எண்ணியல் - 2

நாம் இளமையில் அறிந்த 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,,,,,,, என்பவை போன்ற எண்ணிறந்த பதின்மக் கட்டக (decimal system) எண்களை, முழு எண்கள் (whole numbers) அல்லது சாத்தார எண்கள் (ordinary numbers) என்று சொல்லலாம்.

[சாத்தாரம் எனும் தமிழ்வழக்கு சாதாரண எனும் வடபுலத்தில் சொல்லப் படும். அதன் தமிழ்மூலம் தெரியாத பலரும் வடமொழி வழக்கென எண்ணி விடுகிறார். ஆனால் உண்மை அதுவல்ல. இக்காலத்தில் குப்பன், சுப்பன் எனப் பொதுமாந்தனை அழைப்பதுபோல் அக்காலம் சந்தை (கடைவீதி) மாந்தனைச் சாத்தனென விளித்தார். (சால்தல் = சாற்றல்> சாட்டல்> சாத்தல் = விலை சொல்லல் = விற்றல் = sale.) சங்க இலக்கியத்தில் ”சாத்தன்” அதிகம் பயன்படும். சாத்தன், வடபுல seth, தென்புலத்துச் சாற்றி> சாட்டி> செட்டி ஆகியவை சால்தல் கருத்தில் அமைந்த பல்வேறு சொற்களாகும். தமிழ்நாட்டின் ஐயனார் கோயில்கள் எல்லாம் சாத்தன் கோயில்களே. தென்பாண்டி நாட்டில் குலதெய்வக் கோயில்களாய் ஐயனார் கோயில்களே உண்டு. ஐயனார் வழிபாடுபற்றிய ஆய்வுகள் முறையாய் எழவில்லை. எல்லாவற்றையும் ”இந்துமதம்” என வேதக்கூட்டத்தோடு கோவிந்தாப் போடுவதில் பொருளில்லை. (சபரிமலைச் சாத்தனை சாஸ்தா என வடமொழி ஆக்கியதையும், இந்துத் தொன்மங்களோடு பொருத்தியதையும் இங்கு எண்ணலாம்.) அறப்பெயர்ச் சாத்தனுக்கும் அற்றுவிகத்திற்கும் (ஆசீவிகம்) பெருந்தொடர்பு உண்டென்று பேரா. க.நெடுஞ்செழியன் சொல்வார். சாத்தர்> சாத்தாரம் என்ற சொற்கள் ordinary மாந்தனை இவ்வகையிற் தமிழிற் குறித்தன.

அதே போல சமனன்>சமணன் என்பதும் அற்றுவிகம், செயினம், புத்தம் ஆகிய நெறியினரைக் குறித்த பொதுச்சொல்லாகும். கி.மு.500 - கி.பி.500 வரை இந்தியத் துணைக்கண்டத்திற் பெரும்பகுதியார் இம் 3 நெறிகளில் இருந்தார். இப் பட்டகையால் (fact), ”சமனன்”பொதுமக்களைக் குறிக்கத் தொடங்கிற்று. சமனம்> சாமனம்> சாமன்யம்> சாமான்யம் என்ற திரிவில் புதுச் சொல் விளைந்தது. இன்று பயன்படுத்தும் சாதாரணம், சாமான்யம் என்பவற்றின் பின்புலம் இதுவே. எல்லாவற்றையும் வேதநெறி, வடமொழி வழி பார்த்தால் துணைக்கண்டத்தின் இன்னொரு விதப்பான வேதமிலா நெறிகள், தமிழ்நெறி போன்றவை விளங்காது. புரிய வேண்டியவருக்குப் புரிந்தாற் சரி.]

பதின்மக் கட்டகத்தின் முழுவெண்களை (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12...........) மாந்த ஆக்கம் (man made) என்று கொள்ளாது, இயற்கையானவை என்றே கருதி, இவை யடங்கிய எண்கொத்தை இயலெண் கொத்து (Set of natural numbers N) என்று கணிதத்தில் அழைப்பார். இயலெண்கள், ”கொடுக்கப் பட்டவை” (given) என்றே புரிந்துகொள்ளப் படும். கூடுதல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் என்ற 4 செய்முறைகளுக்கு இந்த எண்களை ஆட்படுத்துகிறோம்.

கூட்டலைச் சேர்த்தல் என்றும் ”கணக்கதிகாரம், கணித நூல்” போன்ற பழஞ் சுவடிகளில் சொல்வார். குறிப்பிட்ட இடைவெளி கொண்ட இயலெண்களைச் சேர்த்துக் கூட்டுவதை. (காட்டாக 1 இல் இருந்து 10 வரை எண்களைக் கூட்டி 55 என விடைசொல்வது) இற்றை முகனக் கணிதத்தில் (modern mathematics)  எண்ணியல் அடுக்கம் (arithmetic progression) என்பார். கணக்கதிகாரத்திலும், ‘கணித நூலிலும்” இதை ஏற்றானடி, படியடி என்பார்.  (ஏற்றம் = உயரம், ஒரு எண்ணிற்கும் இன்னொரு எண்ணிற்கும் இடையுள்ள ஏற்றம் பேச்சுவழக்கில் ஏற்றம்> ஏத்தம்>ஏத்தான் எனப்படும். செந்தர வழக்கில் ஏற்று/ஏற்றம் எனலாம். படி என்பது எண்களுக்கிடையுள்ள இடைவெளியைக் குறிப்பதே. ஏற்று அல்லது படிகொண்டு அடுக்கிவருவது அடி என்று சொல்லப்பட்டது. இக்காலத்தில் அடுக்கு/அடுக்கம் என்போம். ஏற்றடுக்கம், படியடுக்கம் போன்றவை எண்ணியல் அடுக்கத்திற்கான வேறு சொற்களே.

கழித்தல் செய்முறை நீக்கல், தள்ளல், களைதல் என்றும் முன்னால் சொல்லப் பட்டது. ”அதிலிருந்து இதை நீக்க, தள்ள, களைய” என்று கணக்கதிகாரக் கணக்குகள் வரும். இயலெண் கொத்தில் 2 குறைகள் உண்டு. அதாவது கழித்தல், வகுத்தல் செய்முறைகளில் கிடைக்கும் எண்களெலாம் இதே கொத்தினுள் அடங்காது, வெளியே போக வாய்ப்புண்டு. காட்டாக, 10 இல் இருந்து 7 ஐக் கழித்தால் கிடைக்கும் 3, இக்கொத்தில் உள்ளது. ஆனால், 6 இல் இருந்து 11 ஐக் கழித்தால் கிட்டும் -5  இக் கொத்தில் அடங்காது வெளியே போகும். இதேபோல 8 ஐ 4 ஆல் வகுத்தால் கிடைக்கும் 2 கொத்தினுள் உள்ளது. 4 ஐ 12 ஆல் வகுத்துவரும் 0.3333.... கொத்தினுள் இல்லை.

பொதுவாகக் கொத்துள் செய்யும் முறையின் விடை கொத்துள் இருந்தால், அக்கொத்தை மூடிய கொத்து (closed set) என்பார். இப்படி அமையாததைத் ”திறந்த கொத்து (open set)” என்பார். இயலெண் கொத்து என்பது 4 செய்முறை அடிப்படையில் திறந்த கொத்தாகும். இயலெண்களின் திறந்த கொத்தில் முன்சொன்ன 4 செய்முறைகளை முழுமையாய்ச் செய்ய முடியாது; கூட்டல், பெருக்கல் மட்டுமே செய்ய முடியும்.

இனி, பொருட்களைப் பரிமாறிக் கொள்வதில் கொடுக்கல் வாங்கல் என்ற இருவேறு செயற்பாடுகள் தென்படுவதால், நம்மிடம் சேருவதைப் பொதிதல் (to posit) என்றும், அதற்கு மாறாய்க் கொடுப்பதை ”நம்மிடம் இருந்து போதல், இல்லாது போதல், இறங்கிப் போதல் (இழிந்து போதல்,இழத்தல்), நொய்ந்து போதல் (L. negare) ” என்று உருவகப் படுத்தியும், எண்களுக்கு முன்  ஆற்றுத் திசையை [direction of an action] இனங்காட்டி எண்களை அடையாளப் படுத்தல் கணிதத்தில் உண்டு. நொகையெண்கள் (negative numbers) என்ற கருத்தீடு இப்படியே கணிதத்தில் ஏற்பட்டது. .

மேற்சொன்ன பொதிவெண்கள் (positive numbers) நம்மிடம் வந்த பொருள்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும். நொகையெண்கள் (negative numbers) நம்மிடம் இருந்து சென்ற பொருள்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும். நம்மிடம் வந்து பணத்தைப் பொதிவு எண்களாலும், நாம் கொடுக்கவேண்டிய பணத்தை நொகையெண்களாலும் குறித்து, எல்லாவற்றையும் சேர்த்துக்கூட்டி, நிகரப் பணத்தைக் (net cash) கணக்குப் போடலாம். நிகரப் பணம் பொதிவாகவும் இன்றி, நொகையாகவும் இன்றி, வெறும் அற்றுப் போனதாக, இல்லாததாக, பாழாக அமையலாம். இந்நிலையை எண்ணாக்கி அதைச் சுழி என்பார்.

{சுழி = zero; வடக்கே போக, வாழைப்பழம் வாயப்பயம் ஆவது போல, ழகரம் யகரமாகும். சுல்>சுள்>சுழு>சுழி>சுழிவு>சுயிவு என்ற திரிவு, தமிழர்க்குக் குதிரை விற்கவந்த அரபிகளின் வழியே சுயிவு> ciypher>zero என்றானது. அரபிகள்வழி இந்தியக் கணிதம் தெற்கிருந்து போயிருக்கவே வாய்ப்புண்டு. சுழியை வட புலத்தில் சுல்நம்> சுன்னம்> சுன்யம் என்பார். சுழி, சுழியம், சுன்னம், பாழ், அற்றம், புழையம் என்பன zero குறிக்கும் தமிழ்ச் சொற்களே. (புழையப் பட்டதை - துளையப் பட்டதை - பூழப் பட்டது எனலாம். இதுவே பூழம்> பூழ்யம்>பூஜ்யம் ஆனது. நம்மவரோ, மூலந்தொலைத்துப் பூஜ்யத்தைப் பிடித்துத் தொங்கி, பூச்சியம் ஆக்குகிறார். பூழமும் பாழும் ஒன்றோடொன்று தொடர்புள்ளவை.)

இத்தனை சொற்கள் இங்கிருந்தும், 19 ஆம் நூற்றாண்டு வரை சுழிக் கருத்தீடு தமிழர் அறியாரெனும் தவற்றுக்கருத்து எப்படியோ அறிவுலகில் உலவுகிறது. இத்தனைக்கும், சுழிக்கருத்து முதலில் பதிவான ”லோகவிபாக” என்ற செயின ஆவணம் நம் காஞ்சியிற் தான் கி.பி.458 -இல் எழுதப்பட்டது. இருப்பினும் தமிழனுக்குச் சுழி தெரியவே தெரியாதாம் ஏனெனில் இந்நூல் தமிழன்றிப் பாகதத்தில் உள்ளதாம், :-))) என்செய்வது ?? முன்கூறிய Georges Ifrah வும், The universal history of numbers I, II, III என்ற தன்நூலில் தவறான கருத்தைப் பதிவு செய்திருப்பார். [அவர் இரண்டாம் நூலின் 123 ஆம் பக்கம்] சுழித்தோற்றத்தில் தமிழரின் பங்கு பற்றித் தனி ஆய்வு யாராவது வரலாற்றாய்வர் செய்தால், நன்றாக இருக்கும். ஆய்வுலகில் தமிழரின் பல செய்திகள் மற்றோருக்கு என மாறி எழுதிய குளறுபடிகள் மிகவுண்டு. தமிழர் என்று கண்டுகொள்வார்?}

முந்தைப் பொதிவெண்களுடன், புதிதாய்க் கற்பித்த நொகையெண்கள் (negative numbers), சுழி (zero) சேர்த்து ஒரு பெருங்கொத்து அமைக்க முடியும். இதைத் தொகுவெண் கொத்து (Set of integers) என்பார். கூட்டல், கழித்தல் இரண்டும் சேர்த்துத் தொகுத்தல் [summation] என்பதால், தொகுவெண் (integer) பெயரெழுந்தது. இவற்றை அடையாளப்படுத்த, அவற்றின் செருமானியப் பெயரில் (zahlen) வைத்து Z எனப் பெயரிடுவார். இக்கொத்து [.... -11 ,-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...] என்றமையும். இதனுள் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் ஆகியவை செய்து கிட்டும் விடைகள் கொத்தினுள் உள்ளதால், அவற்றைப் பொறுத்து இது மூடிய கொத்தாயிற்று. ஆனால், வகுத்தலின் படி இது இன்னும் திறந்த கொத்தே.

பெருக்கல் கருத்து நம் மரபில் ”மாறுதல், பழுக்குதல் (பருக்குதலின் பேச்சு வழக்கு)” என்றும் அழைக்கப்பட்டது. [குழித்தல் என்பது  விதப்பாக ஓர் எண்ணை அதே எண்ணாற் பெருக்குவதற்கும் பயன்பட்டது. பழஞ் சோழ நாட்டில் ஒரு குழி = 1 தண்டச் சதுரம் = 121 சதுரக் அடியைக் குறிக்கும். ஒரு தண்டம் = 2 கோல் என்பது இக்கால 11 அடியைக் குறிக்கும்.]

கடைசியாக இருக்கும் வகுத்தல் முறை ஆழப் புரிந்து கொள்ளவேண்டியது ஆகும். ஓரெண்ணை இன்னொன்றால் வகுக்கையில் வகுபடும் எண் (dividend), வகுக்கும் எண் (divisor), என்போம் அல்லவா? இவற்றோடு, வகுத்துக் கிட்டும் எண்ணை வகுதி, வகிர்தம் (இதுவே திரிந்து விகிதமானது; பலரும் விகிதத்தை வடமொழியெனத் தவறாக எண்ணுகிறார்.) பகுதி, ஈவு, கூறு (quotient) என்று பலவாறாகச் சொல்வார். வகுத்த பின்னால் மீந்ததை மீதி (remainder) என்பார்.

வகுபடும் எண் = வகுக்கும் எண் * வகுதி + மீதி

என்ற இச் சமன்பாடு எல்லோருக்கும் தெரிந்தவொன்றாகும். தமிழில்

வகுத்தலை ”வகிர்தல், பகுத்தல், ஈளுதல் (=ஈயுதல்), கூறாக்கல், முறித்தல்” என்றும் பலவாறாய்ச் சொல்லலாம். [ஈளும் கருவியான ஈள்+தி = ஈட்டியை இங்கு நினைக்கலாம்.] வகுபடும் எண்ணை ”வகிர்/ பகு/ ஈள்/ கூறு/ முறி படும் எண்” எனலாம். வகுக்கும் எண் என்பது ”வகிர்க்கும்/ பகுக்கும்/ ஈளும்/ கூறும்/ முறிக்கும் எண்” எனலாம். “வகுதி, வகிர்தம்> விகிர்தம்> விகிதம்> வீதம்), பகுதி [இது பங்கென்றும் சொல்லப்படும்), ஈள்வு(>ஈவு), மேனி, கூறு, முறிவு” என்பவை ஒருபொருட் சொற்கள்.

இற்றைத் தமிழில் வகுத்தல், பகுத்தல், விகிதம், வீதம், ஈவு, மேனி, கூறு என்ற சொற்களே புழங்குகின்றன. வகுபடும் எண்ணை வகுக்கும் எண்ணால் வகுப்பதைக் காட்டும் வகையில்

a வகுத்தற்குறி b

என்று ஈரெண் சோடியாகவோ, அன்றி வகுபடும் எண்ணை மேலெண்ணாய்க் [numerator] காட்டி, வகுக்கும் எண்ணைக் கீழெண்ணாய்க் [denominator] காட்டி

r = a/b.

என்றோ, எழுதுவதுண்டு. r போன்ற எண்கள் ”அரிதை யெண்கள்” (rational numbers) எனப்பெறும். [அரிதல் = வகுத்தல், பிரித்தல், பிளத்தல், வெட்டுதல்.] ஒன்றின்கீழ் மற்றொன்றாய் எழுதாது, கிடைக்கும் மீதியைப் மேலும் மேலும் வகுத்துப் பதின்மங்களாக [decimals] ஆக மாற்றியும் அரிதை எண்களைக் காட்சிப்படுத்துவர். அக்காட்சியில் வியத்தகு தோற்றம் காணலாம். ஏதோ  குறிப்பிட்ட தானம் (place of the digit) வரை பல்வேறு தோயங்கள் (digits) எழுந்து அதற்குமேல் தோயத்தொகுதிகள் திருப்பி வருவதைக் காணலாம்.

11.1111111....
15.2323232323.....
7.419419419419......
4.625789946257899462578994......

இங்கே, முதலெண்ணில் 1 எனும் தோயம் திருப்பி வருகிறது. இரண்டாவதில் 23 என்னும் தோயங்கள் திருப்பி வருகின்றன. மூன்றாவதில் 419 திருப்பி வருகின்றது. ஐந்தாவதில் 62578994 எனும் எட்டுத் தோயங்கள் திருப்பி வருகின்றன. இதுபோல, எல்லா அரிதை எண்களும் மீளவரும் தோயங்களைத் (repeating digits) தம் பதின்மப் பகுதியிற் (decimal portion) காட்டும்.  அரிதை யெண்களுக்கான அடிப்படைத் தோற்றம் இதுவாகும்.

இனி அரிதை எண்களின் அடர்த்தியைப் பார்ப்போம். 17/2 என்பதை வகுத்து பதின்மானத்திற் குறித்தால் 8.5 என்றாகும். அடுத்து 17/3 என்றால் 5.66666....... என்றாகும். இப்பொழுது 5.6666......ற்கும், 8.5ற்கும் இடையில் அரிதை எண்கள் உண்டா என்றால் ஏராளமுண்டு எனலாம். இப்படிக் குறிப்பிட்ட 2 எண்களுக்கு நடுவே, அடர்ந்திருப்பதால், அரிதை எண்களை அடர்ந்தவை (rational numbers are dense.) என்போம். அரிதையெண் கொத்து Q (Set of rational numbers Q) எனப்படும்.

அடுத்து, முற்றிலும் திருப்பிவாராத் தோயங்கள் கொண்ட எண்கள் உண்டா எனில் உண்டு. இது போன்ற எண்களை அரியொணா எண்கள் (irrational numbers) என்பார். அரிதை எண்களும், அரியொணா எண்களும் சேர்ந்தமையும் எண்களை உள்ளமை எண்கள் (real numbers) என்பார். உள்ளமை எண் கொத்து (Set of real numbers R) என்று அது அழைக்கப் படும். ஒரு கோடிழுத்து அதன் முழுப் புள்ளிகளை 1, 2, 3 என்பவற்றோடு பொருத்தினால், இவற்றின் இடையே அரிதை எண்களும் அரியொணா எண்களுமாய் கணக்கற்ற, வரம்பிலா எண்கள் இடம்பெற முடியும். இப்படி வரையப்பட்ட கோட்டை உள்ளமைக் கோடு (real line) என்பார். உள்ளமைக் கொத்தும் உள்ளமைக் கோடும் ஒன்றிற்கொன்று பொருந்துபவை. உள்ளக எண்கொத்தை வகுத்தற் செய்முறை கொண்டு பார்த்தாலும் அது மூடிய கொத்தே என்று புலப்படும்.

அன்புடன்,
இராம.கி.