருந்தனர். காட்டாக,

விட்டத் தரைகொண்டு வட்டத் தரைமாறச்
சட்டெனத் தோன்றும் குழி

என்ற குறள்வெண்பா மூலம் ”கணக்கதிகாரத்தில்” இந்த உண்மையை அறிகிறோம். அதாவது r*(s/2) = a இங்கே r என்பது ஆரத்தையும் s என்பது சுற்றளவையும், a என்பது பரப்பையும் குறிக்கும்.

இனிச் சுற்றளவு என்பது ஆரத்தின் நீளத்தைப் பொறுத்தது என்று கட்டுமானம் மூலம் அறிவதால் s = C*r என்ற சமன்பாடு கிடைக்கும். [C என்பது நிலைப்பெண் (constant)]
இதிலிருந்து, C*r^2/2 = a என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுவோம். C/2 வை இன்னொரு நிலைப்பெண் K என்று எழுதினால் a/r^2 = s/(2*r) = K என்றாகிறது.
இந்தச் சமன்பாடு சொல்லும் கருத்தென்ன?

”எப்பேற்பட்ட வட்டமாய் இருந்தாலும் அதனுடைய பரப்பை அதன் ஆரத்தின் சதுகரத்தால் வகுத்தால் ஒரு குறிப்பிட்ட எண் மீண்டும் மீண்டும் கிடைக்கிறது.”

இந்த முடிவு அந்தக் கால கணிதத்தாருக்கு மிகுந்த வியப்பைத் தந்திருக்க வேண்டும். பல்வேறு பெரும் வட்டங்களை வரைந்து வரைந்து, இந்தக் K இன் மதிப்பைக் கண்டு பிடித்திருக்கிறார்கள். 3, 22/7. sq.r (10), 333/106, 355/113, 62832/20000, 67783/21576, 68138/21689, 408473/130021, என்று மேலும் மேலும் துல்லியமான மதிப்பை அடைந்திருக்கிறார்களேயொழிய, இன்னது தான் மதிப்பு என்று பொட்டில் அடித்தாற்போலச் சொல்ல முடிவதில்லை. இந்த எண்ணிற்கு கிரேக்க எழுத்தான “பை” என்னும் குறியீட்டைக் கொடுத்துப் பயன்படுத்துவார்கள். பை என்னும் எண்ணைச் சாமணமாகக் (சாமாண்யம்) கருதிவிட முடியாது. இந்த எண்ணின்றி எந்த வட்டத்தின் பரப்பு, சுற்றளவை விட்டத்தில் இருந்து கண்டு விட முடியாது

”உலகின் மீநனி மருட்டெண்ணின் தன்வரலாறு (A biography of the World's Most Mysterious Number)' என்ற நூலில் (Universities Press, 2006) Alfred S Posamentier, Ingmar Lehmann ஆகியோர் நூறாயிரம் பதின்மத் தானங்கள் (100 thousand decimal places) அளவுக்குத் துல்லியம் காட்டி பையின் மதிப்பைப் பதிவு செய்திருப்பார்கள். அதற்கும் துல்லியமாக 1.24 ஆயிரம் ஆயிரம் நுல்லியம் (trillion = thousand thousand million) அளவிற்குக் கூடக் கணி மூலம் இன்றைய அறிவியல் மதிப்பிட்டிருக்கிறது.

இங்கே காட்டிய ஒரு எண் மட்டுமல்ல. இது போல கணக்கற்ற எண்கள் உள்ளன . இன்னொரு காட்டை ஆங்கிலத்தில் e என்று சொல்லுவார்கள். அதன் மதிப்பு 2.71828182845904523536........ என்று முடிவில்லாது போய்க்கொண்டே இருக்கும். இன்னும் ஒரு எண் (ஆய்லரின் நிலைப்பெண்-Euler's Constant) கிரேக்க எழுத்தான “காமா” என்பதைக் குறியீடாகக் கொண்டு 0.577215664901532860606512..... என்று போய்க்கொண்டிருக்கும். முக்கோண அளவியலில் (trigonometry) ஒவ்வொரு பாகைக்கும் உள்ள முக்கோண அளவு வங்கங்களின் (trigonometric functions) மதிப்பைப் பார்த்தால் அதிலும் கூட முடிவற்ற தானம் (unlimited places) கொண்ட எண்கள் வரலாம். காட்டு sine 30 = 0.5 என்பது இயலெண். sine (29.5) என்பது ஒரு முடிவற்ற தானங்கொண்ட எண்; இது 0.4924........என்று போய்க்கொண்டேயிருக்கும். இது போல கணக்கற்ற எண்கள் முடிவற்று இருப்பது கண்டுபிடிக்கப் பட்டுள்ளன.

இந்த முடிவற்ற எண்களுக்கு ஒரு பெருஞ்சிறப்பு உண்டு. இவை எந்தவொரு பலனச் சமன்பாட்டிலும் (polynomial equations) சுளுவாக (solution) அமையமுடியாது. அதாவது இது போன்ற எண்கள் பலனச் சமன்பாடுகளை மீறியவை, துரனேறியவை (transcend) அதனால் அவை துரனேற்றெண்கள் என்று சொல்லப்படும். transcendental number e, pi ; mid-14c., from L. transcendere "climb over or beyond, surmount," from trans- "beyond" + scandere "to climb" இரண்டு பொருத்தெண்களுக்கு நடுவில் எத்தனையோ துரனேற்று எண்கள் உள்ளன. பொருத்தெண்களும், துரனேற்றெண்களும் பலக்கிய எண்களுக்குள் அடங்கியுள்ளன.

பலக்குமையின் உச்சத்தைத் தொட்டுவிட்ட நாம், அடுத்த பகுதியில் சற்று எளிதான எண்களையும், பின்னங்களையும் பார்ப்போம்.

அன்புடன்,
இராம.கி.

5 comments:

thalaivan said...

வணக்கம்
நண்பர்களே

உங்கள் திறமைகளை உலகுக்கு அறியச் செய்யும் ஒரு அரிய தளமாக எம் தலைவன் தளம் உங்களுக்கு அமையும்.
உங்கள் தளத்தில் நீங்கள் பிரசுரிக்கும் சிறந்த ஆக்கங்களை எமது தளத்தில் இடுகை செய்வதன் மூலம் உங்கள் ஆக்கங்களை அதிகமான பார்வையாளர்கள் பார்ப்பதற்கு வாய்ப்பளிப்பதுடன் உங்கள் தளத்திற்கு அதிக வருகையாளர்களையும் பெற்றுத் தரும்.
நன்றி
தலைவன் குழுமம்

http://www.thalaivan.com

vaaalpaiyan said...

அருமை ..

நன்றிகளுடன்

Vijayakumar Subburaj said...

டெண்டுல்'கர்'

:-)

இராம.கி said...

அன்பிற்குரிய வால்பையன், விஜயகுமார் சுப்புராஜ்,

வருகைக்கு நன்றி. தெண்டுல்கரின் கர் என்பதும் நம் காரனோடு தொடர்புடையதுதான். தெண்டுல் என்னும் ஊரை மூதாதையர் ஊராய்க் கொண்டவர் என்று கேள்விப் பட்டிருக்கிறேன்.

அன்புடன்,
இராம.கி.

Anonymous said...

Have you ever considered creating an ebook or guest authoring on other
blogs? I have a blog centered on the same subjects you discuss and
would love to have you share some stories/information. I know my readers would value your work.
If you're even remotely interested, feel free to send me an e mail.