வெண்பாவின் விதங்கள்

வெண்பாக்கள் என்பவை மரபு இலக்கிய வடிவத்தில் பெரிதும் சிறப்புப் பெற்றிருக்கின்றன. இந்தப் பாக்களின் உள்ளடக்கம் என்பதை யாராலும் கட்டுப் படுத்த முடியாது; இதில் புகுந்து எந்தக் கருத்தை வேண்டுமானாலும், எல்லா இலக்கிய உத்திகளுடன் கையாளலாம். அதே பொழுது நாம் காணும் சில விளையாட்டுக்கள், நாட்டியம், இசை போன்ற ஒவ்வொரு கலைக்கும் வெவ்வேறு கட்டுக்கள் உள்ளது போல் வெண்பா வடிவத்திற்கும் சில கட்டுக்கள் உண்டு. சொற்கட்டுகள் உள்ள வெண்பா வடிவம், அதில் உள்ள தளைகள், இலக்கணம் போன்றவை ஏதோ தங்களை நகர முடியாமல் கட்டிப் போடுவது போலவும், அதன் மூலம் தங்களுடைய கருத்தைச் சொல்ல முடியாது அடைக்கப் படுவதாகவும், இதில் என்ன கவிதை இருக்கிறது என்றும், இது வெறும் படிவம் நிரப்புவது என்றும், சிலர் சொல்லி வருகிறார்கள். (அதே பொழுது இப்படிச் சொல்பவர்களே வேறு ஏதோ கட்டுக்குள் இருக்கிறார்கள் என்பது வியத்தகும் இன்னொரு முரண்.) கட்டுக்கள் இருந்தாலும், வெண்பா என்ற வடிவத்தைக் கையாளுவது ஒன்றும் சரவலான செயல் இல்லை என்று அமைந்து, அசராமல் இலந்தையார், அனந்தர், பசுபதி, அரி, இரா.முருகன் மற்றும் பலர் அவ்வப்போது புகுந்து விளையாடிக் கொண்டுதான் இருக்கிறார்கள்.

வெண்பாவைச் சிலர் குறைத்து மதிப்பிடும் போக்கு இதில் உள்ள கட்டுமானங்களை இவர்கள் உணராததால் வந்ததோ என்றே எண்ணத் தோன்றுகிறது. வெண்பாக்களின் தளைகள், இலக்கணங்கள் எல்லாம் எத்தனை விதமான வெண்பாக்களை உருவாக்க முடியும் என்று அதன் அரங்கையும் (range) வீச்சையும் காட்டுகின்றன. கணிதத்தின் வழி இந்த அரங்கின் விரிவைக் காட்டவே இந்த மடலை இங்கு எழுதுகிறேன். "என்னடா, கவிதையைக் கணக்குள் கொண்டு வருகிறார்களே?" என்று சிலர் புறம்பாகக் கருதலாம். ஆனால் என்னைப் பொறுத்த வரையில் வெண்பாவில் காட்டும் ஒவ்வொரு பட்டவமும் (pattern) அதன் அழகுக்காக அறியப் படவேண்டியதே. இங்கே நான் கூறுகின்ற கணிதத்தில் தவறு இருப்பின் தெரியப் படுத்துங்கள்.

முதலில் ஓரிரண்டு வரையறைகளைச் சொல்ல வேண்டும். வெண்பாவில் ஈரசைகளும் மூவசைகளும் பயிலுவதால், கணக்கிட எளிமைக்காக இங்கே மேலசை (meta-sylaable) என்ற சொல்லை வரையறுக்கிறேன்.

மேலசை என்பது நாம் ஏற்கனவே அறிந்த நேர், நிரை போன்றவைகளும், அவற்றின் ஈரசைக் கூட்டுச் சேர்க்கைகளும் ஆகும். அதாவது "நேர், நிரை, நேர்நேர், நிரைநேர், நேர்நிரை, நிரைநிரை" எல்லாவற்றையும் மேலசை என்ற சொல்லால் அழைக்கிறேன். மரபுத் தமிழ்ப் பாக்களில் வரும் ஒவ்வொரு சீரும் இரண்டு மேலசைகளைக் கொண்டது. ஒரு பாவில் நாலு சீர்கள் வந்தால் அதில் 8 மேலசைகள் இருப்பதாகப் பொருள். இந்த எட்டு மேலசைகளில் ஒற்றைப்படை மேலசை (1,3,5,7) என்பது நாம் முழுதும் அறிந்த ஒற்றை அசைகளைப் போலவே வாய்ப்பாடு கொள்ளும் (அதாவது நேர், நிரை மட்டுமே). இரட்டைப்படை மேலசை என்பதைக் கூட்டு அசைகளாகவும், ஒற்றை அசைகளாகவும் வாய்ப்பாடு கொள்ளலாம். (அதாவது இரட்டைப்படை மேலசையாக நேர், நிரை, நேர்நேர், நிரைநேர், நேர்நிரை, நிரைநிரை என எது வேண்டுமானாலும் இருக்கலாம்.) இது தவிர வெண்பாவின் இறுதியில் குற்றியல் அசை (கு,சு,டு,து,பு,று) என்பது வந்தும் வராமலும் இருக்கலாம்.

கூர்ந்து கவனித்தால், வெண்பாவின் எந்த ஒரு ஈற்றடியும் ஐந்து மேலசைகளையும், ஒரு குற்றியல் அசையையும் கொண்டிருக்கும். இடை, முதல் அடிகள் 8 மேலசைகளையும் கொண்டிருக்கும். ஒரு குறட்பா என்பது ஒரு முதலடியும், ஒரு ஈற்றடியும் கொண்டது எனவே அது 13 மேலசைகளையும் ஒரு குற்றியலசையையும் கொண்டிருக்கும். சிந்தியல் வெண்பா ஒரு முதல் அடி, ஒரு இடை அடி, ஒரு ஈற்றடி கொண்டது. அதாவது அதில் 21 மேலசைகளும் 1 குற்றியலசையும் இருக்கும். அளவியல் வெண்பாவில் ஒரு முதலடி, இரண்டு இடையடிகள், ஒரு ஈற்றடி. அதனால் 29 மேலசைகளும் 1 குற்றியலசையும் அளவியல் வெண்பாவில் இருக்கும்.

ஒவ்வொரு பாவிலும் இரட்டைப்படை மேலசைகள் குறிப்பிட்டதாகவே இருக்கும். காட்டாக, எந்த வெண்பாவிலும் மாச்சீர், விளச்சீர், காய்ச்சீர் மட்டுமே பயிலும் என்றவுடன், இரண்டாம் மேலசையில் நேர், நிரை, நேர்நேர், நிரைநேர் என்ற நாலு மட்டுமே இருக்க முடியும் என்று புரிந்து கொள்ளுகிறோம்.

இனித் தளை என்பதைப் பார்ப்போம். இது அடுத்தடுத்த இரு சீர்களில் முதற்சீரின் இரண்டாம் மேலசைக்கும், இரண்டாம் சீரின் முதல் மேலசைக்கும் இருக்கும் உறவைக் குறிப்பது. சீரொதுக்கி வெறும் அசைகளை மட்டும் பார்த்தால், தளை என்பது ஒரு பாவில் இரட்டைப்படை மேலசைகளை அதற்கு அடுத்துவரும் ஒற்றைப்படை மேலசைகளோடு தொடர்பு படுத்திக் காட்டுவது. இந்திந்தத் தளைகள் இந்தப் பாவில் பயின்று வரும் என்றால் சில கூட்டுக்கள் மட்டுமே அனுமதிக்கப் படுகின்றன என்று கொள்ள வேண்டும்.

எந்தப் பாவிலும் தொடக்கத்தில் உள்ள மேலசையும் ஈற்றில் உள்ள குற்றியல் அசை மட்டுமே தளையில்லாது விட்ட விடுதலையாய் நம் விழைவுக்கு ஏற்பத் தேரக் கூடியவை.

இப்பொழுது வெண்பா என்று வரும் போது, இயற்சீர் வெண்டளையும், வெண்சீர் வெண்டளையும் மட்டுமே தளைக்க வேண்டும் என்பதால் கீழ்க்கண்ட தளைகள் மட்டுமே வெண்பாவில் ஏற்கப் படும்.

இரட்டைப்படை X ஒற்றைப்படை
மேலசை மேலசை
நிரை X நேர்
நேர்நேர் X நேர்
நிரைநேர் X நேர்
நேர் X நிரை

இப்பொழுது தனித்து நிற்கும் ஒரு வெண்பா ஈற்றடியைப் பார்ப்போம். இதில் முதல் மேலசையை நம் விருப்பம் போல் தேர்ந்தெடுக்கலாம். இதில் இரண்டு வகை தான் உண்டு (நேர், நிரை). இரண்டாவது மேலசையைத் தேர்ந்தெடுத்தால், மேலே கூறிய வெண்டளைகள் காரணமாய் மூன்றாவது மேலசையையும் தேர்ந்தெடுத்ததாக ஆகும். அதாவது 2X3 என்ற இரு மேலசைகளையும் சேர்த்தே தான் எடுக்க வேண்டும். இதே போல 4X5 யையும் சேர்ந்தே எடுக்க வேண்டும். 2X3 யை 4 விதமாய்த் தேர்ந்தெடுக்கலாம்; அதே போல 4X5 யை 4 விதமாகத் தேர்ந்தெடுக்கலாம். 6 வது மேலசை வெண்பாவின் இலக்கணப்படி குற்றியல் அசை; இது இருக்கலாம்; இல்லாது போகலாம். இன்னொரு நோக்கில் சொன்னால் இரண்டுவிதமாய் இந்த குற்றியல் மேலசையைக் குறிக்கலாம்.

மேலசை 1 2X3 4X5 6
விதங்கள் 2 4 4 2

மொத்த விதங்கள் = 2*4*4*2 = 64

எனவே 64 விதமான ஈற்றடிகள் உருவாக்க முடியும். இனி அடுத்து குறட்பாக்களைப் பார்ப்போம். இது மொத்தம் 14 மேலசைகளைக் கொண்டது

மேலசை 1 2X3 4X5 6X7 8X9 10X11 12X13 14
விதங்கள் 2 4 4 4 4 4 4 2

மொத்த விதங்கள் = 2*4^6*2 = 16384

இந்தக் கணிப்பில் இது காறும் எதுகை என்ற கருத்தை உள்ளே கொண்டுவரவில்லை. எதுகையின் ஒருவித இலக்கணப் படி, முதல் மேலசை நேர் என்றால் 9 வது மேலசையும் நேர் என இருக்க வேண்டும். அதே பொழுது ஒன்பதாவது மேலசைக்கு இணையாக 3 விதமாக 8வது மேலசையைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம்.னைதே போல், முதல் மேலசை நிரை என்றால் 9 வது மேலசையும் நிரையாக இருக்கவேண்டும். அதே பொழுது ஒன்பதாவது மேலசைக்கு இணையாக 1 விதம் மட்டும் தான் 8 வது மேலசையைத் தேர்ந்தெடுக்க முடியும்.

இந்தக் கட்டுகளோடு, இப்பொழுது முதல் மேலசை நேர் என்று வைத்துக் கொள்ளுங்கள்

மேலசை 1 2X3 4X5 6X7 8X9 10X11 12X13 14
விதங்கள் 1 4 4 4 3 4 4 2

மொத்த விதங்கள் = 1*4^5*3*2 = 6144

இப்பொழுது முதல் மேலசை நிரை என்று வைத்துக் கொள்ளுங்கள்

மேலசை 1 2X3 4X5 6X7 8X9 10X11 12X13 14
விதங்கள் 1 4 4 4 1 4 4 2

மொத்த விதங்கள் = 1*4^5*1*2 = 2048

ஆக மொத்த விதங்கள் = 6144+2048 = 8192

அதாவது 8192 விதமான இன்னிசைக் குறட்பாக்களைத் தளை தவறாமல் செய்ய முடியும். எதுகை என்ற கட்டை விதித்தவுடன் முதலில் கணித்த 16384 பிணைப்புக்கள் 8192 பிணைப்புகளாய்ச் சுருங்கிவிட்டன பாருங்கள். அதே பொழுது அழகு கூடி இருக்கிறது. எதுகையுள்ள குறட்பா கேட்க அழகாய் இருக்கிறது அல்லவா? இந்த கணிப்பைக் கூட்டிக் கொண்டு போகலாம்.

இன்னிசைச் சிந்தியல் வெண்பா (மூவடி வெண்பா), எதுகைக் கட்டைச் சேர்த்துப் பார்த்தால், நேரசைத் தொடங்கலுக்கு 1179648 விதமும், நிரையசைத் தொடங்கலுக்கு 131072 விதமும், ஆக மொத்தம் 1310720 விதங்களில் பாக்களை உருவாக்க முடியும்.

இன்னிசை அளவியல் வெண்பா (நாலடி வெண்பா), எதுகைக் கட்டைச் சேர்த்துப் பார்த்தால், நேரசைத் தொடங்கலுக்கு 226492416 விதமும், நிரையசைத் தொடங்கலுக்கு 8388608 விதமும், ஆக மொத்தம் 234881024 விதங்களில் பாக்களை உருவாக்க முடியும்.

நேரிசை வெண்பாக்களின் விதங்களையும் இது போலவே காணமுடியும். செய்ய வேண்டியது, தனிச்சீரின் எதுகைக் கட்டை உள்ளே பிணைப்பதுதான். காட்டாக 1, 9,15,17,25 வது மேலசைகள் எல்லாமே நேர் அசை என்றால் 169869312 விதமும், நிரையசைத் தொடங்கலுக்கு 2097152 விதமும், ஆக மொத்தம் 171966464 விதமுமாகப் பாக்களை உருவாக்க முடியும்.

இத்தனை பட்டவங்களையும் ஒரு மாந்தன் தனித்துச் செய்வது என்பது முடியாத கதை. 234 மில்லியனுக்கும் மேல் இன்னிசை அளவியல் வெண்பாக்கள் இருக்கின்றன என்பது தெரிந்த பிறகுமா, படிவம் நிரப்புதல் என்று ஒருவர் சொல்ல முடியும்? வெண்பா இயற்றுவது ஒன்றும் கம்பசூத்திரம் அல்ல; மிகச் சிறிய ஒழுங்குகளைக் கைக்கொண்டால் அது வெட்ட வெளியில் பறப்பது தான்.

அன்புடன்,
இராம.கி.

In TSCII:

¦ÅñÀ¡Å¢ý Å¢¾í¸û

¦ÅñÀ¡ì¸û ±ýÀ¨Å ÁÃÒ þÄ츢 ÅÊÅò¾¢ø ¦ÀâÐõ º¢ÈôÒô ¦ÀüÈ¢Õ츢ýÈÉ. þó¾ô À¡ì¸Ç¢ý ¯ûǼì¸õ ±ýÀ¨¾ ¡áÖõ ¸ðÎô ÀÎò¾ ÓÊ¡Ð; þ¾¢ø ÒÌóÐ ±ó¾ì ¸Õò¨¾ §ÅñÎÁ¡É¡Öõ, ±øÄ¡ þÄ츢 ¯ò¾¢¸Ù¼ý ¨¸Â¡ÇÄ¡õ. «§¾ ¦À¡ØÐ ¿¡õ ¸¡Ïõ º¢Ä Å¢¨Ç¡ðÎì¸û, ¿¡ðÊÂõ, þ¨º §À¡ýÈ ´ù¦Å¡Õ ¸¨ÄìÌõ ¦Åù§ÅÚ ¸ðÎì¸û ¯ûÇÐ §À¡ø ¦ÅñÀ¡ ÅÊÅò¾¢üÌõ º¢Ä ¸ðÎì¸û ¯ñÎ. ¦º¡ü¸ðθû ¯ûÇ ¦ÅñÀ¡ ÅÊÅõ, «¾¢ø ¯ûÇ ¾¨Ç¸û, þÄ츽õ §À¡ýȨŠ²§¾¡ ¾í¸¨Ç ¿¸Ã ÓÊ¡Áø ¸ðÊô §À¡ÎÅÐ §À¡Ä×õ, «¾ý ãÄõ ¾í¸Ù¨¼Â ¸Õò¨¾î ¦º¡øÄ ÓÊ¡Р«¨¼ì¸ô ÀΞ¡¸×õ, þ¾¢ø ±ýÉ ¸Å¢¨¾ þÕ츢ÈÐ ±ýÚõ, þÐ ¦ÅÚõ ÀÊÅõ ¿¢ÃôÒÅÐ ±ýÚõ, º¢Ä÷ ¦º¡øÄ¢ ÅÕ¸¢È¡÷¸û. («§¾ ¦À¡ØÐ þôÀÊî ¦º¡øÀÅ÷¸§Ç §ÅÚ ²§¾¡ ¸ðÎìÌû þÕ츢ȡ÷¸û ±ýÀРŢÂò¾Ìõ þý¦É¡Õ ÓÃñ.) ¸ðÎì¸û þÕó¾¡Öõ, ¦ÅñÀ¡ ±ýÈ ÅÊÅò¨¾ì ¨¸Â¡ÙÅÐ ´ýÚõ ºÃÅÄ¡É ¦ºÂø þø¨Ä ±ýÚ «¨ÁóÐ, «ºÃ¡Áø þÄó¨¾Â¡÷, «Éó¾÷, ÀÍÀ¾¢, «Ã¢, þá.ÓÕ¸ý ÁüÚõ ÀÄ÷ «ùÅô§À¡Ð ÒÌóРŢ¨Ç¡Êì ¦¸¡ñξ¡ý þÕ츢ȡ÷¸û.

¦ÅñÀ¡¨Åî º¢Ä÷ ̨ÈòÐ Á¾¢ôÀ¢Îõ §À¡ìÌ þ¾¢ø ¯ûÇ ¸ðÎÁ¡Éí¸¨Ç þÅ÷¸û ¯½Ã¡¾¾¡ø Å󾧾¡ ±ý§È ±ñ½ò §¾¡ýÚ¸¢ÈÐ. ¦ÅñÀ¡ì¸Ç¢ý ¾¨Ç¸û, þÄ츽í¸û ±øÄ¡õ ±ò¾¨É Å¢¾Á¡É ¦ÅñÀ¡ì¸¨Ç ¯ÕÅ¡ì¸ ÓÊÔõ ±ýÚ «¾ý «Ãí¨¸Ôõ (range) ţÔõ ¸¡ðθ¢ýÈÉ. ¸½¢¾ò¾¢ý ÅÆ¢ þó¾ «Ãí¸¢ý Ţâ¨Åì ¸¡ð¼§Å þó¾ Á¼¨Ä þíÌ ±Øи¢§Èý. "±ýɼ¡, ¸Å¢¨¾¨Âì ¸½ìÌû ¦¸¡ñÎ ÅÕ¸¢È¡÷¸§Ç?" ±ýÚ º¢Ä÷ ÒÈõÀ¡¸ì ¸Õ¾Ä¡õ. ¬É¡ø ±ý¨Éô ¦À¡Úò¾ Ũâø ¦ÅñÀ¡Å¢ø ¸¡ðÎõ ´ù¦Å¡Õ Àð¼ÅÓõ (pattern) «¾ý «ÆÌ측¸ «È¢Âô À¼§Åñʧ¾. þí§¸ ¿¡ý ÜÚ¸¢ýÈ ¸½¢¾ò¾¢ø ¾ÅÚ þÕôÀ¢ý ¦¾Ã¢Âô ÀÎòÐí¸û.

ӾĢø µÃ¢ÃñΠŨèȸ¨Çî ¦º¡øÄ §ÅñÎõ. ¦ÅñÀ¡Å¢ø ®Ã¨º¸Ùõ ãŨº¸Ùõ À¢Öž¡ø, ¸½ì¸¢¼ ±Ç¢¨Á측¸ þí§¸ §ÁĨº (meta-sylaable) ±ýÈ ¦º¡ø¨Ä ŨÃÂÚ츢§Èý.

§ÁĨº ±ýÀÐ ¿¡õ ²ü¸É§Å «È¢ó¾ §¿÷, ¿¢¨Ã §À¡ýȨŸÙõ, «ÅüÈ¢ý ®Ã¨ºì ÜðÎî §º÷쨸¸Ùõ ¬Ìõ. «¾¡ÅÐ "§¿÷, ¿¢¨Ã, §¿÷§¿÷, ¿¢¨Ã§¿÷, §¿÷¿¢¨Ã, ¿¢¨Ã¿¢¨Ã" ±øÄ¡Åü¨ÈÔõ §ÁĨº ±ýÈ ¦º¡øÄ¡ø «¨Æ츢§Èý. ÁÃÒò ¾Á¢úô À¡ì¸Ç¢ø ÅÕõ ´ù¦Å¡Õ º£Õõ þÃñÎ §ÁĨº¸¨Çì ¦¸¡ñ¼Ð. ´Õ À¡Å¢ø ¿¡Ö º£÷¸û Åó¾¡ø «¾¢ø 8 §ÁĨº¸û þÕôÀ¾¡¸ô ¦À¡Õû. þó¾ ±ðÎ §ÁĨº¸Ç¢ø ´ü¨ÈôÀ¨¼ §ÁĨº (1,3,5,7) ±ýÀÐ ¿¡õ ÓØÐõ «È¢ó¾ ´ü¨È «¨º¸¨Çô §À¡Ä§Å Å¡öôÀ¡Î ¦¸¡ûÙõ («¾¡ÅÐ §¿÷, ¿¢¨Ã ÁðΧÁ). þÃð¨¼ôÀ¨¼ §ÁĨº ±ýÀ¨¾ì ÜðÎ «¨º¸Ç¡¸×õ, ´ü¨È «¨º¸Ç¡¸×õ Å¡öôÀ¡Î ¦¸¡ûÇÄ¡õ. («¾¡ÅÐ þÃð¨¼ôÀ¨¼ §ÁĨºÂ¡¸ §¿÷, ¿¢¨Ã, §¿÷§¿÷, ¿¢¨Ã§¿÷, §¿÷¿¢¨Ã, ¿¢¨Ã¿¢¨Ã ±É ±Ð §ÅñÎÁ¡É¡Öõ þÕì¸Ä¡õ.) þÐ ¾Å¢Ã ¦ÅñÀ¡Å¢ý þÚ¾¢Â¢ø ÌüÈ¢Âø «¨º (Ì,Í,Î,Ð,Ò,Ú) ±ýÀÐ ÅóÐõ ÅáÁÖõ þÕì¸Ä¡õ.

Ü÷óÐ ¸ÅÉ¢ò¾¡ø, ¦ÅñÀ¡Å¢ý ±ó¾ ´Õ ®üÈÊÔõ ³óÐ §ÁĨº¸¨ÇÔõ, ´Õ ÌüÈ¢Âø «¨º¨ÂÔõ ¦¸¡ñÊÕìÌõ. þ¨¼, Ó¾ø «Ê¸û 8 §ÁĨº¸¨ÇÔõ ¦¸¡ñÊÕìÌõ. ´Õ ÌÈðÀ¡ ±ýÀÐ ´Õ Ó¾ÄÊÔõ, ´Õ ®üÈÊÔõ ¦¸¡ñ¼Ð ±É§Å «Ð 13 §ÁĨº¸¨ÇÔõ ´Õ ÌüÈ¢ÂĨº¨ÂÔõ ¦¸¡ñÊÕìÌõ. º¢ó¾¢Âø ¦ÅñÀ¡ ´Õ Ó¾ø «Ê, ´Õ þ¨¼ «Ê, ´Õ ®üÈÊ ¦¸¡ñ¼Ð. «¾¡ÅÐ «¾¢ø 21 §ÁĨº¸Ùõ 1 ÌüÈ¢ÂĨºÔõ þÕìÌõ. «ÇÅ¢Âø ¦ÅñÀ¡Å¢ø ´Õ Ó¾ÄÊ, þÃñÎ þ¨¼Âʸû, ´Õ ®üÈÊ. «¾É¡ø 29 §ÁĨº¸Ùõ 1 ÌüÈ¢ÂĨºÔõ «ÇÅ¢Âø ¦ÅñÀ¡Å¢ø þÕìÌõ.

´ù¦Å¡Õ À¡Å¢Öõ þÃð¨¼ôÀ¨¼ §ÁĨº¸û ÌÈ¢ôÀ¢ð¼¾¡¸§Å þÕìÌõ. ¸¡ð¼¡¸, ±ó¾ ¦ÅñÀ¡Å¢Öõ Á¡îº£÷, Å¢Ç÷, ¸¡ö÷ ÁðΧÁ À¢Öõ ±ýÈ×¼ý, þÃñ¼¡õ §ÁĨºÂ¢ø §¿÷, ¿¢¨Ã, §¿÷§¿÷, ¿¢¨Ã§¿÷ ±ýÈ ¿¡Ö ÁðΧÁ þÕì¸ ÓÊÔõ ±ýÚ ÒâóÐ ¦¸¡ûÙ¸¢§È¡õ.

þÉ¢ò ¾¨Ç ±ýÀ¨¾ô À¡÷ô§À¡õ. þÐ «Îò¾Îò¾ þÕ º£÷¸Ç¢ø Ó¾üº£Ã¢ý þÃñ¼¡õ §ÁĨºìÌõ, þÃñ¼¡õ º£Ã¢ý Ó¾ø §ÁĨºìÌõ þÕìÌõ ¯È¨Åì ÌÈ¢ôÀÐ. º£¦Ã¡Ð츢 ¦ÅÚõ «¨º¸¨Ç ÁðÎõ À¡÷ò¾¡ø, ¾¨Ç ±ýÀÐ ´Õ À¡Å¢ø þÃð¨¼ôÀ¨¼ §ÁĨº¸¨Ç «¾üÌ «ÎòÐÅÕõ ´ü¨ÈôÀ¨¼ §ÁĨº¸§Ç¡Î ¦¾¡¼÷Ò ÀÎò¾¢ì ¸¡ðÎÅÐ. þó¾¢ó¾ò ¾¨Ç¸û þó¾ô À¡Å¢ø À¢ýÚ ÅÕõ ±ýÈ¡ø º¢Ä ÜðÎì¸û ÁðΧÁ «ÛÁ¾¢ì¸ô Àθ¢ýÈÉ ±ýÚ ¦¸¡ûÇ §ÅñÎõ.

±ó¾ô À¡Å¢Öõ ¦¾¡¼ì¸ò¾¢ø ¯ûÇ §ÁĨºÔõ ®üÈ¢ø ¯ûÇ ÌüÈ¢Âø «¨º ÁðΧÁ ¾¨Ç¢øġРŢð¼ Ţξ¨Ä¡ö ¿õ Å¢¨Æ×ìÌ ²üÀò §¾Ãì ÜʨÅ.

þô¦À¡ØÐ ¦ÅñÀ¡ ±ýÚ ÅÕõ §À¡Ð, þÂüº£÷ ¦Åñ¼¨ÇÔõ, ¦Åñº£÷ ¦Åñ¼¨ÇÔõ ÁðΧÁ ¾¨Çì¸ §ÅñÎõ ±ýÀ¾¡ø ¸£úì¸ñ¼ ¾¨Ç¸û ÁðΧÁ ¦ÅñÀ¡Å¢ø ²ü¸ô ÀÎõ.

þÃð¨¼ôÀ¨¼ X ´ü¨ÈôÀ¨¼
§ÁĨº §ÁĨº
¿¢¨Ã X §¿÷
§¿÷§¿÷ X §¿÷
¿¢¨Ã§¿÷ X §¿÷
§¿÷ X ¿¢¨Ã

þô¦À¡ØÐ ¾É¢òÐ ¿¢üÌõ ´Õ ¦ÅñÀ¡ ®üÈʨÂô À¡÷ô§À¡õ. þ¾¢ø Ó¾ø §ÁĨº¨Â ¿õ Å¢ÕôÀõ §À¡ø §¾÷ó¦¾Îì¸Ä¡õ. þ¾¢ø þÃñΠŨ¸ ¾¡ý ¯ñÎ (§¿÷, ¿¢¨Ã). þÃñ¼¡ÅÐ §ÁĨº¨Âò §¾÷ó¦¾Îò¾¡ø, §Á§Ä ÜȢ ¦Åñ¼¨Ç¸û ¸¡Ã½Á¡ö ãýÈ¡ÅÐ §ÁĨº¨ÂÔõ §¾÷ó¦¾Îò¾¾¡¸ ¬Ìõ. «¾¡ÅÐ 2X3 ±ýÈ þÕ §ÁĨº¸¨ÇÔõ §º÷ò§¾ ¾¡ý ±Îì¸ §ÅñÎõ. þ§¾ §À¡Ä 4X5 ¨ÂÔõ §º÷ó§¾ ±Îì¸ §ÅñÎõ. 2X3 ¨Â 4 Å¢¾Á¡öò §¾÷ó¦¾Îì¸Ä¡õ; «§¾ §À¡Ä 4X5 ¨Â 4 Å¢¾Á¡¸ò §¾÷ó¦¾Îì¸Ä¡õ. 6 ÅÐ §ÁĨº ¦ÅñÀ¡Å¢ý þÄ츽ôÀÊ ÌüÈ¢Âø «¨º; þÐ þÕì¸Ä¡õ; þøÄ¡Ð §À¡¸Ä¡õ. þý¦É¡Õ §¿¡ì¸¢ø ¦º¡ýÉ¡ø þÃñÎÅ¢¾Á¡ö þó¾ ÌüÈ¢Âø §ÁĨº¨Âì ÌÈ¢ì¸Ä¡õ.

§ÁĨº 1 2X3 4X5 6
Å¢¾í¸û 2 4 4 2

¦Á¡ò¾ Å¢¾í¸û = 2*4*4*2 = 64

±É§Å 64 Å¢¾Á¡É ®üÈʸû ¯ÕÅ¡ì¸ ÓÊÔõ. þÉ¢ «ÎòÐ ÌÈðÀ¡ì¸¨Çô À¡÷ô§À¡õ. þÐ ¦Á¡ò¾õ 14 §ÁĨº¸¨Çì ¦¸¡ñ¼Ð

§ÁĨº 1 2X3 4X5 6X7 8X9 10X11 12X13 14
Å¢¾í¸û 2 4 4 4 4 4 4 2

¦Á¡ò¾ Å¢¾í¸û = 2*4^6*2 = 16384

þó¾ì ¸½¢ôÀ¢ø þÐ ¸¡Úõ ±Ð¨¸ ±ýÈ ¸Õò¨¾ ¯û§Ç ¦¸¡ñÎÅÃÅ¢ø¨Ä. ±Ð¨¸Â¢ý ´ÕÅ¢¾ þÄ츽ô ÀÊ, Ó¾ø §ÁĨº §¿÷ ±ýÈ¡ø 9 ÅÐ §ÁĨºÔõ §¿÷ ±É þÕì¸ §ÅñÎõ. «§¾ ¦À¡ØÐ ´ýÀ¾¡ÅÐ §ÁĨºìÌ þ¨½Â¡¸ 3 Å¢¾Á¡¸ 8ÅÐ §ÁĨº¨Âò §¾÷ó¦¾Îì¸Ä¡õ.¨É§¾ §À¡ø, Ó¾ø §ÁĨº ¿¢¨Ã ±ýÈ¡ø 9 ÅÐ §ÁĨºÔõ ¿¢¨Ã¡¸ þÕ츧ÅñÎõ. «§¾ ¦À¡ØÐ ´ýÀ¾¡ÅÐ §ÁĨºìÌ þ¨½Â¡¸ 1 Å¢¾õ ÁðÎõ ¾¡ý 8 ÅÐ §ÁĨº¨Âò §¾÷ó¦¾Îì¸ ÓÊÔõ.

þó¾ì ¸ðθ§Ç¡Î, þô¦À¡ØÐ Ó¾ø §ÁĨº §¿÷ ±ýÚ ¨ÅòÐì ¦¸¡ûÙí¸û

§ÁĨº 1 2X3 4X5 6X7 8X9 10X11 12X13 14
Å¢¾í¸û 1 4 4 4 3 4 4 2

¦Á¡ò¾ Å¢¾í¸û = 1*4^5*3*2 = 6144

þô¦À¡ØÐ Ó¾ø §ÁĨº ¿¢¨Ã ±ýÚ ¨ÅòÐì ¦¸¡ûÙí¸û

§ÁĨº 1 2X3 4X5 6X7 8X9 10X11 12X13 14
Å¢¾í¸û 1 4 4 4 1 4 4 2

¦Á¡ò¾ Å¢¾í¸û = 1*4^5*1*2 = 2048

¬¸ ¦Á¡ò¾ Å¢¾í¸û = 6144+2048 = 8192

«¾¡ÅÐ 8192 Å¢¾Á¡É þýÉ¢¨ºì ÌÈðÀ¡ì¸¨Çò ¾¨Ç ¾ÅÈ¡Áø ¦ºö ÓÊÔõ. ±Ð¨¸ ±ýÈ ¸ð¨¼ Å¢¾¢ò¾×¼ý ӾĢø ¸½¢ò¾ 16384 À¢¨½ôÒì¸û 8192 À¢¨½ôҸǡöî ÍÕí¸¢Å¢ð¼É À¡Õí¸û. «§¾ ¦À¡ØÐ «ÆÌ ÜÊ þÕ츢ÈÐ. ±Ð¨¸ÔûÇ ÌÈðÀ¡ §¸ð¸ «Æ¸¡ö þÕ츢ÈÐ «øÄÅ¡? þó¾ ¸½¢ô¨Àì ÜðÊì ¦¸¡ñÎ §À¡¸Ä¡õ.

þýÉ¢¨ºî º¢ó¾¢Âø ¦ÅñÀ¡ (ãÅÊ ¦ÅñÀ¡), ±Ð¨¸ì ¸ð¨¼î §º÷òÐô À¡÷ò¾¡ø, §¿Ã¨ºò ¦¾¡¼í¸ÖìÌ 1179648 Å¢¾Óõ, ¿¢¨Ã¨ºò ¦¾¡¼í¸ÖìÌ 131072 Å¢¾Óõ, ¬¸ ¦Á¡ò¾õ 1310720 Å¢¾í¸Ç¢ø À¡ì¸¨Ç ¯ÕÅ¡ì¸ ÓÊÔõ.

þýÉ¢¨º «ÇÅ¢Âø ¦ÅñÀ¡ (¿¡ÄÊ ¦ÅñÀ¡), ±Ð¨¸ì ¸ð¨¼î §º÷òÐô À¡÷ò¾¡ø, §¿Ã¨ºò ¦¾¡¼í¸ÖìÌ 226492416 Å¢¾Óõ, ¿¢¨Ã¨ºò ¦¾¡¼í¸ÖìÌ 8388608 Å¢¾Óõ, ¬¸ ¦Á¡ò¾õ 234881024 Å¢¾í¸Ç¢ø À¡ì¸¨Ç ¯ÕÅ¡ì¸ ÓÊÔõ.

§¿Ã¢¨º ¦ÅñÀ¡ì¸Ç¢ý Å¢¾í¸¨ÇÔõ þÐ §À¡Ä§Å ¸¡½ÓÊÔõ. ¦ºö §ÅñÊÂÐ, ¾É¢îº£Ã¢ý ±Ð¨¸ì ¸ð¨¼ ¯û§Ç À¢¨½ôÀо¡ý. ¸¡ð¼¡¸ 1, 9,15,17,25 ÅÐ §ÁĨº¸û ±øÄ¡§Á §¿÷ «¨º ±ýÈ¡ø 169869312 Å¢¾Óõ, ¿¢¨Ã¨ºò ¦¾¡¼í¸ÖìÌ 2097152 Å¢¾Óõ, ¬¸ ¦Á¡ò¾õ 171966464 Å¢¾ÓÁ¡¸ô À¡ì¸¨Ç ¯ÕÅ¡ì¸ ÓÊÔõ.

þò¾¨É Àð¼Åí¸¨ÇÔõ ´Õ Á¡ó¾ý ¾É¢òÐî ¦ºöÅÐ ±ýÀÐ ÓÊ¡¾ ¸¨¾. 234 Á¢øÄ¢ÂÛìÌõ §Áø þýÉ¢¨º «ÇÅ¢Âø ¦ÅñÀ¡ì¸û þÕ츢ýÈÉ ±ýÀÐ ¦¾Ã¢ó¾ À¢ÈÌÁ¡, ÀÊÅõ ¿¢ÃôÒ¾ø ±ýÚ ´ÕÅ÷ ¦º¡øÄ ÓÊÔõ? ¦ÅñÀ¡ þÂüÚÅÐ ´ýÚõ ¸õÀÝò¾¢Ãõ «øÄ; Á¢¸î º¢È¢Â ´Øí̸¨Çì ¨¸ì¦¸¡ñ¼¡ø «Ð ¦Åð¼ ¦ÅǢ¢ø ÀÈôÀÐ ¾¡ý.

«ýÒ¼ý,
þáÁ.¸¢.