Wednesday, April 28, 2010

எண்ணியல் - 5

குழிமாற்றுக் கணக்குகளில் (அதாவது, பரப்பைக் கண்டுபிடிக்கும் கணக்குகளில்) சதுரம், செவ்வகம் ஆகியவற்றின் பக்கங்களைக் கொடுத்துப் பரப்புக் காணவும், பரப்பைக் கொடுத்து நீள, அகலங்களுக்கிடையே ஓர் உறவையும் கொடுத்து, பக்கங்களைக் காணச் சொல்வதும் பழங்கணிதத்தில் ஒரு பழக்கமாகும். இந்தப் புதிரிகளில் விதம்விதமாகக் கடுமையைக் கூட்டிக் கொண்டே போவார்கள். ஒரு விறுவிறுப்பும் இருக்கும். சதுரம், செவ்வகம் போக, நாற்கோட்டம் (quadrilateral), நாற்பதியம் (trapezium) என்று வடிவங்கள் விரிந்து கொண்டே போகும். இத்தனை வடிவங்களும் நிலவரிக் கணிப்பின் தொடர்பாற் கணிதத்துள் வந்தன. இவை போக வட்ட நிலங்கள், அரைவட்ட, கால்வட்ட, வில்வட்ட நிலங்கள் என்றும் பல்வேறு நிலங்களும் உண்டு. பேரரசுச் சோழர் காலக் கல்வெட்டுக்களைப் படித்தால் நிலங்களின் வகை கண்டு வியந்து போவோம். கணக்கில் திறனில்லையென்றால் இத்தனையும் எப்படிச் சரிபார்ப்பது? அதோடு, ஆறில் ஒரு போக விளைச்சலை அரசன் இறையாக எடுத்துக் கொள்ளவேண்டுமே? எண்ணியலும், வடிவியலும், பொருத்தியலும் குறைந்தது பேரரசுச் சோழர்காலத்தில் பெரிதும் வளர்ந்திருக்கவேண்டும். [இந்த அறிவில்லாமல் ஒரு பேரரசின் பொருளியல் இருந்திருக்கமுடியுமா?]

[எண்ணியலில் வரும் மற்ற எண்களைச் சொல்லும் முன், இவ்விடத்தில் ஓர் இடைவிலகல் செய்யாது என்னால் இருக்கமுடியவில்லை. பொறுத்துக் கொள்ளுங்கள். செவ்வகம், சதுரம் போன்ற சொற்கள் எப்படியெழுந்தன தெரியுமோ?

செவ்வஃகம்>செவ்வகம்; அஃகம் = கூர், முனை. கூராதல் என்னும் போது முனைகளில் இருந்து எழும் கதிர்களின் கோணத்தையும் குறிக்கும். ”அஃகி அகன்ற அறிவென்னாம்” என்பது குறள் 175. கூர்ந்து அகன்ற விரிவு என்பது விரிந்த கோணத்தைக் குறிக்காமல் வேறு எதைக் குறிக்கும்? கூர்ந்து அகன்ற விரிவு இங்கு அறிவுக்கு இயல்பாய்ச் சுட்டப்பெறுகிறது. செவ்வையான அஃகம் = செவ்வையான கோணம். அதாவது 90 பாகையில் இருப்பது புலப்படுகிறது. செங்கோணம் என்று பள்ளிப்பாடத்திற் சொல்லிக் கொடுக்கிறார்கள் அல்லவா? ஒவ்வொரு அஃகமும் செங்கோணத்தில் இருக்கவேண்டுமானால், அந்த நாலு கோணங்களும் 90 பாகையாகத்தான் இருக்கமுடியும். யுக்லீடின் வடிவியலில் வேறுவழியில்லை. ஆகச் செவ்வஃகம் என்று பெயர் சூட்டியதே ஓர் அழகு தெரியுமோ? வடமொழியிலும் சமகோணம் என்று செவ்வஃகத்தை பெயரிடுவார்கள்.

அதே போலச் சதுரம் என்ற சொல்லின் தோற்றத்தையும் அறிவது நல்லது. ”கரம், சிரம், புறம் நீட்டாதீர்கள்” என்ற வாசகத்தைத் தமிழகத்தின் தெற்குப் பக்கத்துப் பேருந்துகளில் எழுதிப் போட்டிருப்பார்கள். கரம் என்பது கைக்கு இன்னொரு பெயர். கருமம் செய்வது கை. கருத்தல் / கருமுதல் என்பது கரத்திற்கான வினைச்சொல். கருப்பது கரம். கரத்தை வடமொழிச்சொல் என்றே பலரும் நினைத்துக் கொண்டிருக்கிறார்கள். சாதிக்கவும் செய்கிறார்கள். இதன் தமிழ்மையை எழுதப் புகுந்தால் பக்கங்கள் நீளும். கரத்தில் விளையும் செயல் காரம் அது வடமொழியிற் போய் கார்யம் என்று திரியும். மீண்டும் தமிழுக்குக் காரியம் என்று வந்துசேரும். (நாமும் அதைப் பயன்படுத்திக் கொண்டிருக்கிறோம். காரியத்தின் பின்னிருப்பது காரணம். அதை நல்லதமிழிற் கரணியம் என்றும் சொல்லுவர்.) காரம்/கருமம் செய்பவன் காரன் ஆவான். [காரம் என்ற சொல் நம்மூரில் ஒருசில இடங்கள் தவிர்த்துப் பிற இடங்களில் வழக்கற்றுப் போனது] ”காரன்” என்று முடியும் சொற்கள் தமிழிற் கணக்கில. வேலைக்காரன் போன்ற சொற்களும் எண்ணற்றவை. ”காரன்” என்று முடிவதெல்லாம் வடமொழிச்சொற்கள் அல்ல.

நாலு கை உள்ளது சதுகரம். இதைப் பலுக்கும் போது, உள்ளே வரும் ககரம் சற்றே மெலிந்து ஒலிக்கும். அதுதான் சரியான தமிழ்முறைப் பலுக்கலின் இயற்கை. முடிவில் ககரம் ஒலிபடாமலே போய், சதுகரம் சதுரமாயிற்று. முன்னால் வரும் சதுவிற்கு என்னபொருள் ? - என்பது அடுத்த கேள்வி.

ஒன்று, இரண்டு, மூன்று....... என்று பல்வேறு எண்ணுச் சொற்கள் பிறந்த கதையை இங்கு சொல்லப் புகுந்தால் வேறு பக்கம் இழுத்துக் கொண்டு போகும். (அதை வேறொரு நாள் எழுதுவேன். இப்பொழுது விடுக்கிறேன்.) அடுத்த எண்ணாகக் கை என்னும் சொல் தான் பிறந்தது. இவற்றிற்கு இடையில் உள்ள எண்ணைக் குறிக்கும் வகையில், கைக்கு முன்னொட்டுச் சேர்த்து நலிந்த கை, நால்கை>நால்ங்கை யாயிற்று. அதாவது குறைந்த கை என்ற பொருள் கொண்டது. நால்கை>நாலுகை என்றும் பலுக்கப் படும். நான்கு என்பது நால்ங்கின் மீத்திருத்தம். நால் என்ற குறுவடிவும் வழக்கில் வரும். ”கை” என்னும் கருவி உள்ளார்ந்து புரியப்பட்டதால் ”நாலு” என்னும் சொல்லே நாளடைவில் 4 ஐக் குறித்தது. மொத்தத்தில் நலிந்தது நாலாயிற்று. உரோமன் குறியீட்டில் கைக்கு முன்னால் ஒன்றைப் போட்டு மதிப்புக் குறைவதைக் (=கழிப்பதைக்) காட்டுவார்கள். (IV)

இனி நலிதலைக் குறிக்கும் இன்னொரு வினைச்சொல்லிற்கு வருவோம்.
நலிதற் பொருளின் இன்னொரு வெளிப்பாடான சொள்ளல் என்னும் வினைச்சொல் decay என்பதைக் குறிக்கும்;
சொள்ளை என்பதும் உள்ளீடற்றதைக் குறிக்கும்;
சொள்ம்பியது>சூம்பியதாகும்; சூம்பிய விரல் = குறைப்பட்டுப் போன விரல்; வளர்ச்சியடையாத விரல்.
”சொளு சொளு” என்று கிடக்கிறது= குறைப்பட்டுக் கிடக்கிறது. [சோறு தன் திண்மையை இழந்து குழைந்து போனதையும், கூழ்போல் ஆனதையும் குறிக்கும்]
சொளையம் ஆதல் = திருடு போதல் = குறைப்பட்டுப் போதல்
சொள்ந்தது சொட்டு>சொட்டையாகும் ; பின் சொத்தையும் ஆகும்;
சொட்டுதல் = குறைத்தல், கொத்துதல்;
சொட்டு = இகழ்ச்சி, குற்றம்;
சொட்டை = குழிவு. ( dent) பள்ளம் (cavity) , வழுக்கை.
சொட்டை சொள்ளை = குற்றங்குறை (நெல்லை வழக்கு)
சொட்டைத்தலை = வழுக்கை விழுந்த தலை;
சொண்டு = குழிவு (dent);
சொண்டு = சொத்தை மிளகாய்
சொத்தலி = கொட்டையில்லாத பனங்காய்;
சொத்தி = உறுப்புக்குறை, நொண்டி
சொத்தை = சீர்கேடு.
சொத்தைப்பல் = கெட்டுப்போன பல்; சொத்தைக் காய்.
சொள்நங்கி, சோள்நங்கியாவான்; மேலும் புணர்ந்து சோணங்கியாவான்.
செயப்பாட்டு வினையில் சொள்தல் என்பது சொது படும் = குறைபடும் என்றாகும்.
சொது சொதுவென்று கிடப்பதும் நலிந்து கிடப்பது தான்.
சொதுக்குவது பேச்சுத் திரிவில் சதுக்கும்.
சொதுக்கை சதுக்கையாகும்.
சதுக்கம் என்பது நாற்பக்க இடத்தைக் குறிக்கும். [square]
சதுத்தல் என்பதும் குறைதல் பொருளை உணர்த்த முடியும்.
சதுக்கை என்பது நாலுகைக்கு இணையாகவும் சது என்பது நாலுக்கு இணையாகவும் ஆகும். எவ்வளவு முக்கி முணகினாலும் (சதுக் கை = நலிந்த கை = குறைந்த கை என்னும்) பொருள் வடமொழியில் வாராது. ஆனாலும் சதுரம் என்ற சொல்லை வடமொழிச்சொல் என்றே சாதிப்பவர் பலர்.
முன்னால் சொன்னது போல், சதுகரம்>சதுரம் = நாலுகரம்

பொதுவாய்ச் செவ்வஃகம் என்பது நாலு சம கோணங்கள் கொண்டது. சதுகரம் என்பது நாலு சம பக்கங்களைக் கொண்டது. ”சம சதுர் புஜம், சம சதுர் அஸ்ரம்” என்ற வடசொற்கள் சதுரத்தைக் குறிப்பதாய் இதே கருத்தையொட்டி அமையும்.

இது போன்ற குறைப்படும் வினை ஒன்பதிலும் உண்டு. தொள்ளுவது = துளைபட்டது என்னுஞ் சொல் அங்கு குறைதலைக் குறிக்கும். பத்தில் இருந்தும் தொள்ந்தது (துளைபட்டது) தொண்டாயிற்று. தொள்ந்தது = குறைந்தது; தொள்பட்டது என்பது செயப்பாட்டு வினை. தொண்டு என்பது செய்வினை. (தொண்டன் = குறைபட்டவன், எனவே ஊழியம் செய்பவன். தொண்டு = குறைபட்டுச் செய்யும் வேலை. ) தொள்ந்ததும் தொள்பட்டதும் ஒரே பொருளைத்தான் குறிக்கின்றன. அதே போல் தொள்பதும் (தொண்பதும்) தொண்டும் ஒரே பொருள் தான். தொள்ளுவதிற் தகரம் தொலைந்தால் அது ஒள்படும். ஒள்பத்தாகும், ஒண்பத்தாகும் இன்னும் மெலிந்து ஒன்பத்தாகவும் ஆகும். அதன் பொருள் குறைந்த பத்து என்பது தான். ஒன்பதும் தொண்டும் ஒரே பொருள் கொண்டவை தான் (ஒரு சொல் செயப்பாட்டுவினையிற் பிறந்தது ; இன்னொரு சொல் செய்வினையிற் பிறந்தது). அதை விளக்கினால் நீளும்.]

முன்னால் சொன்ன இடைவிலகலில் இருந்து எண்ணியலுக்கு மீண்டு வருவோம். பழங் கணிதத்தில் பக்கங்களைப் பெருக்கினால் சதுகரம், செவ்வஃகம் போன்றவற்றின் பரப்புக் கிடைப்பதைச் சரியாகப் பதிவு செய்திருப்பார்கள். ஆனால் வட்டமான நிலங்கள், வில் போன்ற நிலங்கள் இருந்தால் அதன் பரப்பைக் கண்டுபிடிப்பதில் தடுமாறியிருப்பார்கள்.

ஒரு வட்டம் என்பது ஒரு முளையை நட்டு அதில் இருந்து ஒரு கயிறு கட்டி கயிற்றின் இன்னொரு முனையில் வேறொரு முளை கட்டி, இரண்டாவது முளையால் சுற்றிவரக் கீறிப் பெறும் நிலமாகும். கயிற்றின் நீளத்திற்குத் தக்க வட்டம் பெரியதோ, சிறியதோ ஆகும். கயிற்றின் நீளத்தை ஆரம் என்று சொல்லுவார்கள். இரு மடங்கு ஆரத்தை விட்டம் என்று சொல்லுவார்கள். விட்டத்தில் இருந்து வட்டத்தின் பரப்பைக் காணுவதற்கு முதலில் பக்கமடையான (approximate) விடைகளையே அந்தக் காலத்திற் தெரிந்து வைத்திருந்தனர்.

விட்டத்தில் இருந்து மட்டும் கணக்குப் போடாமல் ஆரத்தோடு அரைச் சுற்றளவைப் பெருக்கினால் வட்டத்தின் பரப்பு துல்லியமாகக் கிடைப்பதையும் அறிந்து வைத்திருந்தனர். காட்டாக,

விட்டத் தரைகொண்டு வட்டத் தரைமாறச்
சட்டெனத் தோன்றும் குழி

என்ற குறள்வெண்பா மூலம் ”கணக்கதிகாரத்தில்” இந்த உண்மையை அறிகிறோம். அதாவது r*(s/2) = a இங்கே r என்பது ஆரத்தையும் s என்பது சுற்றளவையும், a என்பது பரப்பையும் குறிக்கும்.

இனிச் சுற்றளவு என்பது ஆரத்தின் நீளத்தைப் பொறுத்தது என்று கட்டுமானம் மூலம் அறிவதால் s = C*r என்ற சமன்பாடு கிடைக்கும். [C என்பது நிலைப்பெண் (constant)]
இதிலிருந்து, C*r^2/2 = a என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுவோம். C/2 வை இன்னொரு நிலைப்பெண் K என்று எழுதினால் a/r^2 = s/(2*r) = K என்றாகிறது.
இந்தச் சமன்பாடு சொல்லும் கருத்தென்ன?

”எப்பேற்பட்ட வட்டமாய் இருந்தாலும் அதனுடைய பரப்பை அதன் ஆரத்தின் சதுகரத்தால் வகுத்தால் ஒரு குறிப்பிட்ட எண் மீண்டும் மீண்டும் கிடைக்கிறது.”

இந்த முடிவு அந்தக் கால கணிதத்தாருக்கு மிகுந்த வியப்பைத் தந்திருக்க வேண்டும். பல்வேறு பெரும் வட்டங்களை வரைந்து வரைந்து, இந்தக் K இன் மதிப்பைக் கண்டு பிடித்திருக்கிறார்கள். 3, 22/7. sq.r (10), 333/106, 355/113, 62832/20000, 67783/21576, 68138/21689, 408473/130021, என்று மேலும் மேலும் துல்லியமான மதிப்பை அடைந்திருக்கிறார்களேயொழிய, இன்னது தான் மதிப்பு என்று பொட்டில் அடித்தாற்போலச் சொல்ல முடிவதில்லை. இந்த எண்ணிற்கு கிரேக்க எழுத்தான “பை” என்னும் குறியீட்டைக் கொடுத்துப் பயன்படுத்துவார்கள். பை என்னும் எண்ணைச் சாமணமாகக் (சாமாண்யம்) கருதிவிட முடியாது. இந்த எண்ணின்றி எந்த வட்டத்தின் பரப்பு, சுற்றளவை விட்டத்தில் இருந்து கண்டு விட முடியாது

”உலகின் மீநனி மருட்டெண்ணின் தன்வரலாறு (A biography of the World's Most Mysterious Number)' என்ற நூலில் (Universities Press, 2006) Alfred S Posamentier, Ingmar Lehmann ஆகியோர் நூறாயிரம் பதின்மத் தானங்கள் (100 thousand decimal places) அளவுக்குத் துல்லியம் காட்டி பையின் மதிப்பைப் பதிவு செய்திருப்பார்கள். அதற்கும் துல்லியமாக 1.24 ஆயிரம் ஆயிரம் நுல்லியம் (trillion = thousand thousand million) அளவிற்குக் கூடக் கணி மூலம் இன்றைய அறிவியல் மதிப்பிட்டிருக்கிறது.

இங்கே காட்டிய ஒரு எண் மட்டுமல்ல. இது போல கணக்கற்ற எண்கள் உள்ளன . இன்னொரு காட்டை ஆங்கிலத்தில் e என்று சொல்லுவார்கள். அதன் மதிப்பு 2.71828182845904523536........ என்று முடிவில்லாது போய்க்கொண்டே இருக்கும். இன்னும் ஒரு எண் (ஆய்லரின் நிலைப்பெண்-Euler's Constant) கிரேக்க எழுத்தான “காமா” என்பதைக் குறியீடாகக் கொண்டு 0.577215664901532860606512..... என்று போய்க்கொண்டிருக்கும். முக்கோண அளவியலில் (trigonometry) ஒவ்வொரு பாகைக்கும் உள்ள முக்கோண அளவு வங்கங்களின் (trigonometric functions) மதிப்பைப் பார்த்தால் அதிலும் கூட முடிவற்ற தானம் (unlimited places) கொண்ட எண்கள் வரலாம். காட்டு sine 30 = 0.5 என்பது இயலெண். sine (29.5) என்பது ஒரு முடிவற்ற தானங்கொண்ட எண்; இது 0.4924........என்று போய்க்கொண்டேயிருக்கும். இது போல கணக்கற்ற எண்கள் முடிவற்று இருப்பது கண்டுபிடிக்கப் பட்டுள்ளன.

இந்த முடிவற்ற எண்களுக்கு ஒரு பெருஞ்சிறப்பு உண்டு. இவை எந்தவொரு பலனச் சமன்பாட்டிலும் (polynomial equations) சுளுவாக (solution) அமையமுடியாது. அதாவது இது போன்ற எண்கள் பலனச் சமன்பாடுகளை மீறியவை, துரனேறியவை (transcend) அதனால் அவை துரனேற்றெண்கள் என்று சொல்லப்படும். transcendental number e, pi ; mid-14c., from L. transcendere "climb over or beyond, surmount," from trans- "beyond" + scandere "to climb" இரண்டு பொருத்தெண்களுக்கு நடுவில் எத்தனையோ துரனேற்று எண்கள் உள்ளன. பொருத்தெண்களும், துரனேற்றெண்களும் பலக்கிய எண்களுக்குள் அடங்கியுள்ளன.

பலக்குமையின் உச்சத்தைத் தொட்டுவிட்ட நாம், அடுத்த பகுதியில் சற்று எளிதான எண்களையும், பின்னங்களையும் பார்ப்போம்.

அன்புடன்,
இராம.கி.

Tuesday, April 27, 2010

எண்ணியல் - 4

அடுத்தவகை எண்களைப் பார்ப்பதற்குமுன் பொருத்தியற் (algebra) கணிதம் பற்றிச் சொல்லவேண்டும். தொடக்க காலத்தில் கணிதம் என்றால், எண்ணியல் (Arithmetics), வடிவியல் (Geometry) என்று மட்டுமே பலரும் புரிந்து வைத்திருந்தனர். ஆனால் நாகரிகம் பெரிதும் உயர்ந்த மக்களிடம், அன்றாடக் கணக்காய்ச் சில புதிரிகள் (problems) கொஞ்சங் கொஞ்சமாய் புழங்கத் தொடங்கி, வேறொரு கணிதத்தை உணர்த்தின. ”ஏதோவோர் அறியா எண்ணைக் (unknown number) கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் போன்ற பல்வேறு செய்முறைகளுக்கு உட்படுத்தி, அதன் விளைவாய்க் கிடைத்கும் ஒரு வெளிப்பாட்டை (expression) இன்னொரு எண்ணுக்குச் சமப்படுத்தி, முன்னாற் குறியிட்ட அந்த அறியா எண் யாது?” என்று கேட்கும் புதிரிகள் ஏராளம் உண்டு. இது போன்ற புதிரிகளைச் சொல்லும் போது, இந்தக் காலமுறையில் அறியா எண்ணை x என்று எடுத்துக் கொண்டு ஒரு வெளிப்படையான சமன்பாடாக மாற்றிப் பின் அதைச் சுளுவியெடுக்கப் (to solve) போய்விடுவோம். அந்தக் காலத்தில் இப்படிச் செய்தவர்கள் மிகமிக அரிது. அந்தக் காலத்துக் கணக்குகள் எல்லாமே ”சொற்கள், வாக்கியங்கள்........மீண்டும் சொற்கள், வாக்கியங்கள்.........” என்றே சலிக்காமல் அமைந்திருந்தன. எங்குமே பொளிகளை (symbols) வைத்துக் சுருக்கென்று கணக்குச் செய்வது கிடையாது. [ஒரேயொரு புறனடை: எகிப்தில் இருந்த கிரேக்கரான தைவாண்டசு (Diphantus). இவர் ஒருவர் தான் பொளிகளை வைத்து மாற்றியெழுதிக் கணக்கைப் போட முயன்றவர். இதனாலேயே அவரைப் பொருத்தியற் தந்தை என்று சொல்வார் உண்டு.]

பொருத்தியற் கணக்கிற்குக் காட்டாக, பாபிலோனிய அரசன் அமுராபி காலத்தில் (கிட்டத்தட்ட கி.மு.1790) சுடுமண் தட்டங்களில் ஆப்பெழுத்துக்களில் எழுதிய ஒரு கணக்கு வருகிறது. “[The igib]um exceeded the igum by 7. What are [the igum and] and the igibum?" இங்கே igibum என்பது அக்கேடியன் மொழியில் எண்ணையும். igum என்பது அதன் எதிரெண்ணையும் குறிக்கும் சொற்களாகும். எதிரெண் என்பது இந்தக் கால முறையில் 1/x என்று சொல்லுவது போல் அமையாது. அது 1/x, 60/x, 3600/x என்று பல்வேறு எண்களைக் குறிக்கலாம். இடம், பொருள், ஏவல் பார்த்து புரிந்து கொள்ளவேண்டும். [மறந்து விடாதீர்கள், அந்தக் காலச் சுமேரிய, பாபிலோனிய நாகரிகங்கள் அறுபான்மான அடிப்படை எண்களைக் கொண்டவை. அதன் மிச்ச சொச்சத்தை இன்றும் நாம் காலத்தை அளக்கும் போது பயில்கிறோம். 60 நொடி (seconds) = 1 நுணுத்தம் (minute); 60 நுணுத்தம் = 1 மணி (hour) . 360 நாள் = ஒரு ஆண்டு (பின்னால் இது சற்று துல்லியமாகி 365.25 நாளுக்கு வந்தது வேறு கதை.) சுமேரியர்களை மறந்து இந்தக் கால அறிவியலை நாம் பேசிவிடமுடியாது.]

இந்த இடத்தில் அவர்கள் சொல்லியிருக்கும் செய்முறையை வைத்துப் பார்க்கும் போது எதிரெண் என்பது 60/x என்பதைக் குறித்திருக்கலாம் என்று தோன்றுகிறது. சரி, கணக்கிற்கு வருவோம். இதை அந்தக் காலமுறையில் எப்படிச் சொற்கள், வாக்கியங்கள் மூலம் சுளுவினார்கள் என்று சொன்னால், அது நமக்கு விளங்காமலேயே போகலாம். எனவே இந்தக் கால முறையில் அதை எழுதிக் காட்டுகிறேன்.

x-60/x = 7

மேலேயுள்ள சமன்பாட்டின் எங்கணும் x - ஆல் பெருக்கிப் பின் எல்லாத் தீர்மங்களையும் (terms) ஒரே பக்கத்திற்குக் கொண்டுவந்தால், x^2 -7x -60 = 0 என்றமையும். இது ஒரு குழியேற்றச் (quadratic) சமன்பாடு. இதன் தீர்வு காண்பதற்கான வாய்ப்பாட்டை நம் உயர்நிலைப் பள்ளிக்கூடத்திற் சொல்லிக் கொடுத்திருப்பார்கள். அதை மேலும் விளக்காமல் அப்படியே அந்த வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் கொள்கிறேன்.

x = [7 +- (7^2 +4*60)^(1/2)]/2 = [7+- (49+240)^(1/2)]/2 = [7+-17]/2 = (12) or (-5)

ஆக., அந்த அறியா எண் என்பது 12 ஆகவோ, -5 ஆகவோ இருக்கலாம். அந்தக் காலத்தில் நொகையெண்கள் என்ற கருத்தீடு சுற்றரவாகக் கிடையாது. எனவே பாபிலோனியர்களுக்கு விடை 12 மட்டும் தான். இதை அடையும் முறை அந்த சுடுமண் தட்டத்தில் (இற்றைக்கு 3800 ஆண்டுகளுக்கு முன்) பல்வேறு வரிகளின் மூலம் படிப்படியாகச் சொல்லப் பட்டிருக்கிறது. ஆக நாம் அறிந்தவரை, மாந்தனின் முதற் பொருத்தியற் புதிரி (first algebraic problem) 3800 ஆண்டுகளுக்கும் முந்தியது.

”எந்த அறியா எண்கள் கொடுத்த கணக்கில் பொருந்தும்? அல்லது இயலும்?” என்ற கேள்வியை வைத்தே இயல்கணிதம் என்ற சொல்லை algebra - விற்கு இணையாகச் சிலர் பரிந்துரைத்தார்கள். ஆனால் அதை அப்படியே தொடர நான் விரும்பவில்லை, ஏனென்றால், இயல் எண்கள் என்று natural numbers யை விளிப்பதனாலும், இயற்கை, இயல்பு என்று தொடர்புச் சொற்கள் வேறு கருத்தை நமக்கு உணர்த்துவதாலும், இயலுதலைக் காட்டிலும் “பொருத்துதல்” என்ற வினையைப் பயன்படுத்தி பொருத்தியல் என்று இங்கு நான் சொல்லுகிறேன். ஒவ்வொரு பொருத்தும் ஒரு match என்பதை உணர்த்துவதால், பொருத்தியல் என்ற சொல் பொருந்தும் என்றே எண்ணுகிறேன்.

பொருத்தியலின் தாக்கம் பலநாடுகளில் இருந்தது. இந்தியா, சீனா, பெர்சியா போன்றநாடுகளின் தாக்கம் இடைக்காலத்தில் அரபு அறிவியல் நடைமுறையில் பெரிதும் இருந்தது. Algebra என்ற சொல்லும் கூட இடைக்காலத்தில் அரபி மொழியில் தான் முதலில் எழுந்தது. பாக்தாதில் இருந்த புகழ்பெற்ற ஏழாவது கலீவா (Seventh Abbasid Caliph) அல் மமூன் அல்ரசீத் (al -Mamoun al-Rashid) காலத்தில் வாழ்ந்த அல் குவாரிசுமி (al-Khwarizmi) எழுதிய al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabbala (A Handbook of calculation by completion and Reduction) என்ற பொத்தகத்தில் தான் முதன்முதலில் பொருத்தியல் பேசப்பட்டது. ”நிறைத்து வெளித்தல்” என்று அரபியிற் சொல்லும் கூட்டுவினையைத் தான் பொருத்துதல் என்ற தனி வினை மூலம் சொல்ல முயலுகிறேன்.

இது போன்ற கணக்குகள் பாபிலோனியரிடம் மட்டும் இல்லை, அவருக்கு மேற்கில் இருந்த எகுப்தியரிடமும் இருந்திருக்கின்றன. கிழக்கில் இருந்த சிந்து சமவெளியிலும் இருந்திருக்கவேண்டும். [இன்னும் சிந்து சமவெளிக் குறியீடுகளை ஒழுங்காகப் படிக்கமுடியாது இருக்கிறோம்.] தமிழராகிய நம்மிடமும் இருந்திருக்கின்றன. ”ஒரு குளத்தில் இருந்த தாமரை மலர்களில் ஒரு மலருக்கு ஒரு புறா உட்கார்ந்தால் 5 புறாக்களுக்கு இடமில்லை. ஒரு பூவில் இரண்டிரண்டு புறாக்களாய் அமர்ந்தால் 5 பூக்கள் மிஞ்சும் . மொத்தம் எத்தனை புறாக்களும் பூக்களும் குளத்தில் இருந்தன? “ என்ற கணக்கை என் இளமைப் பருவத்திற் கேட்டிருக்கிறேன். அதுபோல பல கணக்குகளை நம்மூர்க் காரிநாயனாரின் “கணக்கதிகாரம்” சொல்லும். கூட்டுத்தொகைக் கணக்குகள், பின்னப்பங்குக் கணக்குகள், பங்கிடுதற் கணக்குகள், சரிக்குச்சரி கணக்குகள், பூக்கள் கணக்குகள், சந்தைக் கணக்குகள், பிரித்துக் கொடுத்தற் கணக்குகள், சக்கரக் கணக்குகள், கூட்டுவிலை காணற் கணக்குகள், தனித்த கணக்குகள், தொகைக் கணக்குகள், கணக்குப் பாடல்கள் என்று பன்னிருவகைக் கணக்குகளை அது பாடவடிவிற் சொல்லும். மாதிரிக்கு ஒரு நீளக் கணக்கை மட்டும் இங்கு சொல்லுகிறேன்.

தென்னவன் அனைய கோமான் தேவிமார் மூன்று பெண்கள்
பொன்னகர் காவில் ஏகிப் பூவது பறிக்கச் சென்றார்
அன்னவர் தனித்த னிய்யாய் அதிகமும் மூன்று பூவாய்த்
தன்னிலே பறித்து மீண்டும் சரிவரப் பங்கு வைத்தார்

வைத்ததோர் ஒருத்தி பங்கில் மாதேவர் தமக்குப் பாதி
சிற்றிடை வள்ளி பங்கர் செந்திலார்க்கு ஐந்தில் ஒன்று
நற்றமிழ்க் கணப திக்கு நாலிலே யொன்று போக
மற்றதோர் பூவுங் கொண்டு மனையது தன்னில் வந்தாள்

வந்தபின் தந்தை யர்க்கு வாகுடன் பாதி யீந்தாள்
சுந்தர வடிவின் நல்லாள் தோழியர்க்கு ஐந்தில் ஒன்று
விந்தைசேர் கணவ னுக்கு விரும்பியே பத்தில் ஒன்று
தந்திர மாக ஈய்ந்து தான்சில பூவை வைத்தாள்

வைத்ததோர் பூவு தன்னில் வளம்பெற நாலைம் பூவை
உத்தம தானம் ஈய்ந்தாள் ஒளிபெற ஒன்பது பூவைப்
பெற்றதோர் பிள்ளைக்கு ஈந்தாள் பேதையும் ஒருபூ வைத்தாள்
முத்தமிழ்க் கணக்கர் எல்லாம் மோசமில் லாமற் செய்வீர்

இந்த நாலு பாடலின் வழி மூன்று வேறிகளால் [variables] ஆன சமகால இழுனைச் சமன்பாடுகள் [Simultaneous Linear Equations] சொல்லப் படுகின்றன. முத்தமிழ்க் கணக்கராகிய நாம் மோசமில்லாது செய்வோமா?

மூன்று தேவிகளும் பறித்த பூக்கள் x,y,z என்று பொருத்திக் கொள்ளுவோம்.

முதல் பாட்டின் மூன்றாம் வரி மூலம் y = x+3, z = y+3 என்று இரு சமன்பாடுகளை அறிகிறோம்.

அடுத்து முதற்பாட்டின் நாலாவது வரிமூலம் ஒரு தேவிக்குக் கிடைத்த பூக்கள் = (x+y+z)/3 என்று அறிகிறோம்.

இரண்டாவது பாட்டின் முதல் வரி மூலம், மாதேவருக்கு இட்ட பூக்கள் = [(x+y+z)/3]/2 என்று அறிகிறோம்.
இரண்டாவது பாட்டின் இரண்டாம் வரி மூலம் முருகருக்கு இட்ட பூக்கள் = [(x+y+z)/3]/5 என்று அறிகிறோம்.
இரண்டாம் பாட்டின் மூன்றாம் வரியின் மூலம் பிள்ளையாருக்கு இட்ட பூக்கள் = [(x+y+z)/3]/4 என்று அறிகிறோம்.
எனவே கோயிலிற் கொடுத்தது போக,
ஒரு தேவி வீட்டிற்குக் கொண்டுவந்தது = (x+y+z)/3 - [(x+y+z)/3]/2 - [(x+y+z)/3]/5 -[(x+y+z)/3]/4 = (x+y+z)/3[1-1/2- 1/5 - 1/4] = [(x+y+z)/3]*(1/20)
= (x+y+z)/60
இனி வீட்டில்,
தந்தைக்குக் கொடுத்தது = [(x+y+z)/60]/2
தோழிக்குக் கொடுத்தது = [(x+y+z)/60]/5
கணவனுக்குக் கொடுதது = {(x+y+z)/60]/10
அவளிடம் மிஞ்சியது = [(x+y+z)/60]*[1-1/2-1/5-1/10] = (x+y+z)/60]*(1/5) = (x+y+z)/300

அடுத்துத்
தானம் கொடுத்தது = 4*5 = 20
பிள்ளைக்குக் கொடுத்தது = 9
தன்னிடம் கடைசியாய் இருந்தது = 1
ஆக அவளிடம் எஞ்சியது = 20+9+1 = 30

மேலே உள்ளதை மீண்டும் யோசித்தால் (x+y+z)/300 என்பது 30 ற்குச் சமமாக அமைந்து மூன்றாவது சமன்பாட்டைக் கொடுக்கும்.
எனவே (x+y+z) = 300*30 = 9000 பூக்கள் ஆகும்.
இது போக, இன்னும் இரு சமன்பாடுகள் நமக்கு ஏற்கனவே தெரியும் அவை y = x+3, z= y+3

மேலேயுள்ள மூன்று சமன்பாடுகளையும் ஒருங்குசேரச் சுளுவியெடுத்தால், (y-3)+y+(y+3) = 9000; y = 3000; x = 2997; z = 3003 என்ற விடைகள் கிடைக்கும்.

இதுபோல நூற்றுக்கணக்கான புதிரிகள் கணக்கதிகாரத்தில் இருக்கின்றன. வடபுலத்திலும் உண்டு. மற்ற நாகரிகங்களிலும் எழுந்தன. இந்தக் கணக்குத் தொகுதிகளில் 4, 5 வேறிகளைக் கொண்டு சமகால இழுனைச் சமன்பாடுகளாய் இருப்பது ஒருவிதக் கணக்காகும். இன்னொரு வகை முன்னே சொன்ன பாபிலோனியக் கணக்குப் போல் உயர்பாகை இழுனாச் சமன்பாடுகளாய் (Higher degree non-linear equations) அமைவது வேறுவிதக் கணக்காகும். இனி அல்-குவாரிசுமி காட்டிய கணக்கிற்கு வருவோம்.

“ஒரு மூலச் சதுரமும் பத்து மடங்கு மூலமும் சேர்ந்து 39 திர்காமுக்கு விலைபெறும் என்றால் மூலத்தின் அலகு என்ன?”

நாம் அறியா எண் (the unknown number) என்பதை மூலம் (root) என்றே அந்தக் காலத்தில் பயின்றிருக்கிறார்கள். இப்பொழுது வருக்க மூலம் என்ற சொல் வேறு பொருள் தருவதால், மூலம் என்ற பயில்வு கணிதத்தில் இந்த அலகைக் குறிப்பதில்லை.

(square of the unknown plus ten times the unknown equals 39)
i.e. x^2+10*x = 39;
x^2+10x-39 = 0

இதை அல்குவாரிசுமியின் பொத்தகத்தில் எப்படிச் சுளுவியெடுக்கிறார்கள் என்று சொல்லாமல் நேரடியாக குழியேற்ற வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி விடையை நாம் எழுதிவிடலாம்

x = [-10 +- (10^2 +4*39)^(1/2)]/2 = [-10+- (100+156)^(1/2)]/2 = [-10+-16]/2 = (3) or (-13)

பாபிலோனியக் கணக்கிலும், அல்குவாரிசுமிக் கணக்கிலும் வரும் சமன்பாடுகளை இந்தக் காலக் கணிதத்தில் தொகுவெண் கெழுக்கள் (integer coefficients) கொண்ட பலனச் சமன்பாடுகள் (polynomial equation) என்று சொல்லுவார்கள்.

குழியேற்றச் சமன்பாடுகள் (quadratic equations),
கனவச் சமன்பாடுகள் (cubic equation),
நாலவச் சமன்பாடுகள் (quartic equation),
கைவகச் சமன்பாடுகள் (quintic equation)

என்று பல்வேறு சமன்பாடுகள் எழமுடியும். இந்தச் சமன்பாடுகளின் தீர்வு ஓர் உள்ளக எண்ணாகவோ (real number), பலக்கிய எண்ணாகவோ (complex number) அமையும். இத்தகைய தீர்வெண்களைப் பொருத்தெண்கள் (algebraic numbers) என்று எண்ணியலிற் சொல்வார்கள்.

பொருத்தெண் = algebraic number = a number, real or complex, that is the root of a polynomial equation with integer coefficients.

மேலே உள்ளதைப் படித்தால் எல்லாவிதமான உள்ளக எண்களும், பலக்கிய எண்களும் பொருத்தெண்கள் தானே? பொருத்தெண்கள் அல்லாது வேறுவகை எண்கள் உண்டா? - என்ற கேள்வி எழலாம். அடுத்த பகுதியில் பொருத்தெண்ணுக்கு மாற்றாக இன்னொரு வகை எண்ணைப் பார்ப்போம்.

அன்புடன்,
இராம.கி.

Tuesday, April 20, 2010

எண்ணியல் - 3

இயலெண்களைச் சொல்லும் போது இன்னொரு வகையைச் சொல்லாது விட்டேன். அது 1,2,3,4,5,6,7........என்ற இயலெண்களில், எந்த எண்ணையும், அதைக் காட்டிலும் மதிப்புக் குறைந்த எண்களின் பெருக்கல் விளைவாகக் காட்டும் செய்முறை பற்றியதாகும். காட்டாக 1, 2, 3, என்ற எண்கள் அந்தந்த எண்களாலும், ஒன்று என்ற எண்ணாலும், மட்டுமே வகுபடும். அவற்றிற்கு அடுத்து 4 என்பதை இரண்டின் மடக்காய்ச் (exponentiation) சொல்ல முடியும், 5 என்பது 1,2,3 போன்றது. 5 -ஆலும் ஒன்றாலும் மட்டுமே வகுபடக் கூடியது. 6 ஐ 2*3 என்ற பெருக்கற் தொகையாகக் காட்டலாம். 7 என்பதும் ஒன்றாலும், ஏழாலும் மட்டுமே வகுக்க முடியும். 8 என்பதை 2ன் மும்மடக்காகவும் (2^3), 9 என்பதை 3^2 என்றும், 10 என்பது 2*5 என்றும் சொல்லிவிடமுடியும்,

இதுவரை பார்த்தவற்றில் 1,2,3,5,7 போன்றவை தவிர மற்ற எண்களைத் தங்களுக்குக் கீழுள்ள எண்களின் பெருக்கல் விளைவாகக் காட்ட முடியும். இப்படி முடியாது தனிப்பெருமையோடு அண்ணாந்து நிற்கும் தகைமையுடைய எண்கள் பெருமெண்கள் (Prime numbers) என்று சொல்லப்பெறும். வகுபட முடியாத அவைகளுக்கு நிகர் எதுவும் கிடையாது என்ற பெருமை அவைகளுக்கு உண்டு. பெருமை (primality) என்பது கணிதத்திற் கூர்ந்து கவனிக்க வேண்டிய பண்பு. காட்டாக 1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,....... போன்றவை 30 - ற்குக் கீழுள்ள பெருமெண்களாகும். மற்ற எல்லாவற்றையும் அந்தப் பெரும எண்களில் இருந்து பெருக்கல் மூலம் பெற்றுவிட முடியும். அதனால் அவற்றைப் பெருமையுறா எண்கள் (non-primal numbers) என்று சொல்லுவார்கள். பெருமெண்களை ஒட்டி பல்வேறு கணிதத் தேற்றங்கள் உண்டு.

இனி அடுத்துப் பலக்கெண் (complex number) பற்றிப் பார்ப்போம். முந்தைய இடுகையில் 4 செய்முறைகளைப் பார்த்தோம் அல்லவா? அவைபோக இன்னொரு செய்முறையாக மூலங்கள் (roots) காணும் செயற்பாடு உண்டு. பரப்பளவு, கன அளவு ஆகியவற்றைக் கொடுத்துப் பக்கங்களைக் கண்டுபிடிக்கச் சொல்லும் கணக்குகள் நம்முடைய அன்றாட வழக்கங்களில் இருக்கின்றன. ஒரு சதுரத்தின் அளவு a என்றால் அதன் பரப்பளவு a^2 என்று சொல்லுவது நமக்கெல்லாம் மிக எளிது [முன்னே சொன்னது போல், இதைக் குழிமாற்று என்று அந்தக் காலத்திற் சொல்லுவார்கள். குழித்தல் என்றாலே to square என்று தமிழிற் பொருளுண்டு. மல்(க்)குதல், பெருக்குதல், பருக்குதல், மா(ற்)றுதல் போன்ற மற்ற சொற்கள் பொதுவான multiplication ஐக் குறிக்கும்.] இதையே, தலைகீழ் கணக்காய்ச் செய்வதிற் தான் பலருக்கும் தடுமாற்றங்கள் உண்டு. ஏதேனும் ஓரெண் கொடுத்து அதை அப்படியே சதுரப் பரப்பாகக் கொண்டு, சதுரத்தின் பக்கம் என்ன என்று காணுவது தலைகீழ்க் கணக்காகும். இப்பொழுது 121 என்று பரப்பளவு கொடுக்கப் பட்டால் வாய்ப்பாடு தெரிந்தவரையில், அதன் பக்கம் 11 என்று சட்டென்று சொல்லிவிடுவோம்..இன்னுஞ் சில எண்களுக்குச் சற்று நேரமாகலாம். ஆனால், பொதுவாக எந்த உள்ளமைப் பொதிவெண்ணின் சதுர மூலத்தையும் வழிமுறை தெரிந்தாற் காணமுடியும்.

[கலம் என்ற சொல் தமிழிற் கலகலத்துக் கிடப்பதையும் பெருத்துக் கிடப்பதையும் குறிக்கும். இது வடமொழித் திரிவில் கலநம்>கல்நம்>கன்னம்>கனம் என்றாகும். அதே பொழுது, கனம் என்ற இன்னொரு தமிழ்ச்சொல்லிற்கு weight என்ற பொருளும் உண்டு. [அந்த மூட்டை ரொம்பக் கனமாக இருக்கிறது.] எடை/நிறை என்ற சொற்களை மட்டுமே weight என்பதற்கு வைத்துக் கனம் என்ற சொல்லைச் சில நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்னால் பெருக்கத்தைக் குறிக்கும் விதமாய்ப் புழங்கத் தொடங்கியிருக்கிறார்கள். [குழப்பம் வந்த இடத்தில் ஏவல், பொருள் பார்த்துப் புரிந்துகொள்ள வேண்டும்.] அதற்கு முன்னால் அப்படியில்லை. cube. என்பதற்குக் கனச்சதுரம் என்று எங்களுக்கு அந்தக் காலத்திற் சொல்லிக் கொடுத்தார்கள். volume என்பதை ghanaphala, vimdaphala என்று வடமொழியிற் சொல்லுவார்கள்.

துல்லியம் பார்த்தால் கனம் என்ற சொல்வடிவு volume/cube என்பதற்குச் சற்றும் சரிவராது; weight என்பதற்கே சரிவரும். இருப்பினும், காலகாலமாய்ப் பழகிப் போன காரணத்தால், தவறாக இருந்தாலும், கனம் என்ற சொல்லைத் தயக்கத்தோடு cube என்பதற்கிணையாகப் புழங்குகிறேன். அதைக் கலம் என்று ஊற்று வேர்வழி அறிந்து மாற்றினால் கூட ”எடை” என்ற பொருள் வராது நன்றாக இருக்கும் என்று தோன்றுகிறது. ஏனென்றால், இது போன்ற சொற்களில் தவறான புரிதல் ஏற்பட்டால் அப்புறம் துல்லியமான தமிழ் அறிவியல்நடை நம்மிடம் வாராது. அதேபொழுது, இது போன்ற அடிப்படை மாற்றங்களுக்குப் பெரும்பாலான தமிழர்கள் தயங்கலாம் என்றும் எண்ணுகிறேன். volume என்பதை வெள்ளம் என்றே சில ஆண்டுகளாய் நான் சொல்லிவருகிறேன். (வெள்>வெளியை - space - நிறைப்பது வெள்ளம்),”ஆறு வெள்ளமாய்ப் பெருகியது; ஏரியிற் தண்ணீர் வெள்ளமாய்க் கிடக்கிறது.” பெருக்கம் (to expand; பெருகுவது பெருக்கம்) என்பதும் இதற்குப் பொருந்தும். [வெள்ளம் என்பது ஒரு விளவுக் கருத்தீடல்ல (flow concept). முப்பரிமானத்து அகற்சிக் கருத்தீடாகும். (three dimensional expanse concept).]

ஒரு கனச்சதுரத்தின் வெள்ளத்தைக் கொடுத்து அதன் பக்கத்தைக் கண்டுபிடிப்பது கனமூலம் ஆகும். எந்த எண்ணுக்கும் சட்டென்று கனமூலம் காண்பது அவ்வளவு எளிதன்று. கனமூலங்களை சதுர மூலத்தோடு தொடர்புறுத்த பல வாய்ப்பாடுகள் உண்டு. இதே முறையில் பல்வேறு வருக்க மூலங்களையும் சதுர மூலத்தோடு உறவுகாட்டித் தொடர்புறுத்துவார்கள். அதனால், பல்வேறு வாய்ப்பாடுகள் மூலம், மற்ற வருக்க மூலங்களையும் (n th roots) கண்டுபிடிக்க முடியும். ஆனால் இவையெல்லாமே பொதிவெண்களுக்கு மட்டுமே செய்யமுடியும். வருக்க மூலம் கண்டுபிடிக்கும் செய்கையை நொகையெண்களுக்கும் செய்ய வேண்டுமானால், முன்னாற் செய்தது போல இன்னும் ஒரேயொரு செயற்கை எண்ணை உள்ளமை எண் கொத்தோடு சேர்க்க வேண்டும். ”i” என்பதை (-1) என்பதன் சதுர மூலம் என்று கற்பிதமாய் (imaginary) எடுத்துக் கொண்டு அதன்வழி மற்ற எல்லா நொகையெண்களுக்கும் square.root of (-4) = 2i ; sq.r (-9) = 3i; sq.r. (-13) = (sq.r.of 13)*i = (3.605551.....)i. என்று சொல்ல முடியும்.

இயலெண்களையும் கற்பித எண்களையும் நேரடிக் கூட்டலாய் இழுனை (linear) முறையிற் ஒன்றுசேர்த்து a + b*i என்ற வகையிற் எழுதுவார்கள். 2i ; 5+3i; 29.45-3.605551i போன்றவை இப்படி எழுதப்பட்ட எண்கள் தான். இவற்றைப் பலக்கெண்கள் (complex numbers) என்று சொல்லுவார்கள். இந்த எண்கள் கொண்ட கொத்தைப் பலக்கெண் கொத்து C (Complex numbers C) என்று சொல்லுவார்கள். இந்தப் பலக்கெண்கள் உயர்கணிதத்திற் பெரிதும் பயன்கொண்டவை. சில பலக்கெண்கள் கீழ்வருமாறு அமையும்.

(2i) + (5+3i) = 5+5i
(5+3i) - (29.45-3.605551i) = -24.45+6.605551i
(5-3i)*(7-9i) = (5*7 +3*9-5*9i -3*7i) = 35+27-45i-21i = 62 -66i

மேலே உள்ள பெருக்கலைச் சரியான படி செய்ய வேண்டுமானால், plus, minus என்னும் குறிகளின் பெருக்கல் எப்படி என்று தெரியவேண்டும். [plus, minus என்ற சொற்களுக்குச் சரியான இணை தமிழில் இல்லாது பலரும் அப்படியே ஆங்கிலச் சொல்லைப் புழங்குவார்கள். Plus: 1579, the oral rendering of the arithmetical sign +, from L. plus "more" (comparative of multus "much"), altered by influence of minus from *pleos, from PIE *ple- "full" (see plenary). Placed after a whole number to indicate "and a little more," it is attested from 1902. As a conj., "and," it is Amer.Eng. colloquial, attested from 1968. Plus fours (1921) were four inches longer in the leg than standard knickerbockers, to produce an overhang, originally a style assoc. with golfers. The plus-sign itself has been well-known since at least 1489 and is perhaps an abbreviation of L. et (see etc.). என்னைக் கேட்டால், Plus, minus என்றவற்றிற்கு இணையாய் நல்ல குறுஞ்சொற்களைப் பரிந்துரைக்க முடியும். பல்குதல் என்ற வினைக்குக் கூட்டுதல் என்ற பொருளுண்டு. அந்த வினையால் விளையும் பெயர்ச்சொல் பலை = plus; அதே போல் நொகுதலில் (கழித்தலில்) விளையும் பெயர்ச்சொல் நொகை = minus, negative]. இப்பொழுது, குறிப்பெருக்கல் வாய்ப்பாடு

பலையைக் பலையாற் பெருக்கப் பலை கிடைக்கும்
பலையைக் நொகையாற் பெருக்க நொகை கிடைக்கும்
நொகையைக் பலையாற் பெருக்க நொகை கிடைக்கும்
நொகையைக் நொகையாற் பெருக்கப் பலை கிடைக்கும்

என்று அமையும்.. [பலை*பலை = பலை, பலை*நொகை = நொகை, நொகை*பலை = நொகை, நொகை*நொகை = பலை]

மேலும் பலக்கெண்களைப் பற்றிச் சொல்லத் தொடங்கினால் பெரிதும் சொல்லலாம். இரண்டு முகன்மைச் செய்திகளை மட்டும் இங்கு சொல்கிறேன்.

1. கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் மூலங்காணுதல் என்று ஐந்து செய்முறைகளின் வழிப்படி பார்த்தால், கணக்குச் செய்வதற்கு உகந்த முழுமையான மூடிய கொத்து என்பது பலக்கெண் கொத்துத் தான்.

2. உள்ளமை எண்களைக் காட்சிப் படுத்தும் போது உள்ளமைக் கோட்டைப் (real line) பயன்படுத்தினோம் அல்லவா? அது போல, பலக்கெண்களைக் காட்சிப் படுத்த வேண்டுமானால் நமக்கு ஒரு தளப் பரப்பு (plane surface) வேண்டும். அந்தத் தளத்தின் நடுவில் கிடையாக (horizontal) ஓரச்சும், நெட்டாக (vertical) இன்னோர் அச்சும் போட்டு எந்தவொரு பலக்கெண்ணையும் நாம் காட்சிப் படுத்த முடியும். கிடையச்சை உள்ளக அச்சு (real axis) என்றும், நெட்டச்சைக் கற்பித அச்சு (imaginary axix) என்றும் சொல்லலாம். பலக்கெண்ணின் இருபகுதிகளில் முதலில் உள்ளது உள்ளக அலகாகும் (real unit). அடுத்து i எண்ணும் குறியீட்டிற்கு முன்னால் உள்ளது கற்பித அலகாகும் (imaginary unit). உள்ளக அச்சில் உள்ளக அலகை அளந்து அதிலிருந்து ஒரு குத்துக்கோடு (perpendicular) போட்டு, அதே போலக் கற்பித அச்சில் இருந்து கற்பித அலகை அளந்து அங்கிருந்து ஒரு குத்துக்கோடு போட்டு, இரு குத்துக்கோடுகளும் வெட்டும் புள்ளியை ஊற்றுப் புள்ளியோடு (origin) இணைத்தால் கிடைக்கும் கோடு நாம் சொல்லவிழையும் பலக்குப் புள்ளியையைக் காட்சிப் படுத்தும். அதே போல இந்தக் கோட்டின் ஊற்றுப் புள்ளியல்லாத இன்னொரு முனை பலக்குப் புள்ளியை நேரடியாகக் குறிக்கும். பலக்குத் தளம் (complex plane) முழுதும் எண்ணிறந்த பலக்குப் புள்ளிகள் விரவிக் கிடக்கின்றன என்பது நினைவில் வைத்துக் கொள்ளவேண்டிய செய்தியாகும்..

மேற்கொண்டு கலப்பெண்கள் பற்றிச் சொல்லாமல், மற்றவகை எண்கள் பற்றிக் கீழே சொல்ல முற்படுகிறேன்.[இது போன்றதோர் அடிப்படைத் தொடரில் பலக்கெண்ணிற்குரிய மற்ற செய்திகளைத் தவிர்க்கிறேன்.]

மற்றவகை எண்களில் முதலிற் சொல்ல முற்படுவது random number என்பதாகும். 6 முகங் கொண்ட ஒரு பகடைக்காயை வீசி எறிகிறோம், 4 என்ற எண் மேலே தெரியும் முகத்திற் தெரிகிறது. 12 சோழிகளைத் மேலே தூக்கி எறிகிறோம். 7 முகங்கள் மல்லாக்கவும், 5 முகங்கள் குப்புறவும் விழுகின்றன. (ஏழையோ, ஐந்தையோ, எல்லோரும் ஒப்பும் முறை வைத்து விழுந்த எண்ணாக எடுத்துக் கொள்ளுகிறோம்.) இன்னதென்று சொல்ல முடியாதபடி சட்டென்று, விருட்டென்று வந்து விழும் இந்த எண்களை விருட்டெண்கள் (random numbers) என்று கணிதத்தில் அழைப்பார்கள். ["having no definite aim or purpose," 1650s, from at random (1560s), "at great speed" (thus, "carelessly, haphazardly"), alteration of M.E. randon "impetuosity, speed" (c.1300), from O.Fr. randon "rush, disorder, force, impetuosity," from randir "to run fast," from Frankish *rant "a running," from P.Gmc. *randa (cf. O.H.G. rennen "to run," O.E. rinnan "to flow, to run"). In 1980s college student slang, it began to acquire a sense of "inferior, undesirable." Random access in ref. to computer memory is recorded from 1953.]

இந்த விருட்டெண்கள் அப்படியொன்றும் கையாள முடியாதவையல்ல. பகடைக்காயை நெடுநேரம் தூக்கிப் போட்டால், 1 இல் இருந்து 6 வரை எல்லாமே வந்து விழக்கூடியதைக் கூர்ந்து நோக்கலாம். அதே போல சோழி வீழ்ச்சியிலும் ஒன்றிலிருந்து 12 ஆம் எண்வரை எதுவெண்டுமானாலும் நெடுநேரம் விளையாண்டாற் கிடைக்கும். இது போல அடுத்தடுத்து வீழும் எண்கள் அல்லது தோயங்களில், எல்லாத் தோயங்களுக்கும் (digits), எண்களுக்கும் (numbers) ஒரேமாதிரி விழும் வாய்ப்பு இருக்குமானால், அப்படி விழும்போது முதலில் விழுந்த எண்/தோயம் அடுத்து விழும் எண்/தோயம் அமைவதற்கு எந்த வகையிலும் வழிகாட்டுவதில்லை என்றால், அந்த எண்கள்/தோயங்களை விருட்டெண்கள் அல்லது விருட்டுத் தோயங்கள் என்று சொல்லுவார்கள். [random numbers = a sequence of digits or numbers with the property that, in the long run, all digits or numbers in the sequence will occur equally often, and in which the occurrence of any one digit or number in a particular position in the sequence is no guide to the occurrence of earlier or later members of the sequence.] விருட்டெண்கள் கிடைக்கப் பகடை, சோழி என்ற இருமுறைகள் மட்டுமல்ல, நூற்றுக் கணக்கான முறைகள் உண்டு.

இன்னும் பல்வேறு எண்களும் பின்னங்களும் இருக்கின்றன. அவற்றை அடுத்துப் பார்ப்போம்.

அன்புடன்,
இராம.கி.

Monday, April 19, 2010

எண்ணியல் - 2

நாம் இளமையில் அறிந்த 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,,,,,,,, என்பவை போன்ற எண்ணிறந்த பதின்மக் கட்டக (decimal system) எண்களை, முழு எண்கள் (whole numbers) அல்லது சாத்தார எண்கள் (ordinary numbers) என்று சொல்லலாம்.

[சாத்தாரம் என்ற தமிழ் வழக்கு சாதாரண என்ற வடபுல வழக்காய்ச் சொல்லப்படும். அதன் தமிழ்மூலம் தெரியாத பலரும் வடமொழி வழக்கு என்றே எண்ணிக்கொண்டு விடுகிறார்கள். ஆனால் உண்மை அதுவல்ல. இந்தக் காலத்தில் குப்பன், சுப்பன் என்று பொது மாந்தனைச் சிலர் அழைப்பது போல அந்தக் காலத்திற் சந்தை (கடைவீதி) மாந்தனைச் சாத்தன் என்றே விளித்தார்கள். (சால்தல் = சாற்றல்>சாட்டல்>சாத்தல் = விலை சொல்லுதல் = விற்றல் = sale.) சங்க இலக்கியத்தில் சாத்தன் என்ற சொல் மிகவும் அதிகம் பயன்படும். சாத்தன், வடபுலத்து seth, தென்புலத்துச் சாற்றி>சாட்டி>செட்டி ஆகியவையெல்லாம் சால்தல் என்னும் கருத்தில் அமைந்த பல்வேறு சொற்களாகும். தமிழ்நாட்டில் இருக்கும் பல்வேறு ஐயனார் கோயில்களெல்லாம் சாத்தன் கோயில்கள் தாம். தென்பாண்டி நாட்டில் பலருக்கும் குலதெய்வக் கோயிலாய் ஐயனார் கோயில்களே உண்டு. ஐயனார் வழிபாடு பற்றிய ஒழுங்கான ஆய்வுகள் இன்னும் எழவில்லை. எல்லாவற்றையும் ”இந்துமதம்” என்று சொல்லி வேதநெறிக் கூட்டத்தோடு கோவிந்தாப் போடுவதில் பொருளில்லை. (சபரிமலைச் சாத்தனை சாஸ்தா என்றாக்கி வடமொழிப் படுத்தியதையும், அதை இந்தமதத் தொன்மங்களோடு பொருத்தியதையும் இங்கு எண்ணிப் பார்க்கலாம்.) அறப்பெயர்ச் சாத்தனுக்கும் ஆசீவகத்திற்கும் பெருந்தொடர்பு ஆழ்ந்த தொடர்புண்டென்று பேரா. க.நெடுஞ்செழியன் சொல்லுவார். சாத்தர்>சாத்தாரம் என்ற சொற்கள் ordinary மாந்தனை இந்த வகையிற் தமிழிற் குறித்தன.

அதே போல சமனன்>சமணன் என்ற சொல்லும் ஆசீவகம், செயினம், புத்தம் ஆகிய நெறியினரைக் குறித்த பொதுச்சொல்லாகும். கி.மு.500 - கி.பி.500 வரை இந்தியத் துணைக்கண்டத்திற் பெரும்பகுதியினர் இம்மூன்று நெறிகளில் இருந்தார்கள். இந்தப் பட்டகையின் (fact) காரணத்தால், சமனன் என்ற சொல்லும் பொதுமக்களைக் குறிக்கத் தொடங்கிற்று. சமனத்தில் இருந்து சமனம்>சாமனம்>சாமன்யம்>சாமான்யம் என்ற திரிவில் இன்னொரு சொல் விளைந்தது. இன்று பயன்படுத்தும் சாதாரணம், சாமான்யம் போன்றவற்றின் பின்புலம் இதுதான். எல்லாவற்றையும் வேதநெறி, வடமொழிவழியே பார்த்துக் கொண்டேயிருந்தால் துணைக்கண்டத்தின் இன்னொரு விதப்பான வேதமில்லா நெறிகள், தமிழ்வழி போன்றவை விளங்காமலேயே போகும். புரிய வேண்டியவர்களுக்குப் புரிந்தாற் சரி.]

பதின்மக் கட்டகத்தின் முழுவெண்களை (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12...........) மாந்தவாக்கம் (man made) என்று கொள்ளாது, இயற்கையானவை என்றே கருதி, இவையடங்கிய எண்கொத்தை இயலெண் கொத்து (Set of natural numbers N) என்று கணிதத்தில் அழைப்பார்கள். இயலெண்கள் என்பவை நமக்குக் ”கொடுக்கப் பட்டவை” (given) என்றே புரிந்துகொள்ளப் படுகின்றன. கூடுதல், கழித்தல், பெருக்குதல், வகுத்தல் என்ற 4 செய்முறைகளுக்கு இந்த எண்களை ஆட்படுத்துகிறோம்.

கூட்டுதல் என்பதைச் சேர்த்தல் என்றும் ”கணக்கதிகாரம், கணித நூல்” போன்ற பழஞ்சுவடிகளில் சொல்லுகிறார்கள். கூட்டுதலில் மேலும் ஒரு விதப்பான கணக்கு உண்டு. அதாவது, ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளி கொண்ட இயலெண்களைச் சேர்த்துக் கூட்டுவது. காட்டாக 1 இல் இருந்து 10 வரை உள்ள எண்களைக் கூட்டி 55 என்று விடை சொல்லுவது. இற்றை முகனக் கணிதத்தில் (modern mathematics) இதை எண்ணியல் அடுக்கம் (arithmetic progression) என்று சொல்வார்கள். பழைய கணக்கதிகாரத்திலும், ‘கணித நூலிலும்” இது ஏற்றானடி, படியடி என்று சொல்லப்பெறும். (ஏற்றம் = உயரம், ஒரு எண்ணிற்கும் இன்னொரு எண்ணிற்கும் இடையிருக்கும் ஏற்றம் இது பேச்சுவழக்கில் ஏற்றம்>ஏத்தம்>ஏத்தான் என்று சொல்லப்படும். இந்தப் பேச்சுவழக்கைக் கணக்கதிகாரமும், கணித நூலும் பதிவு செய்திருக்கின்றன. செந்தர வழக்கில் ஏற்று/ஏற்றம் என்று சொல்லலாம். படி என்பதும் எண்களுக்கிடையே உள்ள இடைவெளி உயரத்தைக் குறித்த சொல் தான். ஏற்று அல்லது படி கொண்டு அடுக்கிவருவது அடி என்ற பெயர்ச்சொல்லாற் சொல்லப்பட்டிருக்கிறது. இந்தக் காலத்தில் அடுக்கு/அடுக்கம் என்று சொல்லுவோம். ஏற்றடுக்கம், படியடுக்கம் போன்றவை எண்ணியல் அடுக்கத்திற்கான வேறு சொற்கள் தாம்.

கழித்தல் என்னும் செய்முறை நீக்குதல், தள்ளுதல், களைதல் என்றும் சொல்லப்பட்டிருக்கிறது. ”அதிலிருந்து இதை நீக்க, இதைத் தள்ள, இதைக் களைய” என்ற முறையில் கணக்கதிகாரக் கணக்குகள் வரும். இயலெண் கொத்தில் இரு குறைகள் உண்டு. அதாவது கழித்தல், வகுத்தல் ஆகிய செய்முறைகளில் கிடைக்கும் எண்கள் எல்லாமே இந்தக் கொத்திற்குள் அடங்காமல், வெளியே போக வாய்ப்புண்டு. காட்டாக, 10 இல் இருந்து 7 ஐக் கழித்தால் கிடைக்கும் 3 என்ற விடை, இந்தக் கொத்திற்குள்ளேயே இருக்கிறது. ஆனால், 6 இல் இருந்து 11 ஐக் கழித்தால் கிடைக்கும் -5 என்ற விடை இந்தக் கொத்திற்குள் அடங்காது வெளியே போய்விடும். இதே போல 8 ஐ 4 ஆல் வகுத்தால் கிடைக்கும் 2 இந்தக் கொத்திற்குள் இருக்கிறது. 4 ஐ 12 ஆல் வகுத்தால் கிடைக்கும் 0.3333.... இந்தக் கொத்திற்குள் கிடையாது.

பொதுவாகக் கொத்திற்குள் செய்யப்படும் செய்முறையின் விடை கொத்திற்குள்ளேயே இருந்தால் அந்தக் கொத்தை மூடிய கொத்து (closed set) என்பார்கள்.. இப்படி அமையாமலிருக்கும் கொத்தைத் ”திறந்து கிடக்கும் கொத்து”, ”திறந்த கொத்து (open set)” என்று சொல்வார்கள். இயலெண் கொத்து என்பது 4 செய்முறை அடிப்படையில் ஒரு திறந்த கொத்தாகும். இயலெண்கள் போன்ற திறந்த கொத்தில் முன்னாற் சொன்ன 4 செய்முறைகளையும் முழுமையாய்ச் செய்ய முடியாது; கூட்டல், பெருக்கல் என்ற இரண்டை மட்டுமே செய்ய முடியும்.

இனி, பொருட்களைப் பரிமாறிக் கொள்ளுவதில் கொடுக்கல் வாங்கல் என்ற இருவேறு செயற்பாடுகள் தென்படுவதால், நம்மிடம் சேருவதைப் பொதிதல் (to posit) என்று எடுத்துக் கொண்டும், அதற்கு மாறாய்க் கொடுப்பதை ”நம்மிடம் இருந்து போதல், இல்லாது போதல், இறங்கிப் போதல் (இழிந்து போதல்,இழத்தல்), நொய்ந்து போதல் (L. negare) ” என்று உருவகப் படுத்தியும், எண்களுக்கு முன்னால் ஓர் ஆற்றற் திசையை [direction of an action] இனங்காட்டி எண்களை அடையாளப் படுத்துவதும் கணிதத்தில் உண்டு. நொகையெண்கள் (negative numbers) என்ற கருத்தீடு இப்படித்தான் கணிதத்தில் ஏற்பட்டது. .

மேலே சொன்னபடி பொதிவெண்கள் (positive numbers) என்பவை நம்மிடம் வந்து சேர்ந்த பொருள்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும். நொகையெண்கள் (negative numbers) என்பவை நம்மிடமிருந்து சென்றுபோன பொருள்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும். நம்மிடம் வந்துசேர்ந்த பணத்தைப் பொதிவெண்களாலும், நாம் கொடுக்கவேண்டிய பணத்தை நொகையெண்களாலும் குறித்து, எல்லாவற்றையும் ஒன்று சேர்த்துக் கூட்டிப்பார்த்தால் நிகரப்பணத்தைக் (net cash) கணக்குப் போடமுடியும். நிகரப் பணம் என்பது பொதிவாகவும் இல்லாது, நொகையாகவும் இல்லாது, வெறும் அற்றுப் போனதாக, இல்லாததாக, பாழாக அமையலாம். இந்த நிலையையும் ஓர் எண்ணாக்கி அதைச் சுழி என்றும் சொல்வார்கள்.

{சுழி = zero; வடக்கே போகப் போக வாழைப்பழம் வாயப்பயம் ஆவது போல, ழகரம் யகரமாகும். சுல்>சுள்>சுழு>சுழி>சுழிவு>சுயிவு என்ற திரிவு, காலகாலத்திற்கும் தமிழர்க்குக் குதிரை விற்க வந்த அரபிக்களின் வழியே சுயிவு>ciypher>zero என்று போய்ச்சேர்ந்தது. அரபிக்கள் வழியே போன இந்தியக் கணிதம் தெற்கேயிருந்து போயிருக்கவே பெரும்வாய்ப்புண்டு. சுழியை வடபுலத்தில் சுல்நம்>சுன்னம்>சுன்யம் என்பார்கள். சுழி, சுழியம், சுன்னம், பாழ், அற்றம், புழையம் என எல்லாமே zero -வைக் குறிக்கும் தமிழ்ச்சொற்கள் தான். (புழையப் பட்டதை - துளையப் பட்டதை - பூழப்பட்டது என்றும் சொல்லலாம். இது தான் பூழம்>பூழ்யம்>பூஜ்யம் என்று ஆனது. நம்மவரோ, மூலத்தைத் தொலைத்துப் பூஜ்யத்தைப் பிடித்துத் தொங்கிக் கொண்டு பூச்சியம் ஆக்கி நிற்கிறார்கள். பூழமும் பாழும் ஒன்றோடொன்று தொடர்புள்ளவை.)

இத்தனை சொற்கள் இங்கிருந்தாலும், 19 ஆம் நூற்றாண்டு வரை சுழி என்னும் கருத்தீடு தமிழனுக்குத் தெரியாது என்ற தவறான கருத்தும் எப்படியோ அறிவுலகில் உலவுகிறது. இத்தனைக்கும், சுழி என்னும் கருத்து முதலில் பதிவான ”லோகவிபாக” என்ற செயின ஆவணம் நம்முடைய காஞ்சியிற் தான் கி.பி.458 -இல் எழுதப்பட்டது. இருந்தாலும் தமிழனுக்குச் சுழி பற்றித் தெரியவே தெரியாதாம் ஏனென்றால் இந்த நூல் தமிழில் இல்லையாம், பாகதத்தில் இருக்கிறதாம், :-)))) ) என்ன செய்வது???? முன்னால் கூறிய Georges Ifrah வும் கூடத் தனது The universal history of numbers I, II, III என்ற தனது நூலில் இந்தத் தவறான கருத்தை அப்படியே பதிவு செய்து மறுபளித்திருப்பார் (ப்ரதிபலித்திருப்பார்). [அவர் இரண்டாம் நூலின் 123 ஆம் பக்கம்] சுழியின் தோற்றத்தில் தமிழருக்கிருக்கும் பங்கைப் பற்றியே தனி ஆய்வு யாராவது வரலாற்றாய்வாளர் செய்தால், நன்றாக இருக்கும். ஆய்வுலகில் தமிழர்க்கு உரிய பல செய்திகள் மற்றோருக்கு உள்ளதாய் மாற்றப்பட்டு எழுதியுள்ள குளறுபடிகள் மிகவும் உண்டு. தமிழர்கள் என்று கண்டுகொள்வார்கள்?}

முன்னாற் பார்த்த பொதிவெண்களுடன், புதிதாய்க் கற்பித்த நொகையெண்களையும் (negative numbers), சுழியையும் (zero) சேர்த்து ஒரு பெருங்கொத்தை அமைக்க முடியும். இதைத் தொகுவெண் கொத்து (Set of integers) என்று சொல்லுவார்கள். கூட்டல், கழித்தல் ஆகிய இரண்டையும் சேர்த்துத் தொகுத்தல் [summation] என்று சொல்லுவதால், தொகுவெண் (integer) என்ற பெயரெழுந்தது. தொகுவெண்களை அடையாளப்படுத்தும் போது அவற்றின் செருமானியப் பெயரான zahlen என்பதை வைத்து Z என்று கொத்திற்குப் பெயர்சூட்டுவார்கள். இந்தக் கொத்து [...... -11, -10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3, -2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11.........] என்று அமையும். இதனுள் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் ஆகியவற்றைச் செய்து கிடைக்கும் விடைகள் கொத்திற்குள்ளேயே இருப்பதால், அவற்றைப் பொறுத்தவரை இது மூடிய கொத்தாயிற்று. ஆனால், வகுத்தல்முறையின் படி இது ஒரு திறந்த கொத்துத் தான்.

பெருக்கல் என்ற கருத்து நம் மரபில் ”மாறுதல், பழுக்குதல் (பருக்குதலின் பேச்சு வழக்கு)” என்ற சொற்களாலும் அழைக்கப்பட்டிருக்கிறது. [குழித்தல் என்ற சொல் விதப்பாக ஓரெண்ணை அதே எண்ணாற் பெருக்குவதற்குப் பயன்பட்டிருக்கிறது. பழஞ் சோழநாட்டில் ஒரு குழி என்பது 121 சதுரக்கோலைக் குறிக்கும். ஒரு கோல் என்பது இந்தக் கால 11 அடியைக் குறிக்கும்.]

கடைசியாக இருக்கும் வகுத்தல்முறை ஆழமாய்ப் புரிந்து கொள்ளப் படவேண்டியதாகும். ஓரெண்ணை இன்னொன்றால் வகுக்கும் போது வகுபடும் எண் (dividend), வகுக்கும் எண் (divisor), என்று சொல்கிறோம் அல்லவா? இவற்றோடு, வகுத்துக் கிடைக்கும் எண்ணை வகுதி, வகிர்தம் (இது தான் பின்னாற் திரிந்து விகிதம் என்றாகியது; பலரும் விகிதத்தை வடமொழி என்றே தவறாக எண்ணிக் கொள்கிறார்கள்.), பகுதி, ஈவு, கூறு (quotient) என்று பலவாறாகச் சொல்லுவார்கள். வகுத்த பின்னால் மீந்ததை மீதி (remainder) என்று சொல்லுவார்கள்.

வகுபடும் எண் = வகுக்கும் எண் * வகுதி + மீதி

என்ற இந்தச் சமன்பாடு எல்லோருக்கும் தெரிந்தவொன்றாகும். தமிழில்

வகுத்தல் என்பதை ”வகிர்தல், பகுத்தல், ஈளுதல் (=ஈயுதல்), கூறாக்கல், முறித்தல்” என்றும் பலவாறாய்ச் சொல்லலாம். [ஈளும் கருவியான ஈள்+தி = ஈட்டியை இங்கு நினைக்கலாம்.]
வகுபடும் எண் என்பதை ”வகிர்படும் எண், பகுபடும் எண், ஈள்படும் எண், கூறுபடும் எண், முறிபடும் எண்” என்றும் சொல்லலாம்.
வகுக்கும் எண் என்பது ”வகிர்க்கும் எண், பகுக்கும் எண், ஈளும் எண், கூறும் எண், முறிக்கும் எண்” என்றும் சொல்லலாம்.
“வகுதி, வகிர்தம் (>விகிர்தம்>விகிதம்>வீதம்), பகுதி [இது பங்கு என்றும் சொல்லப்படுவது உண்டு), ஈள்வு(>ஈவு), மேனி, கூறு, முறிவு” என்பவை ஒருபொருட்சொற்கள்.

இற்றைத் தமிழில் வகுத்தல், பகுத்தல், விகிதம், வீதம், ஈவு, மேனி, கூறு என்ற சொற்களே புழங்குகின்றன. வகுபடும் எண்ணை வகுக்கும் எண்ணால் வகுப்பதைக் காட்டும் வகையில்

a வகுத்தற்குறி b

என்று ஈரெண் சோடியாகவோ, அன்றி வகுபடும் எண்ணை மேலெண்ணாய்க் [numerator] காட்டி, வகுக்கும் எண்ணைக் கீழெண்ணாய்க் [denominator] காட்டி

r = a/b.

என்றோ, எழுதுவதுண்டு. இப்படி எழுதப்படும் r போன்ற எண்கள் ”அரிதையெண்கள்” (rational numbers) என்று சொல்லப்பெறும். [அரிதல் = வகுத்தல், பிரித்தல், பிளத்தல், வெட்டுதல்.] ஒன்றின் கீழ் மற்றொன்றாய் எழுதாமல், கிடைக்கும் மீதியைப் மேலும் மேலும் வகுத்து அவற்றைப் பதின்மங்களாக [decimals] ஆக மாற்றியும் அரிதை எண்களைக் காட்சிப்படுத்துவதுண்டு. அந்தக் காட்சியில் ஒரு வியத்தகு தோற்றத்தைக் காணமுடியும். ஏதோ ஒரு குறிப்பிட்ட தானம் (place of the digit) வரை பல்வேறு தோயங்கள் (digits) எழுந்து அதற்கு மேல் அதே தோயத்தொகுதிகள் திருப்பித் திருப்பி வருவதைக் காணலாம்.

11.1111111....
15.2323232323.....
7.419419419419......
4.625789946257899462578994......

இங்கே, முதல் எண்ணில் 1 என்னும் தோயம் திருப்பித் திருப்பி வருகிறது. இரண்டாவதில் 23 என்னும் தோயங்கள் திருப்பித் திருப்பி வருகின்றன. மூன்றாவதில் 419 என்பவை திருப்பித் திருப்பி வருகின்றன. ஐந்தாவதில் 62578994 என்னும் எட்டுத் தோயங்கள் திருப்பித் திருப்பி வருகின்றன. இதுபோல, எல்லா அரிதை எண்களும் மீட்டுவரும் தோயங்களைத் (repeating digits) தங்களின் பதின்மப் பகுதியிற் (decimal portion) காட்டிக் கொண்டிருக்கும். அரிதையெண்களுக்கான அடிப்படைத் தோற்றம் இதுவாகும்.

இனி அரிதை எண்களின் அடர்த்தி பற்றிப் பார்ப்போம். 17/2 என்பதை வகுத்து பதின்மானத்திற் குறித்தால் 8.5 என்றாகும். அடுத்து 17/3 என்றால் 5.66666....... என்றாகும். இப்பொழுது 5.6666......ற்கும், 8.5ற்கும் இடையில் அரிதை எண்கள் உண்டா என்றால் ஏராளம் உண்டு என்றே சொல்ல முடியும். இப்படிக் குறிப்பிட்ட இரு எண்களுக்கு நடுவே, அடர்ந்துகிடப்பதால், அரிதை எண்களை அடர்ந்தவை (rational numbers are dense.) என்று சொல்கிறோம். அரிதையெண் கொத்து Q (Set of rational numbers Q)என்றழைக்கப்படும்.

அடுத்து, முற்றிலும் திருப்பித் திருப்பி வாராத தோயங்கள் கொண்ட எண்கள் உண்டா என்றால் உண்டு என்றே சொல்லவேண்டியிருக்கிறது. இது போன்ற எண்களை அரியொணா எண்கள் (irraational numbers) என்று சொல்லுவார்கள். அரிதை எண்களும், அரியொணா எண்களும் சேர்ந்து அமையும் எண்களை உள்ளமை எண்கள் (real numbers) என்று சொல்லுவார்கள். உள்ளமை எண் கொத்து (Set of real numbers R) என்றழைக்கப்படும். ஒரு கோடு இழுத்து அதில் உள்ள புள்ளிகளை 1, 2, 3 என்பவற்றோடு பொருத்தினால், இவற்றிற்கு இடையே அரிதை எண்களும் அரியொணா எண்களுமாய் கணக்கற்ற, வரம்பிலாத, எண்கள் இடம்பெறமுடியும் என்று அறியலாம். இப்படி வரையப்பட்ட கோட்டை உள்ளமைக் கோடு (real line) என்று சொல்லுவார்கள். உள்ளமைக் கொத்தும் உள்ளமைக் கோடும் ஒன்றிற்கொன்று பொருத்தம் கொண்டவை. உள்ளகவெண் கொத்தை வகுத்தற் செய்முறையைக் கொண்டு பார்த்தாலும் அது ஒரு மூடிய கொத்தே என்று புலப்படும்.

அன்புடன்,
இராம.கி.

Sunday, April 18, 2010

எண்ணியல் - 1

அண்மையில் Lowest Common Denominator (LCD) - யைத் தமிழில் எப்படிச் சொல்வது என்று மின்தமிழ் மடற்குழுவில் பேரா.ரெ.கார்த்திகேசு கேட்டிருந்தார். [lowest என்பதைக் காட்டிலும் அதற்கிணையான least என்ற புழக்கத்தையே நான் இளமையிற் கேட்டிருக்கிறேன்.] LCD யை ஒட்டி, Highest Common factor (HCF) / Greatest Common Divisor (GCD), Least Common Multiple (LCM) என்ற இன்னும் இரு சொற்களும் உண்டு. 52 ஆண்டுகளுக்கு முன், உயர்நிலைப்பள்ளிப் படிப்பில் இவற்றை ”உத்தமப் பொதுக் காரணி (HCF) / உத்தமப் பொது அலகு (GCD)” என்றும், “அதமப் பொது மடங்கு (LCM)” என்றும் கூட்டுச் சொற்களால் அறிந்திருக்கிறேன். இவையிரண்டும் தொகுவெண்களை (integers) ஒட்டிவரும் சொற்களாகும். LCD என்பது பின்னங்களைக் கூட்டும் போது தேவைப்படும்.

அந்தக் காலத்தில், அறிவியற் புரிதற் கூடுவதற்கு, துல்லியமான சொற்களைக் கையாளும் தேவைபற்றி யாரும் சொல்லவில்லை. அதோடு, தமிழில் ஆழ்ந்த நெருக்கமும், சிந்தனையும் அந்த இளமையில் எனக்கு இருந்ததில்லை. ”உத்தமம்” என்ற சொல் எப்படி highest/greatest-யைக் குறிக்கிறது? அதமம் என்பது எப்படி least -யைக் குறிக்கிறது? என்றும் எனக்குத் தெரியாது; என் ஆசிரியர்கள். அந்தச் சொற்களை வேதம் போற் சொல்லிக் கொடுத்தார்கள்; நாங்களும் பொருளறியாது பயின்றோம்; [இந்தக் காலத்தில் தமிழிற் கலைச்சொற்கள் வந்தால் ஆ, ஊ என்று கொக்கி போடுகிறவர்கள் அந்தக் கால மணிப்பவளச் சொற்களைக் கண்டு கேள்விகேட்டதில்லை. ஆசிரியர் சொல்லிக் கொடுத்தது வேதம் அல்லவா?] தேர்ச்சி பெற்றோம். நாளாக, நாளாகத் தமிழிற் சிந்தனை கூடியபோது தான், பள்ளிப்பாடக் கலைச்சொற்கள் துல்லியம் இன்றியிருப்பது எங்கள் மனத்தை உறுத்தியது. இப்படி முட்டாள்தனமாகச் சொற்களைக் கையாள்வது பழக்கமானால், அப்புறம் தமிழில் அறிவியல்நடை என்பதே கேள்விக்குறியாகிப் போகும் என்றும் எங்களுக்குத் தோன்றியது.

”உத்தமப் பொதுக் காரணி/அலகு”, ”அதமப் பொது மடங்கு” என்பவற்றையும், அதற்குப் பின்னால் நல்ல தமிழில் வந்த, [ஆனால் உத்தமம், அதமம் போன்றே தெளிவில்லாத இருந்த ] ”மீப்பெரு பொதுச் சினை”, ”மீக்குறை பொது மடங்கு” போன்றவற்றை ஒரு தொடக்கம், வளர்ச்சி என்றே எடுத்துக் கொண்டு, அடுத்த வேலைகளில் எங்களைப் போன்றோர் ஆழ்ந்திருக்கிறோம்; கல்லூரிக்குப் படிக்க வந்த பின்தான் புதிய கலைச்சொற் படைப்பில் ஈடுபடத் தொடங்கினேன். அன்று இருந்த சூழ்நிலையும் எங்களைப் போன்றோரைத் தூண்டியது.

ஆனால், அந்தக் காலத்திற்கும் இந்தக் காலத்திற்கும் ஒரு வேறுபாடு இருக்கிறது. அந்தக் காலத்தில் ”தமிழில் அறிவியலைச் சரியாகச் சொல்லும் திறன் வளரவேண்டும்” என்ற விழைவு பலருக்கும் இருந்தது. ஏதோ தமிழுக்குப் புதிதாகச் செய்யப் போகிறோம் என்ற ஆர்வமும், போட்டியும், தமிழ்நாடெங்கும் கல்லூரிமாணவர், மற்றும் இளையோரிடம் இருந்தது. ”தமிழ் வென்றுவிடும், ஆட்சிக் கட்டிலிற் சிறப்பாக அமர்ந்துவிடும்” என்று எண்ணியவர்கள் அன்று மிகுதி. [கூட வந்த அரசியல்வாதியர் தம் கொள்கையில் நீர்த்துப் போய், பணம் பண்ணுவதில் ஆழ்ந்து போய், ஆங்கிலத்தைக் கொண்டுவந்து அரசுக் கூடத்திற் குடிவைப்பர் என்ற புரிதல் அப்போது எங்களைப் போன்றோருக்கு ஏற்படவில்லை. மீண்டும் ஒரு துபாசி வேலைக்கு ஆளாகி வெள்ளைக்காரனின் பொருளாதாரத்தை நாங்கள் வளர்க்கப் போகிறோம் என்று அப்போது தெரியாது. சூதானம் தெரியாது ஏமாந்து போன கொடிவழி எங்களுடையது.]

இன்றோ, அந்தத் தமிழ் விழைவு பரவலாய்க் குறைந்து விட்டது. [அரசியலார் நீர்த்துப் போய், பணமே கதியென்று ஆகிப் போனதால், இந்த நிலைக்கு வந்து சேர்ந்தோம். எங்கும் ஊழல். அதோடு, உலகமயமாக்கல் என்ற 800 பவுண்டு கொரில்லாவிற்கு அடிமையாகி இருப்பதை முற்றுமுழுதாக விற்றுக் கொண்டிருக்கிறோம்..] ஒருசிலரே ”தமிழில் அறிவியல் பழகவேண்டும், அதைச் சொல்லும் திறன் தமிழில் வேண்டும்” என்று எண்ணுகிறார்கள். அறிவியற் செய்தி தெரிவிப்பதற்காகத் தமிழிற் புதுச்சொல்லைப் பரிந்துரைத்தால் அதை நக்கலடித்து ”ஆங்கிலச் சொல்லே இருக்கட்டும், இல்லாவிட்டால் வடமொழி புழங்கட்டும்” என்று சொல்லக் கூடிய தமிங்கிலர் நம்மிடையே இன்று பெருத்துவிட்டார்கள். [எங்கு பார்த்தாலும் மடிக்குழைப் பள்ளிகள் (matriculation schools) புற்றீசலெனப் பெருகியிருந்தால் தமிங்கிலர் வந்து சேர்வது இயற்கை தானே?] நல்லதமிழில் எதைச் சொன்னாலும் அதில் குற்றம் காண முன்வந்து நிற்கிறார்கள்.

ஒருவேளை ”தமிழ் ஒரு முடங்கிப் போன மொழி, ஆங்கிலமோ, வடமொழியோ இல்லாது அது இயங்க முடியாது” என்று சொல்லி, மிஞ்சிக் கிடப்பவரை மேலெழுந்து அடிப்பது தான் அவர்களின் விழைவு போலும். அதன்வழி ”கதைக்கும், கவிதைக்கும், துணுக்கிற்கும், களியாட்டத்திற்கும் மட்டுமே பாழாய்ப்போன தமிழ் பயன்பட்டாற் போதும்” என்று எண்ணுகிறார்கள் போலும். மொத்தத்தில் ”ஆங்கில பெயர்ச்சொற்களுக்கும் வினைச்சொற்களுக்கும் இடையில் துணை வினை, இடைச்சொற்கள் போடவும், வேற்றுமை உருபு சேர்க்கவும், மட்டுமே தமிழ்ச்சொற்கள் வந்து போகும் நிலையில் பிட்ச்சின் (pidgin) தமிழ்நடை வளர்வது பெருஞ்சோகம், இதற்கிடையில் செம்மொழி என்னும் கூப்பாடு வேறு!.

ஆனாலும் ஆர்வலர் பலர் பெரும்பாடுபட்டு தமிழில் அறிவியல்நடை வளர்க்க முயல்கிறார்கள். அவர் முயற்சி வெல்லட்டும்.
-----------------------------------

இந்தக் கட்டுரையில் பல்வேறு எண்கள், பின்னங்கள், .எண்ணியல் (arithmetics) ஆகியவை பற்றிப் பேச விழைகிறேன். கூடவே HCF/GCD, LCM, LCD பற்றியும் பேசுவேன்.

முகன மாந்தன் (modern man) கடந்த 70000 ஆண்டுகளில் எப்பொழுது எண்ணத் தொடங்கினான் என்பது அறியொணாததாகவே இருக்கிறது. ”இரு விரல்கள், இரு பூனைகள், இரு பழங்கள்” என்ற அறிவை அப்பூதியாக்கி (to abstract) இரட்டுமைக் (two-ness) கருத்து எப்பொழுது அவனுக்குப் புரிந்ததோ அப்பொழுதே எண் என்ற சிந்தனை எழுந்திருக்கலாம். ஒருவேளை இற்றைக்கு 50000 / 60000 ஆண்டுகள் முன்னர் முதல்மொழி தோன்றியபோது, மாந்தன் எண்ணினானோ என்னவோ? ”ஒன்று, இரண்டு, பல” எனப் பொருத்தும் போக்கு, சேர்க்கும் போக்கு, இள்ளும் போக்கு, இணர்க்கும் போக்கு, இணைக்கும் போக்கு, கொஞ்சங் கொஞ்சமாய் ஏற்பட்டது கூட இள்>*இண்>எண் எனுஞ் சிந்தனை வளர்ச்சிக்குக் காரணமாய் இருந்திருக்கலாம். இப்பொழுது பேசத் தொடங்கும் பிள்ளை கூட, “ஒன்று, இரண்டு, பல” என்றே முதலிற் புரிந்து கொள்ளுவதாகவும், பின்னால் சிறிது சிறிதாக அப்பூதி எண் (abstract number) என்னும் கருத்தைப் புரிந்து கொள்ளுவதாகக் குழவிவளர்ப்பு வல்லுநர் சொல்லுவர்.

பல்வேறு தொல்முது குடியினரும், பெரும்பாலும் ஒன்று, இரண்டு, இரண்டொன்று, இரண்டிரண்டு, பல என்று எண்ணுவதையும், இரண்டொன்றை மூன்றாகவும், இரண்டிரண்டை நாலாகவும் சொல்வது பழங்குடியினருக்குச் சரவலாய் இருப்பதையும், Georges Ifrah தனது நூலில் எடுத்துக் காட்டியிருப்பார். [The universal history of numbers I, II, III என்ற மூன்று பொத்தகங்கள், Penguin Books India, 2005, கட்டாயம் படிக்கவேண்டிய நூல்.] இதே போல, பல்வேறு பொருட்தொகுதிகளை நம்முன் காட்டி அவற்றை எண்ணாமற் பார்த்த அளவிலேயே “எத்தனை பொருட்கள் தோற்றத்திற் தெரிகின்றன?” என்று வினவினால், நம்மில் பலரும் நாலுக்கு மேல் இனங் காட்டுவதிற் தடுமாறுவதையும் நாலுக்கு மேற்பட்டுப் பல என்பதையும் அவர் சான்று காட்டுவார்.

கைமானத்தில் (quinary) இருந்து நகர்ந்து, அடுத்த வளர்ச்சியில் இருகைமானம் (biquinary) - பதின்மானம் (decimal), இருபான்மானம் (vigesimal) அறுபான்மானம் (sexgesimal) என்று பல்வேறு மானங்களில் உலக நாகரிகங்கள் எண்ணத் தொடங்கின. முடிவில் பதின்ம எண்களுக்கே (decimal numbers) இவ்வுலகம் வந்து சேர்ந்திருக்கிறது. கணிதம் மேலும் வளர்ந்து, இரும (binary), எண்ம (octal), பதினறும (hexadecimal) எண்களும் படைக்கப் பட்டிருக்கின்றன.

இப்போதைக்குப் பதின்ம எண்களை மட்டுமே வைத்து நம் செய்திகளைச் சொல்ல முற்படுவோம். [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, என்னும் பத்து அடியெண்களோடு (base numbers) இடமதிப்பு (place value) என்ற கொள்கையை உடன் சேர்த்துக் கொண்டு, கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் என்ற 4 செய்முறைகளைச் செய்தால் உருவாகும் கணித மரபை, எண்ணியல் (arithmetics) என்று சொல்லுகிறார்கள். கணிதத்தில் எண்ணியல் என்பது ஒரு பகுதி.]

அன்புடன்,
இராம.கி.

Saturday, April 10, 2010

தமிழக மாணவர்களுக்கான விக்கிப்பீடியா கட்டுரைப் போட்டி



தமிழ்நாடு அரசு, 2010 சூன் 23 முதல் சூன் 27 வரை கோயம்புத்தூர் நகரில் உலகத் தமிழ்ச் செம்மொழி மாநாட்டையும் ஒன்பதாவது இணையத் தமிழ் இணைய மாநாட்டையும் நடத்துகிறது. இதனை ஒட்டித் தமிழ்நாட்டிலுள்ள பல்கலைக்கழகங்கள், அவற்றுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ள கல்லூரிகள், நிகர்நிலைப் பல்கலைக்கழகங்கள், பல்தொழில்நுட்பப் பயிலகங்கள் ஆகியவற்றில் பயிலும் மாணவர்கள் பங்கேற்பில் தமிழ் விக்கிப்பீடியாவுக்குத் தகுந்த தகவல் பக்கங்களை (கட்டுரைகள்) எழுதும் போட்டியை நடத்துகிறது.

தமிழ்நாடு அரசும் தமிழ் விக்கிப்பீடியாவும் இணைந்து நடத்தும் இப்போட்டியில் கலை, அறிவியல், பொறியியல், மருத்துவம், விளையாட்டு, வேளாண்மை, சட்டம், கல்வியியல், இயங்குனர் மருத்துவம் (பிசியோ தெரப்பி), சித்த மருத்துவம், பல் மருத்துவம், செவிலியர், கால்நடை மருத்துவம், பலதொழில்நுட்பப் பயிலகம் முதலிய துறைகளைச் சேர்ந்த மாணவர்கள் பங்கு கொள்ளலாம். ஒவ்வொரு துறையிலும் சிறந்த தகவல் பக்கங்களை எழுதுவோருக்குப் மதிப்பு மிகுந்த பரிசுகள் வழங்கப்பட உள்ளன.

இது பற்றிய மேல்விவரம்

http://ta.wikipedia.org/wiki/Wp:contest

என்ற வலைத்தளத்தில் இருக்கிறது. எல்லா வலைப்பதிவர்களும் தங்களுக்குத் தெரிந்த மாணவர்களை இந்தப் போட்டியிற் கலந்து கொள்ளுமாறு தூண்ட வேண்டுகிறேன். உங்களுடைய வலைப்பதிவிலும் இது பற்றி எழுதுங்கள். தமிழக மாணவரிடையே பங்களிப்பு விரிவாக அமைய இந்தப் பரப்புரை பயன்படும். ஆக்க வேலைகளில் சேர்ந்திருப்போம்.

தமிழுக்குப் பயனுள்ளதொரு பங்களிப்பு.

அன்புடன்,
இராம.கி.