எண்ணியல் - 5

குழிமாற்றுக் கணக்குகளில் (அதாவது, பரப்புக் காணும் கணக்குகளில்) சதுரம், செவ்வகம் ஆகியவற்றின் பக்கங்களைக் கொடுத்துப் பரப்புக் காணவும், பரப்பைக் கொடுத்து நீள, அகலங்களிடையே ஓர் உறவையும் கொடுத்து, பக்கங்களைக் காணச் சொல்வது பழங்கணிதத்தில் ஒரு பழக்கம் ஆகும். இப் புதிரிகளில் விதம் விதமாகக் கடுமையைக் கூட்டிப் போவார். ஒரு விறுவிறுப்பும் இருக்கும். சதுரம், செவ்வகம் போக, நாற்கோட்டம் (quadrilateral), நாற்பதியம் (trapezium) என வடிவங்கள் விரியும். இத்தனை வடிவங்களும் நிலவரிக் கணிப்பின் தொடர்பாற் கணிதத்துள் வந்தன. இவைபோக வட்ட நிலங்கள், அரைவட்ட, கால்வட்ட, வில்வட்ட நிலங்கள் என்று பல்வேறு நிலங்களும் உண்டு. பேரரசுச் சோழர் காலக் கல்வெட்டுக்களைப் படித்தால் நிலங்களின் வகைகண்டு வியப்போம். கணக்கில் திறனில்லையெனில் இவற்றை எப்படிச் சரிகாண்பது? அதோடு, ஆறில் ஒருபோக விளைச்சலை  இறைக் கொள்ளவேண்டுமே? எண்ணியலும், வடிவியலும், பொருத்தியலும் குறைந்த அளவாவது பேரரசுச் சோழர்காலத்தில் வளர்ந்திருக்க வேண்டும். [இவ்வறிவில்லாமல் ஒரு பேரரசின் பொருளியல் இருந்திருக்க முடியுமா?]

[எண்ணியலில் வரும் மற்ற எண்களைச் சொல்லுமுன், இவ்விடத்தில்  இடை விலகல் செய்யாது என்னால் முடியவில்லை. பொறுத்துக் கொள்ளுங்கள். செவ்வகம், சதுரம் போன்ற சொற்கள் எப்படியெழுந்தன தெரியுமோ?

செவ்வஃகம்>செவ்வகம்; அஃகம் = கூர், முனை. கூராதல் எனும் போது முனைகளில் எழும் கதிர்களின் கோணத்தையும் குறிக்கும். ”அஃகி அகன்ற அறிவென்னாம்” என்பது குறள் 175. கூர்ந்து அகன்ற விரிவு என்பது விரிந்த கோணத்தைக் குறிக்காது வேறெதைக் குறிக்கும்? கூர்ந்தகன்ற விரிவு இங்கு அறிவுக்கு இயல்பாய்ச் சுட்டப்பெறுகிறது. செவ்வையான அஃகம் = செவ்வையான கோணம். அதாவது 90 பாகையில் இருப்பது புலப்படுகிறது. செங்கோணமென்று பள்ளிப்பாடத்திற் சொல்வாரே? ஒவ்வொரு அஃகமும் செங்கோணத்தில் இருக்குமெனில், அந்த 4 கோணங்களும் 90 பாகையாகத் தான் இருக்கமுடியும். யுக்லீடின் வடிவியலில் இதற்கு வேறுவழியில்லை. ஆகச் செவ்வஃகம் என்று தமிழ்ப்பெயர் சூட்டியதே ஓர் அழகு தெரியுமோ? வட மொழியிலும் சமகோணம் என்று செவ்வஃகத்தை பெயரிடுவார்.

அதேபோலச் சதுரம் என்ற சொல் தோற்றத்தையும் அறிவது நல்லது. ”கரம், சிரம், புறம் நீட்டாதீர்” என்ற வாசகத்தைத் தமிழகத்தின் தெற்குப் பக்கப் பேருந்துகளில் எழுதியிருப்பார். கரம், கைக்கு இன்னொரு பெயர். கருமம் செய்வது கை. கருத்தல் / கருமுதல் என்பது கரத்திற்கான வினைச்சொல். கருப்பது கரம். கரத்தை வடமொழிச் சொல் என்றே பலரும் நினைக்கிறார். சாதிக்கவும் செய்கிறார். இதன் தமிழ்மையை எழுதப் புகுந்தால் பக்கங்கள் நீளும். கரத்தில் விளையும் செயல் காரம் அது வடமொழியில் கார்யமென்று திரியும். மீண்டும் தமிழுக்குக் காரியமென வந்துசேரும். (நாமும் பயன் படுத்துகிறோம். காரியத்தின் பின்னிருப்பது காரணம். அதை நற்றமிழிற் கரணியம் என்பார்.) காரம்/கருமம் செய்பவன் காரன்.[காரம் என்பது நம் ஊரில் சில இடங்கள் தவிர்த்துப் பிறவற்றில் வழக்கற்றுப் போனது] ”காரன்” என முடியும் சொற்கள் தமிழிற் கணக்கில. வேலைக்காரன் போன்ற சொற்கள் எண்ணற்றவை. ”காரன்” என முடிவதெலாம் வடசொற்கள் அல்ல.

நாலு கை உள்ளது சதுகரம். இதைப் பலுக்கையில், உள்வரும் ககரம் சற்றே மெலிந்து ஒலிக்கும். அதுதான் சரியான தமிழ்முறைப் பலுக்கல். முடிவில் ககரம் ஒலிபடாமலே போய், சதுகரம் சதுரமானது. முன்வரும் சதுவிற்கு என்ன பொருள் ? - என்பது அடுத்த கேள்வி.

ஒன்று, இரண்டு, மூன்று....... என்று பல்வேறு எண்ணுச் சொற்கள் பிறந்த கதையை இங்கு சொன்னால் வேறுபக்கம் இழுத்துப் போகும். (வேறொரு நாள் எழுதுவேன். இப்போது விடுக்கிறேன்.) அடுத்த எண்ணாகக் கை எனும் சொல் பிறந்தது. இவற்றிற்கு இடையிலுள்ள எண்ணைக் குறிக்கும்வகையில், கைக்கு முன்னொட்டுச் சேர்த்து நலிந்த கை, நால்கை> நால்ங்கை யாயிற்று. அதாவது குறைந்த கை என்றபொருள் கொண்டது. நால்கை>நாலுகை என்றும் பலுக்கப் படும். நான்கு என்பது நால்ங்கின் மீத்திருத்தம். நால் எனும் குறுவடிவும் வழக்கிலுண்டு. ”கை” எனும் கருவி உள்ளார்ந்து புரியப்பட்டதால் ”நாலு” எனும் சொல்லே நாளடைவில் 4 ஐக் குறித்தது. மொத்தத்தில் நலிந்தது நாலாயிற்று. உரோமன் குறியீட்டில் கைக்கு முன் ஒன்றிட்டு மதிப்புக் குறைவதைக் (=கழிப்பதைக்) காட்டுவார். (IV)

இனி நலிதலைக் குறிக்கும் இன்னொரு வினைச்சொல் காண்போம். நலிதற் பொருளின் இன்னொரு வெளிப்பாடான ”சொள்ளல்” decay ஐக் குறிக்கும்; சொள்ளை,  உள்ளீடற்றதைக் குறிக்கும்; சொள்ம்பியது>சூம்பியதாகும்; சூம்பிய விரல் = குறைப்பட்ட விரல்; வளர்ச்சியடையா விரல். ”சொளு சொளு” என்று கிடக்கிறது= குறைப்பட்டுக் கிடக்கிறது. [சோறு தன் திண்மை இழந்து குழைந்து போனதையும், கூழ்போல் ஆனதையும் குறிக்கும்]. சொளையம் ஆதல் = திருடு போதல் = குறைப்பட்டுப் போதல். சொள்ந்தது சொட்டு> சொட்டை யாகும் ; பின் சொத்தையும் ஆகும்;

சொட்டுதல் = குறைத்தல், கொத்துதல்; சொட்டு = இகழ்ச்சி, குற்றம்; சொட்டை = குழிவு. ( dent) பள்ளம் (cavity) , வழுக்கை. சொட்டை சொள்ளை = குற்றங்குறை (நெல்லை வழக்கு). சொட்டைத் தலை = வழுக்கை விழுந்த தலை; சொண்டு = குழிவு (dent); சொண்டு = சொத்தை மிளகாய்; சொத்தலி = கொட்டையில்லாத பனங்காய்; சொத்தி = உறுப்புக்குறை, நொண்டி; சொத்தை = சீர்கேடு. சொத்தைப் பல் = கெட்டுப்போன பல்; சொத்தைக் காய். சொள்நங்கி, சோள்நங்கியாவான்; மேலும் புணர்ந்து சோணங்கியாவான். செயப்பாட்டு வினையில் சொள்தல், சொது படும் = குறைபடும் என்றாகும். சொது சொது என்று கிடப்பதும் நலிந்து கிடப்பதே. சொதுக்குவது பேச்சுத்திரிவில் சதுக்கும். சொதுக்கை சதுக்கையாகும். சதுக்கம், நாற்பக்க இடத்தைக் குறிக்கும். [square]. சதுத்தலும் குறைப் பொருள் உணர்த்தும். சதுக்கை, நாலுகைக்கும், சது, நாலுக்கும் இணையாகும். எப்படி முக்கி முணகினும் (சதுக் கை = நலிந்த கை = குறைந்த கை என்னும்) பொருள் வடமொழியில் வாராது. ஆனாலும் ”சதுரம்” வடமொழி என்றே சாதிப்பவர் பலர். முன்சொன்னது போல், சதுகரம்> சதுரம் = நாலுகரம்.

பொதுவாய்ச் செவ்வஃகம், நாலு சம கோணங்கள் கொண்டது. சதுகரம், நாலு சம பக்கங்கள் கொண்டது. ”சம சதுர் புஜம், சம சதுர் அஸ்ரம்” என்ற வடசொற்கள் சதுரத்தைக் குறிப்பதாய் இதே கருத்தையொட்டி அமையும்.

இதுபோல் குறைப்படும் வினை ஒன்பதிலும் உண்டு. தொள்ளுவது = துளை பட்டது அங்கு குறைதலைக் குறிக்கும். பத்தில் தொள்ந்தது (துளைபட்டது) தொண்டாயிற்று. தொள்ந்தது = குறைந்தது; தொள்பட்டது  செயப்பாட்டு வினை. தொண்டு செய்வினை. (தொண்டன் = குறைபட்டவன் ஏழை, எனவே ஊழியம் செய்பவன். தொண்டு = குறைபட்டுச் செய்யும் வேலை. ) தொள் பட்டதும் தொள்ந்ததும் ஒரேபொருள் குறிக்கும். அதேபோல் தொள்பதும் (தொண்பதும்) தொண்டும் ஒரே பொருள். தொள்ளுவதிற் தகரம் தொலையின் அது ஒள்படும். ஒள்>ஒண்பத்தாகும். இன்னும் மெலிந்து ஒன்பத்தாகவும் ஆகும். அதன்பொருளும் குறைந்த பத்தே. ஒன்பதும் தொண்டும் ஒரேபொருள் கொண்டன. (ஒரு சொல் செயப்பாட்டு வினையிற் பிறந்தது ; இன்னொரு சொல் செய்வினையிற் பிறந்தது). அதை விளக்கினால் நீளும்.]

இனி இடைவிலகலிலிருந்து எண்ணியலுக்கு வருவோம். பழங்கணிதத்தில் பக்கங்களைப் பெருக்கி,சதுகரம், செவ்வஃகம் போன்ற பரப்புக் கிட்டுவதைச் சரியாகப் பதிவு செய்திருப்பார். ஆனால் வட்ட நிலங்கள், வில் நிலங்கள் இருந்தால் அதன் பரப்புக் காணுவதில் தடுமாறியிருப்பார்.

ஒருமுளையை நட்டு அதில் கயிறு கட்டி கயிற்றின் இன்னொரு முனையில் வேறுமுளை கட்டி, இரண்டாம் முளையால் சுற்றிவரக் கீறிப்பெறுவது வட்ட நிலமாகும். கயிற்றின் நீளத்திற்குத் தக்க வட்டம் பெரிதோ, சிறிதோ ஆகும். கயிற்றின் நீளத்தை ஆரமென்பார். 2  மடங்கு ஆரத்தை விட்டமென்பார். விட்டத்திலிருந்து வட்டப்பரப்பைக் காண பக்கமடையான (approximate) விடைகளையே அக்காலம் தெரிந்து வைத்திருந்தார். விட்டத்தில் இருந்து  கணக்கிடாமல் ஆரத்தோடு அரைச் சுற்றளவைப் பெருக்கி வட்டப்பரப்பு துல்லியமாகக் கிட்டியதையும் அறிந்திருந்தார். காட்டாக,

விட்டத் தரைகொண்டு வட்டத் தரைமாறச்
சட்டெனத் தோன்றும் குழி

என்ற குறள்வெண்பா மூலம் ”கணக்கதிகாரத்தில்” இவ்வுண்மை அறிவோம். அதாவது r*(s/2) = a இங்கே r  ஆரத்தையும் s சுற்றளவையும், a  பரப்பையும் குறிக்கும். சுற்றளவு, ஆரநீளத்தைப் பொறுத்ததெனக் கட்டுமானம் மூலம் அறிவதால் s = C*r என்ற சமன்பாடு கிடைக்கும். [C = நிலைப்பெண் (constant)]. இதிலிருந்து, C*r^2/2 = a என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுவோம். C/2 வை இன்னொரு நிலைப்பெண் K என எழுதினால் a/r^2 = s/(2*r) = K என்றாகிறது. இச்சமன்பாடு சொல்லும் கருத்தென்ன?

”எப்பேற்பட்ட வட்டமாயினும் அதன் பரப்பை, ஆரத்தின் சதுகரத்தால் வகுத்தால் குறிப்பிட்ட எண் மீள மீளக் கிட்டும்.”

இம்முடிவு அக்கால கணிதருக்கு மிகுவியப்பைத் தந்திருக்கும். பல்வேறு பெரு வட்டங்களை வரைந்து, இக் K இன் மதிப்பைக் கண்டு பிடித்துள்ளார். 3, 22/7. sq.r (10), 333/106, 355/113, 62832/20000, 67783/21576, 68138/21689, 408473/130021, என மேலும் மேலும் துல்லிய மதிப்பை அடைந்துள்ளாரே ஒழிய, இன்னதே மதிப்பு என்று பொட்டில் அடித்தாற்போல் சொல்ல முடிவதில்லை. இந்த எண்ணிற்கு கிரேக்க எழுத்தான “பை” குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவார். பை எண்ணைச் சாமணமாகக் (சாமாண்யம்) கருத முடியாது. இந்த எண்ணின்றி எந்த வட்டத்தின் பரப்பு, சுற்றளவை விட்டத்தில் இருந்து காண முடியாது

”உலகின் மீநனி மருட்டெண்ணின் தன்வரலாறு (A biography of the World's Most Mysterious Number)' என்ற நூலில் (Universities Press, 2006) Alfred S Posamentier, Ingmar Lehmann ஆகியோர் நூறாயிரம் பதின்மத் தானங்கள் (100 thousand decimal places) அளவுக்குத் துல்லியம் காட்டி பையின் மதிப்பைப் பதிவு செய்திருப்பார். அதற்கும் துல்லியமாக 1.24 ஆயிரம் ஆயிரம் நுல்லியம் (trillion = thousand thousand million) அளவிற்குக்கூடக் கணி மூலம் இற்றை அறிவியல் மதிப்பிட்டிருக்கிறது.

இங்கே காட்டிய ஓர் எண் மட்டுமல்ல. இதுபோல் கணக்கற்ற எண்கள் உள்ளன . இன்னொரு காட்டை e என்பார். அதன் மதிப்பு 2.71828182845904523536........ என்று முடிவிலாது போகும். இன்னும் ஒரு எண் (ஆய்லரின் நிலைப்பெண்-Euler's Constant) கிரேக்கக் “காமா” வைக் குறியீடாக்கி, 0.577215664901532860606512..... என்று போகும். முக்கோண அளவியலில் (trigonometry) ஒவ்வொரு பாகைக்கும் உள்ள முக்கோண அளவு வங்கங்களின் (trigonometric functions) மதிப்பைப் பார்த்தால் அதிலும் கூட முடிவற்ற தானம் (unlimited places) கொண்ட எண்கள் வரலாம். காட்டு sine 30 = 0.5 என்பது இயலெண். sine (29.5) என்பது முடிவற்ற தானங் கொண்ட எண்; இது 0.4924........என்று போய்க்கொண்டேயிருக்கும். இது போல கணக்கற்ற எண்கள் முடிவற்று இருப்பது கண்டுபிடிக்கப் பட்டுள்ளன.

இந்த முடிவற்ற எண்களுக்கு ஒரு பெருஞ்சிறப்பு உண்டு. இவை எந்தவொரு பலனச் சமன்பாட்டிலும் (polynomial equations) சுளுவாக (solution) அமைய முடியாது. அதாவது இதுபோன்ற எண்கள் பலனச் சமன்பாடுகளை மீறியவை, துரனேறியவை (transcend) அதனால் அவை துரனேற்றெண்கள் எனப்படும். transcendental number e, pi ; mid-14c., from L. transcendere "climb over or beyond, surmount," from trans- "beyond" + scandere "to climb" இரண்டு பொருத்தெண்களுக்கு நடுவில் எத்தனையோ துரனேற்று எண்கள் உள்ளன. பொருத்தெண்களும், துரனேற்றெண்களும் பலக்கிய எண்களுக்குள் அடங்கியுள்ளன.

பலக்குமையின் உச்சத்தைத் தொட்டுவிட்ட நாம், அடுத்த பகுதியில் சற்று எளிதான எண்களையும், பின்னங்களையும் பார்ப்போம்.

அன்புடன்,
இராம.கி.